2023屆安徽省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)4統(tǒng)計與概率解答題25題專項提分計劃

2023屆安徽省高考復(fù)習(xí)

專題4統(tǒng)計與概率解答題25題專項提分計劃

1.（2023?安徽宣城?安徽省宣城中學(xué)校考模擬預(yù)測）某省為調(diào)查北部城鎮(zhèn)2021年國民生

產(chǎn)總值，抽取了20個城鎮(zhèn)進行分析，得到樣本數(shù)據(jù)（％,y）（i=l,2,,20）,其中x,和y,

分別表示第i個城鎮(zhèn)的人口（單位：萬人）和該城鎮(zhèn)2021年國民生產(chǎn)總值（單位：億元），

202（）2（）2020

計算得尸100,￡M=800，Sa-可2=70,￡（%-燈=280,￡（x,.-x）（y;-7）=120.

i=l*=1i=li=l；=1

⑴請用相關(guān)系數(shù)，?判斷該組數(shù)據(jù)中y與X之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱（若卜性[0.75,1],相

關(guān)性較強；若M《0.30,0.75）,相關(guān)性一般；若/"W-0.25,0.25],相關(guān)性較弱）；

（2）求丁關(guān)于x的線性回歸方程；

（3）若該省北部某城鎮(zhèn)2021年的人口約為5萬人，根據(jù)（2）中的線性回歸方程估計該城

鎮(zhèn)2021年的國民生產(chǎn)總值.

￡（西-項-）

參考公式：相關(guān)系數(shù)廠=一斤=’"一,對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)

?。?-可立（%-才

V；=1<=1

（x,,yj（i=l,2,,n）,其回歸直線￡=立+&的斜率和截距的最小二乘估計分別為

.￡（占-可（力-刃

〃二上F-----------，a=y-bx

za-可2

1=1

【答案】（i）y與x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系

__12220

（2）y=yx+—

（3）估計該城鎮(zhèn)2021年的國民生產(chǎn)總值40（億元）

【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)和公式可以求得「=0.857,結(jié)合題意理解分析；（2）根據(jù)題

中數(shù)據(jù)和公式運算求解；（3）根據(jù)（2）中所求公式代入求解.

(1)

20

力

i=l120120…r

題意知相關(guān)系數(shù)「=-.=='=---x0.857

1~20Tlo7770x280140

Vz=li=l

因為y與X的相關(guān)系數(shù)r滿足MQO.75,1],所以y與X之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系.

(2)

20

小一可回一刃12012

h=----------=--=--

ZU-)2707，

1=1

、_80012100220%220

a=y-bx--------x---=----,所以y=—----

20720777

(3)

12220

由(2)可估計該城鎮(zhèn)2021年的國民生產(chǎn)總值9=7、5+1廠=40(億元).

2.(2023春?安徽?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)由中央電視臺綜合頻道(CCTV-1)和唯眾傳媒聯(lián)

合制作的《開講啦》是中國首檔青年電視公開課.每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的

故事，分享他們對于生活和生命的感悟，給予中國青年現(xiàn)實的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論

青年們的人生問題，同時也在討論青春中國的社會問題，受到了青年觀眾的喜愛.為了

了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度，電視臺隨機調(diào)查了A，B兩個地區(qū)的100名觀眾，得到如

下所示的2x2列聯(lián)表.

非常喜歡喜歡合計

A3015

BXy

合計

已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機抽取1名，該觀眾來自B地區(qū)且喜愛程度為“非常喜

歡”的概率為0.35.

(1)現(xiàn)從100名觀眾中根據(jù)喜愛程度用分層抽樣的方法抽取20名進行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽

取喜愛程度為“非常喜歡''的A,B地區(qū)的人數(shù)各是多少？

(2)完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有95%的把握認為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)

有關(guān)系.

(3)若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從A地區(qū)隨機抽取3人，設(shè)抽到喜愛程度為“非常喜歡”

的觀眾的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

n(ad-bc)2

n=a+b+c+d,

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.050.0100.001

3.8416.63510.828

【答案】（1）從A地抽取6人，從B地抽取7人.

（2）沒有95%的把握認為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

（3）分布列見解析，期望為2.

【分析】（1）求出x的值，由分層抽樣在各層的抽樣比相同可得結(jié)果.

（2）補全2x2列聯(lián)表，再根據(jù)獨立性檢驗求解即可.

2

（3）由題意知X?8（3。），進而根據(jù)二項分布求解即可.

【詳解】（1）由題意得意=0.35,解得x=35,

2020

所以應(yīng)從A地抽取30x需=6（人），從8地抽取35X^=7（人）.

（2）完成表格如下：

非常喜歡喜歡合計

A301545

B352055

合計6535100

零假設(shè)為“。：觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)無關(guān).

_100X(30X20-35X15)2

=——?0.1<3.841

65x35x45x551001

所以沒有95%的把握認為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

302

（3）從A地區(qū)隨機抽取1人，抽到的觀眾的喜愛程度為“非常喜歡”的概率為券=；,

453

2

從A地區(qū)隨機抽取3人，則X?8（3,4），X的所有可能取值為0,1,2,3,

則ax=o)=({H，

尸(x=D=q|[(*|

尸-2)=嘯陷二,

8

P(X=3)=

27

所以X的分布列為

X0123

1248

P

279927

方法1：E(X)=0x-L+lx^+2xl+3xA=2.

279927

2

方法2：E(X)=np=3x—=2.

3.(2023秋?安徽安慶?高三安徽省懷寧縣新安中學(xué)?？计谀?“學(xué)習(xí)強國”學(xué)習(xí)平臺軟件

主要設(shè)有“閱讀文章”“視聽學(xué)習(xí)”兩個學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”“每周答題”“專項答題”“挑

戰(zhàn)答題，，四個答題模塊，還有“四人賽”“雙人對戰(zhàn)”兩個比賽模塊.“四人賽”積分規(guī)則為首

局第一名積3分，第二、三名積2分，第四名積1分；第二局第一名積2分，其余名次

積1分；每日僅前兩局得分.“雙人對戰(zhàn)”積分規(guī)則為第一局獲勝積2分，失敗積1分，每

日僅第一局得分.某人在一天的學(xué)習(xí)過程中，完成“四人賽’'和"雙人對戰(zhàn)已知該人參與

“四人賽''獲得每種名次的概率均為了，參與“雙人對戰(zhàn)”獲勝的概率為9,且每次答題相

43

互獨立.

(1)求該人在一天的“四人賽”中積4分的概率；

(2)設(shè)該人在一天的“四人賽”和“雙人對戰(zhàn)”中累計積分為3求J的分布列和E圖.

【答案】⑴2

10

59

(2)分布列見解析，-

【分析】(1)根據(jù)已知條件，將原事件分為第一局拿3分，第二局拿1分和第一局拿2

分，第二局拿2分，分別求出兩個事件的概率，并對兩個概率相加，即可求解.

(2)由題意可得S取值可能為3,4,5,6,7,分別求出對應(yīng)的概率，即可得分布列，

再結(jié)合期望公式，即可求解.

【詳解】(1)解：依題意可知，若該人積分為4分，則在“四人賽”中首局積3分，第二

局積I分，或者首局積2分，第二局積2分，所以「總印+白、'

（2）解：由題意知，J的可能取值為3,4,5,6,7,

,1321311113

P（g=4）=—X二X一+—x——I——X—x—=

'74432444348

131111311219

%=5）=—X—+—X—X-+—x——I—x—X—=

442432444348

故J的分布列為:

434567

11319111

P

1648484824

^TlU￡（^）=3x—+4x—+5x—+6x—+7x—=—

''164848482412

.4.（2022?安徽黃山?統(tǒng)考一模）第22屆卡塔爾世界杯（FIFAWorldCupQatar2022）足

球賽，于當?shù)貢r間2022年1月20日（北京時間1月21日）至12月18日在卡塔爾境內(nèi)

5座城市中的8座球場舉行，共計4場賽事.除東道主卡塔爾外，另有來自五個大洲足球聯(lián)

合會的31支球隊擁有該屆世界杯決賽參賽資格，各大洲足聯(lián)各自舉辦預(yù)選賽事以決定最

終出線的球隊.世界杯群星薈萃，撥動著各國人民的心弦，向人們傳遞著正能量和歡樂.

（1）某中學(xué)2022年舉行了“學(xué)習(xí)世界杯，塑造健康體魄”的主題活動，經(jīng)過一段時間后，學(xué)生

的身體素質(zhì)明顯增強，現(xiàn)將該學(xué)校近5個月體重超重的人數(shù)進行了統(tǒng)計，得到如下表格：

月份X12345

體重超重人數(shù)y640540420300200

若該學(xué)校體重超重人數(shù)y與月份無（月份x依次為1,2,3,4,5…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請預(yù)

測從第幾月份開始該學(xué)校體重超重的人數(shù)降至50人以下？

（2）在某次賽前足球訓(xùn)練上,開始時球恰由A控制，此后規(guī)定球僅在A、B和C三名隊員中

傳遞，已知當球由A控制時，傳給B的概率為傳給C的概率為3；當球由B控制時，傳給

A的概率為彳，傳給C的概率為鼻;當球由C控制時，傳給A的概率為-，傳給B的概率為-.

①記2為經(jīng)過n次傳球后球恰由4隊員控制的概率，求小P2;

②若傳球次數(shù)〃=3,C隊員控制球的次數(shù)為X,求E（X）.

參考公式:匕=『-----------,a=y-bx

Ze）?

f=l

【答案】⑴7

⑵①耳=。上吟;」

［分析】（1）根據(jù)最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程，使y小于50,求出x的范圍，即

可得出結(jié)果；

（2）①分析〃=1和〃=2時A隊員控制的情況,利用獨立事件的概率公式計算結(jié)果即可;②

山〃=3,分析所有控球的情況可知X的可能取值為:0,1,2,分別求出各個的概率，利用期望

公式求出結(jié)果即可.

【詳解】（1）解:由題知學(xué)校體重超重人數(shù)y與月份x（月份x依次為1,2,3,4,5…）具有

線性相關(guān)關(guān)系，

故設(shè)y=G+

根據(jù)表格可得：x=-----------------=3,

_640+540+420+300+200…

y=-----------------------------------=420,

5

￡（蒼-￡）（%-刃

所以是上一7-----------------

￡（%-科

1=1

（1_3）（640_420）+（2_3）（540_420）+（3_3）（420_420）+（4_3）（300_420）+（5_3）（200_420）

（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2

-1120

10

=-112,

因為否=y一宸=420-（-112x3）=756.

故線性回歸方程為：y=756-112%,

當y<50時，即756-112x<50.

解得x>6.3（M.

故預(yù)測從第7月份開始該學(xué)校體重超重的人數(shù)降至50人以下；

（2）①由題知1為經(jīng)過1次傳球后由A隊員控制,

因為開始時球恰由A控制,

所以1次傳球后只能傳給反C,

故4=0,

P2為經(jīng)過2次傳球后由A隊員控制,

不妨以A.B,C表示控球的隊員,

則可能的情況為：AA或ACA,

當傳球情況為A,B,A時,

P」X2=1

233

當傳球情況為AC,A時,

px=3

4ilo,

319

故￡=—I--=:

31030

②由題分析可知X的可能取值為:0,12

當X=0時,

控球的情況為:

1211

所以「（x=o）=5x§x5=w，

當X=1時,

控球的情況為:

A,C,A,B或A,C,B,A或A,B,C,A或A,B,C,B或A,B,A,C,四種情況,

八131122113112121

所以P\X=1）=-X—X1X—X1X—X1X—X1X—X—

',252253235235232

3

=2111

+—4--+—+—

201510156

37

=-

60

當X=2時，

控球的情況為:

ACAC或ACBC,

“0-1311213113

P（X=2）=-x-x-+-x-x-=—+—=—,

17252253201560

,,?/TZ\1八37113_=63

故￡（X）=-x0H---x1H---x2—.

v76606060

5.（2022秋?安徽滁州?高三安徽省定遠縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某收費APRIPP所在

的公司統(tǒng)計了用戶一個月月租減免的費用X（單位：元）及該月對應(yīng)的用戶數(shù)量y（單

位：萬人），得到如下數(shù)據(jù)表格：

用戶一個月月租減免

34567

的費用X（元）

用戶數(shù)量y（萬人）1

已知x與y線性相關(guān).

（1）求y關(guān)于X的線性回歸方程［=135,之x,y,=41.7

I/=I/=!

（2）據(jù)此預(yù)測，當月租減免費用為10元時，該月用戶數(shù)量為多少？

參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x,，y）（i=12,〃），其回歸直線y=bx+a

可（％-方Z-助

的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為B=------------=弓---------，

之（應(yīng)-可。

1=1Z=1

①—①一

u=y-ux

【答案】⑴y=0.32Ao.06

（2）3.14萬人

【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，先求得亂歹，然后利用公式計算回歸方程中的系數(shù)，得到

回歸方程；

（2）利用回歸方程估計.

【詳解】⑴解：由jf=（x（3+4+5+6+7）=5

y=1x（l+1.1+1.5+1.9+2.2）=1.54.

.417-5x5xl54

有/,=J°°了=0.32,a=1.54-0.32x5=-0.06,

135-5x52

故y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.32x-0.06：

（2）解：由（1）知回歸方程為y=0.32x-0.06,當x=10時，^=0.32x10-0.06=3.14,

所以預(yù)測該月的用戶數(shù)量為3.14萬人.

6.（2022秋.安徽.高三校聯(lián)考期末）某課題組開展“皖東地區(qū)中學(xué)體育現(xiàn)狀教學(xué)調(diào)查與

發(fā)展對策研究”，以皖東地區(qū)2市2區(qū)4縣285所中學(xué)為研究對象,其中縣城高中22所，

縣城初中9所，農(nóng)村高中29所，農(nóng)村初中225所.旨在增強“全民健身”理念、增強中

學(xué)生身體素質(zhì)與優(yōu)化中學(xué)體育教學(xué)管理.課題組從“體育管理、體育師資、體育科研、

《體育與健康》課程教學(xué)、課外體育、體育場地設(shè)施”這六個方面進行賦分，并制作了

調(diào)查問卷(滿分共100分)，分發(fā)問卷并整理相關(guān)數(shù)據(jù)，從問卷中隨機抽取200份，按

成績分為五組：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如下頻率分布直方圖，且

3

第五組中縣城高中占

(1)估計抽取的200份問卷的數(shù)據(jù)平均值元(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)；

(2)若在第五組中，按照縣城高中和非縣城高中兩類隨機抽取7份問卷，再從中選取3

份問卷作進一步調(diào)研，設(shè)這3份問卷中包含縣城高中問卷數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望；

(3)根據(jù)教育部發(fā)布《〈體育與鍵康,教學(xué)改革指導(dǎo)綱要》精神，指導(dǎo)全國中小學(xué)體育教

師科學(xué)、規(guī)范、高質(zhì)量地上好體育課，更好地幫助學(xué)生在體育鍛煉中“享受樂趣、增強

體質(zhì)、健全人格、錘煉意志”，促進青少年學(xué)生身心健康全面發(fā)展具有積極指導(dǎo)作用.根

據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)，體育教學(xué)綜合質(zhì)量指標J服從正態(tài)分布NJ。?)(用樣本平均數(shù)斤和方差

s?作為〃，^的近似值且取整數(shù))，若某市有65所中學(xué)學(xué)校，試估計該市中學(xué)學(xué)校體

有教學(xué)綜合質(zhì)量指標在(64,97]內(nèi)的學(xué)校數(shù)量.(結(jié)果保留整數(shù))

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X~N(",cr2),則P(〃-b4X0+6=0.6827,

尸(〃-2cr4X4〃+2。)=0.9545,P(〃-3bVX4刈+3bh0.9973

200

可能用到的數(shù)據(jù)：2(%-可2=24000,回X5.477.

1=1

【答案】⑴元=75

9

(2)分布列見解析，y

(3)53所

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計平均數(shù)；(2)由題意可得抽到的縣城高中問卷有

7x13=3份，非縣城高中問卷共4份，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望；(3)根據(jù)題中

數(shù)據(jù)求b,再結(jié)合正態(tài)分布運算求解.

【詳解】(1)由題意得

x=(55x0.011+65X0.02+75x0.034+85x0.028+95x0.007)x10=75,

估計抽取的200份問卷的數(shù)據(jù)平均值元=75.

（2）由于第五組總抽取7份問卷，縣城高中占，，

所以抽到的縣城高中問卷有7x1=3份，非縣城高中問卷共4份，

再從中抽3份問卷中包含縣城高中問卷數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2,3,

，尸(X=2)=警=葛,尸(X=3)=

p（x=。）哈q,p”=i）=警cl=1

JJDJC：35

故其分布列為:

X0123

418121

P

35353535

4181219

所以得到隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0x玉+lx玉+2x玉+3x玉=].

(3)因為°=?,.-x)2=25/30?10.954?11所以J~N(75,11),

200tr

P(64<J497)=<J<〃+2cr)=；P(〃-cr4〃+<r)+gP(〃-2cr<^<〃+2cr)2gx

(0.6827+0.9545)=0.8186.

則65x0.8186a53,

所以估計該市中學(xué)學(xué)校體育教學(xué)綜合質(zhì)量指標在（64,97]內(nèi)的學(xué)校數(shù)量約為53所.

7.（2023春?安徽?高三合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）2022年北京冬奧會圓滿落幕,

隨后多所學(xué)校掀起了“雪上運動，，的熱潮.為了解學(xué)生對“雪上運動”的喜愛程度，某學(xué)校

從全校學(xué)生中隨機抽取200名學(xué)生進行問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：

喜歡雪上運動不喜歡雪上運動合計

男生8040

女生3050

合計

⑴完成2x2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值C=（）.（）1的%2獨立性檢驗，能否認為是否喜歡雪上運

動與性別有關(guān)聯(lián)？

（2）①從隨機抽取的這200名學(xué)生中采用分層抽樣的方法抽取20人,再從這20人中隨機

抽取3人.記事件人="至少有2名是男生“，事件3=“至少有2名喜歡雪上運動的男生”，

事件C="至多有1名喜歡雪上運動的女生”.試計算P（A）?P（B|A）?尸（C|AB）和「（ABC）

的值，并比較它們的大小.

②①中P（ABC）與P（A）P（B|A）-P（C|AB）的大小關(guān)系能否推廣到更一般的情形？請寫

出結(jié)論，并說明理由.

參考公式及數(shù)據(jù)…小

a

%

【答案】（1）填表見解析；認為是否喜歡雪上運動與性別有關(guān)聯(lián)

⑵①P（A8C）=^,P（A）P（B|A）P（C|AB）=急

P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）；②可以,答案見解析

【分析】⑴由所給2x2列聯(lián)表，求得外=200x（80x50-40x30）--16.498>6.635-

120x80x110x90

再依據(jù)小概率值a=0.01的/獨立性檢驗即可得解；

（2）①要求P（ABC）,首先確定事件4BC表示：“2男生1女生都喜歡雪上運動”和

“3男生中至少兩人喜歡雪上運動”事件，利用組合數(shù)進行求解概率即可，再通過條件概

率求得P（A）P（B|A）P（C|A8）的值，進而可得P（ABC）=P（A>P（B|A）P（C|AB）；

②根據(jù)條件概率的計算公式即可證明一般情形也成立.

【詳解】（1）

喜歡雪上運動不喜歡雪上運動合計

男生8040120

女生305080

合計11090200

假設(shè)H。：是否喜歡雪上運動與性別無關(guān)聯(lián).

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得到/=2。鬻黑荔”6498>6.635，

依據(jù)小概率值a=0.01的z2獨立性檢驗，我們推斷H。不成立.

即認為是否喜歡雪上運動與性別有關(guān)聯(lián).

（2）①由已知事件A8C表示：“2男生1女生都喜歡雪上運動”和

“3男生中至少兩人喜歡雪上運動”事件

因為娼平&%

''段285

c：C+c：2C；(c：+c；+c；)+c；cj(c；+c；)+*；+C=98

P(A)P(B|A)P(C|AB)=C〈cC；+a,c,c；+c；+C)+c；一幅

所以尸（MC）=P（A）.尸（B|A）.P（C|AB）.

②由（i）得尸（ABC）與P（A），（8|A）-P（C|A8）相等的關(guān)系可以推廣到更一般的情形，

即對于一般的三個事件A,B,C,有「（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）.

證明過程如下：P（A）P（8|A）P（C|A8）=P（A）.勺等=尸（ABC）,得證.

P[A）

8.（2023春?安徽?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）鹽水選種是古代勞動人民的智慧結(jié)晶，其原理

是借助鹽水估測種子的密度，進而判斷其優(yōu)良.現(xiàn)對一批某品種種子的密度（單位：

g/cn?）進行測定，認為密度不小于1.2的種子為優(yōu)種，小于1.2的為良種.自然情況下,

優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為0.8和0.6.

頻率

USE

1.4

i.i----------------------------

0.9------------------

0.6------------

0.5-1-------------------------------

nkJ-------------------------------->

0.60.81.01.21.41.61.8種子密度

(1)若將這批種子的密度測定結(jié)果整理成頻率分布直方圖，如圖所示，據(jù)圖估計這批種子

密度的平均值；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)

(2)在(1)的條件下，用頻率估計概率，從這批種子(總數(shù)遠大于2)中選取2粒在自

然情況下種植，設(shè)萌發(fā)的種子數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望(各種子的

萌發(fā)互相獨立)；

(3)若該品種種子的密度夕~7(1.3,0.01),任取該品種種子20000粒，估計其中優(yōu)種的數(shù)

目.附:假設(shè)隨機變量XN5,』),則

P(〃-滋k〃+cr卜0.6827,P(〃-2弗k〃+2cr)?0.9545.

g/cm3

(2)分布列見解析,期望1.44；

(3)16827粒.

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖直接計算平均值即可；

(2)求出一粒種子發(fā)芽的概率，問題轉(zhuǎn)化為二項分布求解分布列與期望；

(3)根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，利用參考數(shù)據(jù)直接求指定區(qū)間的概率即可得解.

【詳解】(1)種子密度的平均值為：

(0.7x0.5+0.9x0.6+l.lx0.9+1.3xl.4+1.5xl.l+1.7x0.5)x0.2=1.24(g/cm3)

(2)由頻率分布直方圖知優(yōu)種占比為(14+1.l+0.5)x0.2=g,

任選一粒種子萌發(fā)的概率+=

因為為這批種子總數(shù)遠大于2,所以X8(2,p),

,77491R77

&X=0)=C；p°(l—p)2=—x—=一,P(X=])=C'P(1-P)=2X—X—=-

"252562522525€

尸(X=2)=C獷(1一2)。=捺^|324

-625

所以X布列為:

X012

49252324

P

625625625

期望第X)=2p=石=1.44.

(3)因為該品種種子的密度夕?N0.3,0.01),

2

所以〃=L3,a=0.01,即D.1,

所以20000粒種子中約有優(yōu)種20000x(0.5+笞"]=20000x0.84135=16827(粒)

即估計其中優(yōu)種的數(shù)目為16827粒.

9.(2023?安徽淮南?統(tǒng)考一模)2022年10月31日15時37分，搭載空間站夢天實驗艙成

功發(fā)射，并進入預(yù)定軌道，夢天艙的重要結(jié)構(gòu)件導(dǎo)軌支架采用了3D打印的薄壁蒙皮點

陣結(jié)構(gòu).3D打印(3DP)是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用

粉末狀金屬或塑料等可粘合材料?，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù).隨著技術(shù)不

斷成熟，3D3D3D打印設(shè)備打印出品的零件內(nèi)徑(單位：卜皿)x服從正態(tài)分布

N(105,36).

(1)若該臺3D打印了100件這種零件，記X表示這100件零件中內(nèi)徑指標值位于區(qū)間

(111,117)的產(chǎn)品件數(shù),求E(X)；

(2)該科技公司到企業(yè)安裝調(diào)試這臺3D打印設(shè)備后，試打了5個零件.度量其內(nèi)徑分別為

(單位：pm):86、95、103、109、118,試問此打印設(shè)備是否需要進一步調(diào)試，為

什么？

參考數(shù)據(jù)：P(〃一b<X<〃+b)=0.6826,P(〃-2cr<X<〃+2b)=0.9544,

P(〃-3b<X<//+3o-)=0.9974,

【答案】⑴13.59

(2)需要進一步調(diào)試，理由見解析

【分析】(1)計算出一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間(111,117)的概率，分析可知

X~B(1(X),0.1359),利用二項分布的期望公式可求得E(x)的值；

(2)計算得出〃-3。=105-18=87,〃+3<T=105+18=123,且86任(87,123),根據(jù)3。

原則可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：由題意知，〃=105,。=6,則lll=〃+b,117=〃+。

一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間(山,117)的概率即為「(〃+。<乂<〃+2。)

因為P(〃-b<X<〃+cr)=0.6826,P(〃-2cr<X<〃+2cr)=0.9544,

所以尸(〃+<r<X<〃+2<r)=；[尸(〃-2<r<X<〃+2b)-P(〃-cr<X<〃+cr)]

=-(0.9544-0.6826)=0.1359,

所以X~5(100,0.1359),所以E(X)=1(X)x0.1359=13.59.

(2)解：X服從正態(tài)分布N(105,36),由于尸(〃-3b<X<〃+3b)=0.9974,

則〃-3(T=105-18=87,//+3b=105+18=123,

所以內(nèi)徑在(87,123)之外的概率為0.0026,為小概率事件而86任(87,123),且;>0.0026,

根據(jù)3b原則，機器異常，需要進一步調(diào)試.

10.(2023?安徽馬鞍山?統(tǒng)考一模)為了了解養(yǎng)殖場的甲、乙兩個品種成年水牛的養(yǎng)殖情

況，現(xiàn)分別隨機調(diào)查5頭水牛的體高(單位：cm)如下表，請進行數(shù)據(jù)分析.

甲品種137128130133122

乙品種111110109106114

X為抽得水牛中“培育優(yōu)良”的總數(shù)，求隨機變量X的分布列與期望.

(2)當需要比較兩組數(shù)據(jù)離散程度大小的時候，如果兩組數(shù)據(jù)的測量尺度相差大，或者數(shù)

據(jù)的量綱不同，直接使用標準差來進行比較是不合適的，此時就應(yīng)當消除測量尺度和量

綱的影響.而變異系數(shù)(C.V)可以做到這一點，它是原始數(shù)據(jù)標準差與原始數(shù)據(jù)平均

數(shù)的比，即變異系數(shù)的計算公式為：變異系數(shù)=穹黠xlOO%.變異系數(shù)沒有量綱，這

樣就可以進行客觀比較了.從表格中的數(shù)據(jù)明顯可以看出甲品種的體高水平高于乙品種,

試比較甲、乙兩個品種的成年水牛的變異系數(shù)的大小.(參考數(shù)據(jù)：VK2?5.02,

V6^8?2.61)

【答案】(1)分布列見解析，E(X)=2

(2)甲品種的成年水牛的變異系數(shù)大

【分析】(1)根據(jù)古典概型概率公式，結(jié)合組合數(shù)公式，根據(jù)X的取值，分別求概率,

即可求分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)根據(jù)數(shù)據(jù)，分別求兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，標準差，即可求兩個品種的變異系數(shù)，比

較大小.

【詳解】(1)隨機變量X的可能取值為04,2,3,4,

“XT—C-C[C；

P(X=0)==0.03,P(x-D-ETC=0.24,

z-i2z-，2.z_ilf->\.?z~ilf->\z-i2

P(X=2)=,尸(X=3)=

C2JC3Cy：C3+C3c3=046C3c2C；+「C2c2=024

P(X=4)==0.03.

cfcf

隨機變量X的分布列為:

X01234

P0.030.240.460.240.03

隨機變量X的期望E(X)=0X0.03+1X0.24+2X0.46+3X0.24+4X0.03=2.

一1I

(2)=-(137+133+130+128+122)=130,=-(72+32+0+22+82)=25.2,

s甲卡5.02.

—1]

^=-(111+110+109+106+114)=110,4=-(12+0+12+42+42)=6.8,s乙=2.61.

根據(jù)公式，甲品種的變異系數(shù)為5窗02xlOO%=3.86%,乙的變異系一數(shù)為

—X100%?2.37%,

110

所以甲品種的成年水牛的變異系數(shù)大.

11.(2023秋?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀?為落實國家全民健身計劃，

提高居民身體素質(zhì)和健康水平，某電視臺每周制作一期“天天健身”節(jié)目，時長60分

鐘，每天固定時間播放.為調(diào)查該節(jié)目收視情況，從收看觀眾中隨機抽取150名.將

其觀看日平均時間(單位：分)為樣本進行統(tǒng)計.作出頻率分布直方圖如圖.

(1)請估計該節(jié)目收看觀眾的平均時間(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(2)在選取的150位觀眾中男女人數(shù)相同規(guī)定觀看均時間不低于30分鐘為滿意，低于

30分鐘為不滿意.據(jù)統(tǒng)計有48位男觀眾滿意，請列出2x2列聯(lián)表，并判斷是否有90%

的把握認為“滿意度與性別有關(guān)”?

<2=一幽2一，其中片“+葉，,+〃

附一

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K22K0)

%

【答案】(1)32.8分鐘；

(2)填表見解析；沒有90%的把握認為“滿意度與性別有關(guān)”.

【分析】(1)由頻率分布直方圖可知樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)頻率，即可求得該節(jié)目收看觀眾

的平均時間；(2)由已知可得2x2列聯(lián)表，結(jié)合獨立性檢驗計算即可判斷.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知：樣本數(shù)據(jù)在[40,50),[50,60),[60,70),[70,

80),[80,90),[90,100]的頻率分別為：0.1,0.12,0.16,0.28,0.20,0.14,

故調(diào)查表平均值為：

5x0.1+15x().12+25x0.16+35x0.28+45x0.2()4-55x0.14

=0.5+1.8+4+9.8+9+7.7=32.8,

所以該節(jié)目收看觀眾的平均時間為32.8分鐘.

(2)由(1)可知觀看平均時間不低于30分鐘的頻率為：0.28+0.20+0.14=0.62,

所以觀看平均時間不低于30分鐘的樣本數(shù)為：150x0.62=93.

由已知可得2x2列聯(lián)表如下：

不滿意滿意總計

男274875

女304575

總計5793150

y一150x(30x48-27x45)2

=—?0.2547<2.706

‘、75x75x93x57589

所以沒有90%的把握認為“滿意度與性別有關(guān)”.

12.(2023?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測)舉辦親子活動，不僅能促進家庭與幼兒園之間的合作，

還能增進親子之間的感情，對促進幼兒園教育也具有重要作用.某幼兒園為了提高家長

對該幼兒園舉辦親子活動的滿意度，隨機調(diào)查了80名家長，每名家長對該幼兒園舉辦

的親子活動給出滿意和不滿意的評價，得到的數(shù)據(jù)如下表：

滿意不滿意合計

男家長40

女家長26

合計4280

(1)補充完整上面的列聯(lián)表，并分別估計男、女家長對該幼兒園舉辦的親子活動滿意的概

率：

(2)能否有99.5%的把握認為男、女家長對該幼兒園舉辦的親子活動的評價有差異？

n(ad-be)2

參考公式：z2=其中〃=〃+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

77

【答案】⑴列聯(lián)表見解析；—

(2)有99.5%的把握認為男、女家長對該幼兒園舉辦的親子活動的評價有差異.

【分析】(1)根據(jù)題意完善2x2列聯(lián)表即可，根據(jù)古典概率分別求解概率即可.

(2)由公式先求出力2,對照參考數(shù)據(jù)作出判斷即可.

【詳解】(1)2x2列聯(lián)表如下：

滿意不滿意合計

男家長281240

女家長142640

合計423880

027

另家長對該幼兒園舉辦的親J'?活動滿意的概率:

4010

女家長對該幼兒園舉辦的親子活動滿意的概率：=14=工7

4020

2n(ad-bcY80x(28x26-14x12)-560

(2)由z2=-——~J——-=―--------------------?9.825>7.879

(a+b)(c+d)(a+c)e+")42x38x40x4057

所以有99.5%的把握認為男、女家長對該幼兒園舉辦的親子活動的評價有差異.

13.(2023春?安徽?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)某大型國有企業(yè)計劃在某雙一流大學(xué)進行招

聘面試,面試共分兩輪,且第一輪通過后才能進入第二輪面試,兩輪均通過方可錄用.甲、

乙、丙、丁4名同學(xué)參加面試，已知這4人面試第一輪通過的概率分別為：，工，亍，

354

3面試第二輪通過的概率分別為?:，5白，4?，2且4人的面試結(jié)果相互獨立.

4/129J

(1)求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用的概率；

(2)記甲、乙、丙、丁4人中最終被錄用的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴言23

(2)分布列見解析，!

【分析】(1)根據(jù)題意分別計算出甲、乙、丙、丁4名同學(xué)參加面試通過的概率，利用

對立事件的概率公式可知“至少有1人被錄用的概率”與“沒有人被錄用的概率”之和為I,

即可計算出結(jié)果；(2)寫出X的所有可能取值，再根據(jù)積事件與和事件的概率公式分別

求的其概率即可列出分布列，進而求得期望值.

211

【詳解】（I）由題意得，甲被錄用的概率為;=

乙被錄用的概率為14x^5="1，

內(nèi)被錄用的概率為=34=1

493

321

丁被錄用的概率為;X；=：；

432

事件“至少有1人被錄用”與事件”沒有人被錄用“互為對立事件,

沒有人被錄用的概率為（1_撲（1-撲（1_撲（1-￡|$

設(shè)甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用為事件

4

則尸（知）=1-萬=藥，

23

即甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用的概率為工

27

（2）由題意得，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

尸(X=l)=C；x；x(|)x；+C；x1)x(|)x；吟,

z”小z1(2丫1…「1丫211

P(X=2)=C3x-xyx-+C3x^Jx-x-=-.

2

P(X=3)=C^x[l]x|xl+C；x[lJx(|Jxl=^

P(X=4)=-x—x—x—=—

“7333254

???X的分布列為

X01234

41071

P

272735454

—+lx—+2xl+3x—+4x—=3

V72727354542

14.（2023?安徽?模擬預(yù)測）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生

習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了

100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組）,

得到如下數(shù)據(jù):

不夠良好良好

病例組4060

對照組1090

（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選

到的人患有該疾病”.僚與片捐的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風險程

度的一項度量指標，記該指標為R.

P(A|8)P(A\B)

(i)證明:R=

P(A\B)P(A\B)

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出/*8）,。（川后）的估計值，并利用（i）的結(jié)果給出R

的估計值.

2

附y(tǒng)n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】（1）答案見解析

（2）（i）證明見解析；（ii）R=6；

【分析】（1）由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出大的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否

有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異；（2）⑴根據(jù)定義

結(jié)合條件概率公式即可完成證明；（ii）根據(jù)（i）結(jié)合已知數(shù)據(jù)求R.

n(ad-be)2200(40x90-60xlQ)2

【詳解】（1）由己知K?==24,

(a+b)(c+4)(a+c)(b+cl)50x150x100x100

又尸(K*6.635)=0.01,24>6,635,

所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

⑵⑴因為小小及迪￡33還3,

P(B|A)P(8|4)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

P(AB)P(B)P(麗)P曲

所以R=

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

P(A\B)P(A|B)

所以R=

P(AIB)P(A\B)'

(ii)

由已知P⑷B)=需’P⑷砌=器

_60--90

又尸⑷8)=而'「⑷8)=而’

所以R=32?小@=6

P(A|B)P(A\B)

55位居民是否患有新冠肺炎疾病進行篩查，先到社區(qū)醫(yī)務(wù)室進行口拭子核酸檢測，檢

測結(jié)果成陽性者，再到醫(yī)院做進一步檢查