數(shù)列綜合問題

一、教材分析:

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考中占有重要的地位.考綱要求:“理解數(shù)列的概念,了解通項(xiàng)公式的意義,了解遞推公式,掌握等差數(shù)列,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,并能解決簡單的問題.”教材中數(shù)列編排在函數(shù)內(nèi)容之后,因?yàn)閿?shù)列是以正整數(shù)為自變量的一種特殊函數(shù),這樣安排既有利于認(rèn)識數(shù)列的本質(zhì),也有利于加深和鞏固對函數(shù)概念的理解.數(shù)列綜合以數(shù)列為引線和依托,結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識,題型新穎,解法靈活,能有效地考查學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力.Ⅰ、地位與作用第1頁，共21頁。Ⅱ、重點(diǎn)、難點(diǎn)與關(guān)鍵根據(jù)高考《考試說明》的要求,結(jié)合對歷屆高考試題的分析,本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)是:利用數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和等有關(guān)知識為主要工具求解數(shù)列綜合問題.而與數(shù)列交匯的、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題,特別是與不等式的綜合是教學(xué)的難點(diǎn).從教學(xué)實(shí)踐來看,學(xué)生對數(shù)列綜合題存在畏難情緒,總覺得難以掌握,因此教學(xué)的關(guān)鍵是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將問題轉(zhuǎn)化成簡單的、熟悉的問題來求解,同時(shí)注意培養(yǎng)學(xué)生的良好的個(gè)性品質(zhì),特別是排除萬難的精神.第2頁，共21頁。二、高考回顧

“在知識的交匯點(diǎn)設(shè)置能力型問題”是指導(dǎo)高考命題的思想之一.數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要的交匯點(diǎn).數(shù)列綜合題在每年高考中都會重點(diǎn)考查.下面列表對近兩年高考試題作分類統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)如下表:

從上表可以看出,2004年的15份理科試題中,每套試題均有一道解答題.其中處在壓卷題位置的有8道;2005年的16份理科試題中,除廣東卷外每套試題均有一道解答題,其中處在壓卷題位置的有5道.由此不難得知,數(shù)列解答題是高考命題必考的難度大的內(nèi)容,其命題熱點(diǎn)是與不等式交匯的、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題,其中,以函數(shù)迭代、解析幾何中曲線上的點(diǎn)列為命題載體,有著高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)列解答題是未來高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn).

第3頁，共21頁。2004年2005年全國1分奇、偶項(xiàng)的遞推數(shù)列的通項(xiàng)等比數(shù)列的公比與前n項(xiàng)和

全國2通項(xiàng)與前n項(xiàng)和、等比數(shù)列的判定等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合全國3數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)列不等式的證明等比數(shù)列、等差數(shù)列的綜合全國4導(dǎo)數(shù)、數(shù)列求和與數(shù)列極限

———————————北京抽象函數(shù)、數(shù)列通項(xiàng)與極限等比數(shù)列的判定、數(shù)列極限上海點(diǎn)列、等差數(shù)列、探索性問題涉及兩個(gè)數(shù)列的應(yīng)用性問題天津函數(shù)迭代、數(shù)列的通項(xiàng)與極限數(shù)列的求和、數(shù)列的極限重慶數(shù)列不等式、數(shù)列項(xiàng)大小比較數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列不等式遼寧函數(shù)迭代中的數(shù)列不等式函數(shù)迭代、數(shù)列不等式證明山東同全國卷1導(dǎo)數(shù)、等比數(shù)列的判定江蘇數(shù)列前項(xiàng)的和、探索性問題數(shù)列不等式的證明浙江點(diǎn)列問題、等比數(shù)列的判定點(diǎn)列問題、等差數(shù)列的判定福建涉及兩個(gè)數(shù)列的應(yīng)用性問題遞推公式、數(shù)列不等式湖北遞推數(shù)列的極限、數(shù)列不等式數(shù)列不等式的證明、數(shù)列極限湖南解析幾何、遞推數(shù)列的綜合應(yīng)用探索性問題、數(shù)列不等式廣東三角函數(shù)中的等比數(shù)列問題無江西同全國卷1數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)列不等式的證明

第4頁，共21頁。三、數(shù)列綜合問題類型及求解策略

由于數(shù)列綜合問題形式多變、思考性強(qiáng)、區(qū)分度高,因此大多數(shù)同學(xué)解此類問題時(shí)思維常常受阻,甚至無從下手,下面我結(jié)合近幾年的高考題,就數(shù)列綜合問題類型及解題策略作一點(diǎn)探討.第5頁，共21頁。

1、數(shù)列各部分知識的綜合

[求解策略]解純數(shù)列綜合題,要充分利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解.本題的關(guān)鍵是注意到akn的雙重身份——既是等比數(shù)列的第n項(xiàng),又是等差數(shù)列的第kn項(xiàng),先求出通項(xiàng)kn,再求出其前n項(xiàng)的和.

例1.已知{an}為等差數(shù)列(公差d≠０),{an}中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列ak1,ak2,…，akn,…為等比數(shù)列，其中k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+…+kn的值.第6頁，共21頁。例2.已知函數(shù)是定義在R上的不恒為零的函數(shù),且對于任意的,都滿足若,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.2、數(shù)列與函數(shù)的綜合

分析一:由于已知條件只有函數(shù)關(guān)系式和的表達(dá)式,要求證數(shù)列是等比數(shù)列,關(guān)鍵是求出,可以嘗試數(shù)學(xué)歸納法.證法一:由已知可得:猜想:,用數(shù)學(xué)歸納法證明(略).第7頁，共21頁。分析三:設(shè)法將轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列.證法三:所以,即是公差為首項(xiàng)為的等差數(shù)列.

分析二:將所給函數(shù)關(guān)系式適當(dāng)變形,根據(jù)其形式特點(diǎn)構(gòu)造另一個(gè)函數(shù),設(shè)法用此函數(shù)求出.證法二:當(dāng)時(shí),由可得:令則第8頁，共21頁。

[求解策略]

解數(shù)列與函數(shù)的綜合題,一般要利用函數(shù)、數(shù)列的性質(zhì)以及它們之間的相互聯(lián)系.本題是一道已知抽象函數(shù)關(guān)系,利用函數(shù)迭代求證數(shù)列是等比數(shù)列的問題.所提供的三種證法中,證法一思路自然,但較為繁瑣;證法二技巧性強(qiáng);證法三思維跨度大,但三種證法都體現(xiàn)了一個(gè)不變的事實(shí):充分應(yīng)用已知條件變形轉(zhuǎn)化,根據(jù)其形式特點(diǎn)構(gòu)造新的數(shù)列,然后利用數(shù)列的性質(zhì)求解.第9頁，共21頁。3、數(shù)列與不等式的綜合

法一:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)n=1時(shí),不等式成立.②假設(shè)n=k時(shí),成立.當(dāng)n=k+1時(shí),即n=k+1時(shí),成立.綜上,可知對一切正整數(shù)n成立.例3.(2004年重慶卷)設(shè)數(shù)列滿足對一切正整數(shù)成立；

第10頁，共21頁。法二:(數(shù)學(xué)歸納法)①當(dāng)n=1時(shí),不等式成立.②假設(shè)n=k時(shí),成立.當(dāng)n=k+1時(shí),由函數(shù)的單調(diào)性和歸納假設(shè)有.只需證:,即證只需,顯然成立.即n=k+1時(shí),結(jié)論成立.因此,對一切正整數(shù)n成立.法三:由遞推公式得,,,將上述各式相加并化簡得(n)又n=1時(shí),顯然成立.所以對一切正整數(shù)n成立.第11頁，共21頁。2)解法一:

解法二:∴又∴

第12頁，共21頁。

[求解策略]

證明數(shù)列不等式問題,一般可采用數(shù)學(xué)歸納法、分析法、綜合、比較法、放縮法等方法來證明.有時(shí)要綜合使用幾種方法.其中(1)中證法一、證法二都利用了數(shù)學(xué)歸納法,證法一、證法三都將目標(biāo)鎖定為證明去掉了根式,利用放縮法得證;證法二,看到遞推關(guān)系與函數(shù)的關(guān)系,利用函數(shù)單調(diào)性和分析法得證.證法三利用迭加,變更了遞推關(guān)系,這是對遞推公式常用的變形方式之一.(2)中利用比較法,方法一是作商法,方法二并不是直接作差,而是利用平方差,消除了根式,簡化了運(yùn)算,在不等式的證明中,觀察式子的結(jié)構(gòu)特征再合理地進(jìn)行放縮,是成功的關(guān)鍵.

第13頁，共21頁。

[求解策略]

數(shù)列與解析幾何的綜合題以坐標(biāo)為載體,以數(shù)列為主體內(nèi)容將解析幾何、平面幾何與數(shù)列的相關(guān)知識聯(lián)系在一起.該類問題往往以曲線上的點(diǎn)的無限運(yùn)動為背景,解決問題的關(guān)鍵是尋求點(diǎn)的坐標(biāo)間的相互聯(lián)系,得到遞推關(guān)系,再運(yùn)用數(shù)列知識進(jìn)行求解.例4.（2004浙江)△OBC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0)、(1,0)、(0,2),設(shè)P1為線段BC的中點(diǎn),為線段CO的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn),對于每一個(gè)正整數(shù)n,為線段的中點(diǎn),令的坐標(biāo)為,.(1)求(2)證明(3)若記證明是等比數(shù)列.4、數(shù)列與解析幾何的綜合第14頁，共21頁。5、數(shù)列應(yīng)用問題

例5.(2001年全國卷)從社會效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā),某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè),并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減少,本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬元,由于該項(xiàng)建設(shè)對旅游業(yè)的促進(jìn)作用,預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)每年會比上年增加(1)設(shè)年n內(nèi)(本年度為第一年)總投入為萬元,旅游總收入為

萬元,寫出的通項(xiàng)公式;(2)至少經(jīng)過幾年,旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?

[求解策略]

解數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題(等差、等比數(shù)列、遞推關(guān)系模型),然后利用相關(guān)知識求解.解題時(shí)首先要讀懂題目,理解題意,對陌生的背景、文字?jǐn)⑹霰容^長的題目,要充滿信心,從問題中盡可能多地獲取信息,大膽聯(lián)想,合理轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題.第15頁，共21頁。

總之,數(shù)列綜合題常常是數(shù)列與函數(shù)、不等式、幾何等知識點(diǎn)的交匯,因此要加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用,要有意識的運(yùn)用函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想來探求解題思路.同時(shí)要鼓勵合理的猜想、要重視數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用.

第16頁，共21頁。四、教法分析

新的課程標(biāo)準(zhǔn)指出,教學(xué)過程也是學(xué)生的認(rèn)識過程,學(xué)生在教學(xué)活動中始終處于主體地位,教師則應(yīng)成為學(xué)習(xí)活動的促進(jìn)者,而非單純的知識傳授者,其基本任務(wù)也就在于促進(jìn)和增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,我采用:問題探究式、啟發(fā)發(fā)現(xiàn)式等方法進(jìn)行教學(xué),同時(shí)采用討論式組織課堂教學(xué).在教學(xué)中我都是先提出問題,讓學(xué)生觀察分析、自主探索、歸納總結(jié),從而真正使學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考,仔細(xì)觀察,認(rèn)真分析,嚴(yán)謹(jǐn)推理的學(xué)習(xí)習(xí)慣,并提高他們的自學(xué)能力與探索意識.同時(shí)鼓勵學(xué)生相互交流，從而促使學(xué)生真正成為自覺投入且積極建構(gòu)的學(xué)習(xí)活動中的主體.第17頁，共21頁。五、評價(jià)分析

本節(jié)內(nèi)容的設(shè)計(jì)從教學(xué)內(nèi)容的引入、展開、揭示等方面出發(fā),教給學(xué)生探求知識的方法,教會學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力.本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)以發(fā)展學(xué)生的思維能力為中心,以轉(zhuǎn)化為主線,注重展示學(xué)生的思維過程,注重讓學(xué)生參與知識的形成過程,由特殊到一般,由易到難,一環(huán)扣一環(huán),從而增強(qiáng)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.同時(shí)以問題為載體,讓學(xué)生經(jīng)歷主動參與,積極探求的過程,讓學(xué)生觀察、歸納、總結(jié)、反思,因而有