2023年北師大版小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)

第一單元圓

圓概念總結(jié)

1.圓的定義：平面上的一種曲線(xiàn)圖形。

2.將一張圓形紙片對(duì)折兩次，折痕相交于圓中心的一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做圓心。圓心一

般用字母0表達(dá)。它到圓上任意一點(diǎn)的距離都相等.

3.半徑：連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段叫做半徑。半徑一般用字母r表達(dá)。把圓規(guī)

兩腳分開(kāi)，兩腳之間的距離就是圓的半徑。

4.圓心擬定圓的位置,半徑擬定圓的大小。

5.直徑:通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線(xiàn)段叫做直徑。直徑一般用字母d表達(dá)。

6.在同一個(gè)圓內(nèi),所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。

7.在同一個(gè)圓內(nèi)，有無(wú)數(shù)條半徑，有無(wú)數(shù)條直徑。

8.在同一個(gè)圓內(nèi)，直徑的長(zhǎng)度是半徑的2倍，半徑的長(zhǎng)度是直徑的一半。

用字母表達(dá)為：d=2rr=-d

2

用文字表達(dá)為：半徑=直徑+2直徑=半徑X2

9.圓的周長(zhǎng):圍成圓的曲線(xiàn)的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)。

10.圓的周長(zhǎng)總是直徑的3倍多一些,這個(gè)比值是一個(gè)固定的數(shù)。我們把圓的周長(zhǎng)和直

徑的比值叫做圓周率，用字母》表達(dá)。圓周率是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。在計(jì)算時(shí)，取

》“3.14。世界上第一個(gè)把圓周率算出來(lái)的人是我國(guó)的數(shù)學(xué)家祖沖之。

11.圓的周長(zhǎng)公式:C=4d或C=2%r

圓周長(zhǎng)=乃*直徑圓周長(zhǎng)=萬(wàn)乂半徑X2

12、圓的面積：圓所占面積的大小叫圓的面積。

13.把一個(gè)圓割成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，割拼成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相稱(chēng)于圓周長(zhǎng)的一半，用字

母（乃r）表達(dá)，寬相稱(chēng)于圓的半徑,用字母（r）表達(dá)，由于長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)乂寬，所

2

以圓的面積=萬(wàn)rXro圓的面積公式:S=?rO

14.圓的面積公式:S=）產(chǎn)

15.在一個(gè)正方形里畫(huà)一個(gè)最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)。

16.在一個(gè)長(zhǎng)方形里畫(huà)一個(gè)最大的圓，圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬。

17.一個(gè)環(huán)形,外圓的半徑是R,內(nèi)圓的半徑是r,它的面積是S=》R2-7r2或S=%

（R2-r2）o

（其中R=r+環(huán)的寬度.）

19.半圓的周長(zhǎng)等于圓的周長(zhǎng)的一半加直徑。半圓的周長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)的一半的區(qū)別在于，

半圓有直徑，而圓周長(zhǎng)的一半沒(méi)有直徑。

半圓的周長(zhǎng)公式：C=7rd+2+d或C=;rr+2r

圓周長(zhǎng)的一半=不「

20.半圓面積=圓的面積+2公式為:S=;rr2+2

21.在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長(zhǎng)也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。而

面積擴(kuò)大或縮小以上倍數(shù)的平方倍。

例如：在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大4倍，那么直徑和周長(zhǎng)就都擴(kuò)大4倍，而面積擴(kuò)大1

6倍。

22.兩個(gè)圓的半徑比等于直徑比等于周長(zhǎng)比，而面積比等于以上比的平方。

例如：兩個(gè)圓的半徑比是2:3,那么這兩個(gè)圓的直徑比和周長(zhǎng)比都是2：3,而面積比是

4:90

圓周長(zhǎng)和直徑的比是4：1,比值是萬(wàn)

圓周長(zhǎng)和半徑的比是2乃：1,比值是2乃

23.當(dāng)一個(gè)圓的半徑增長(zhǎng)a厘米時(shí)，它的周長(zhǎng)就增長(zhǎng)2萬(wàn)a厘米；

當(dāng)一個(gè)圓的直徑增長(zhǎng)a厘米時(shí)，它的周長(zhǎng)就增長(zhǎng)萬(wàn)a厘米。

24.在同一圓中，圓心角占圓周角的幾分之幾，它所在扇形面積就占圓面積的幾分之

幾；所對(duì)的弧就占圓周長(zhǎng)的幾分之幾.

25.當(dāng)長(zhǎng)方形，正方形，圓的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓的面積最大，長(zhǎng)方形的面積最小

*26扇形弧長(zhǎng)公式：扇形的面積公式：S=-±x%己（n為扇形的圓心角度數(shù)，

360

1?為扇形所在圓的半徑）

27.軸對(duì)稱(chēng)圖形：假如一個(gè)圖形沿著一條直線(xiàn)對(duì)折,兩側(cè)的圖形可以完全重合，這個(gè)圖形

就是軸對(duì)稱(chēng)圖形。折痕所在的這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸。

28.有一條對(duì)稱(chēng)軸的圖形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。

有2條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是：長(zhǎng)方形

有3條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是：等邊三角形

有4條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是:正方形

有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是：圓、圓環(huán)。

29.直徑所在的直線(xiàn)是圓的對(duì)稱(chēng)軸。

第二單元百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

（一）百分?jǐn)?shù)的基本概念

1.百分?jǐn)?shù)的定義:表達(dá)一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)也叫做

百分率或比例。

百分?jǐn)?shù)表達(dá)兩個(gè)數(shù)之間的比率關(guān)系，不表達(dá)具體的數(shù)量，所以百分?jǐn)?shù)不能帶單位。

2.百分?jǐn)?shù)的意義:表達(dá)一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。

例如：25%的意義:表達(dá)一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的25%。

3.百分?jǐn)?shù)通常不寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，而在本來(lái)分子后面加上“％”來(lái)表達(dá)。分子部分可為

小數(shù)、整數(shù)，可以大于100,小于100或等于100。

4.小數(shù)與百分?jǐn)?shù)互化的規(guī)則：

把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)，只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分號(hào)；

把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù),只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。

5.百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)互化的規(guī)則：

把分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)，通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡的保存三位小數(shù)），再把小數(shù)

化成百分?jǐn)?shù)；

把百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)，先把百分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成分?jǐn)?shù),能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

（二）百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（一）

求增長(zhǎng)百分之幾？減少百分之幾?

公式：增長(zhǎng)百分之幾=增長(zhǎng)的部分?單位1

減少百分之幾=減少的部分小單位1

例如：1、45立方厘米的水結(jié)成冰后，冰的體積為50立方厘米，冰的體積比本來(lái)水的體

積增長(zhǎng)百分之幾？

解題思緒：根據(jù)公式增長(zhǎng)百分之幾=增長(zhǎng)的部分+單位1,先擬定單位1是水，己經(jīng)知道

是45:增長(zhǎng)的部分不知道，可以運(yùn)用50減45求得5；最后用增長(zhǎng)的部分5+單位1水的

45就等于增長(zhǎng)百分之幾。

計(jì)算環(huán)節(jié)：第一步：?jiǎn)挝?:水：45立方厘米

第二步:增長(zhǎng)的部分：50—45=5立方厘米

第三步:增長(zhǎng)百分之幾：54-45=11.1%

2、45立方厘米的水結(jié)成冰后，體積增長(zhǎng)了5立方厘米，冰的體積比本來(lái)水的體積增長(zhǎng)

百分之幾？

解題思緒:根據(jù)公式增長(zhǎng)百分之幾=增長(zhǎng)的部分+單位1,先擬定單位1是水，已經(jīng)知道是

45:增長(zhǎng)的部分是5立方厘米;最后用增長(zhǎng)的部分5?單位1水的45就等于增長(zhǎng)百分之

幾。

計(jì)算環(huán)節(jié)：第一步：?jiǎn)挝?：水：45立方厘米

第二步:增長(zhǎng)的部分：5立方厘米

第三步:增長(zhǎng)百分之幾：54-45=11.1%

3、水結(jié)成冰后，體積增長(zhǎng)了5立方厘米，冰的體積為50立方厘米，冰的體積比本來(lái)水的

體積增長(zhǎng)百分之幾？

解題思緒：根據(jù)公式增長(zhǎng)百分之幾=增長(zhǎng)的部分+單位1,先擬定單位1是水，不知道但

可以根據(jù)題目“水結(jié)成冰后，體積增長(zhǎng)了5立方厘米”知道水是少的，冰是多的，所以

可以用50—5求出水是45立方厘米。加的部分是5立方厘米；；最后用增長(zhǎng)的部分5?

單位1水的45就等于增長(zhǎng)百分之幾。

計(jì)算環(huán)節(jié):第一步：?jiǎn)挝?：水：50—5=45立方厘米

第二步：增長(zhǎng)的部分：5立方厘米

第三步:增長(zhǎng)百分之幾:54-45=11.1%

4、“減少百分之幾與增長(zhǎng)百分之幾”的解題方法完全相同。

5,與增長(zhǎng)百分之幾相同的尚有“多百分之幾”“提高百分之幾”

“增長(zhǎng)百分之幾“等。

與減少百分之幾相同的尚有“少百分之幾”“減少百分之幾”“節(jié)約百分之幾”

等。

百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題(二)

比一個(gè)數(shù)增長(zhǎng)百分之幾的數(shù)，比一個(gè)數(shù)減少百分之幾的數(shù)。

例如1、矣得小學(xué)去年有80名學(xué)生，今年的學(xué)生人數(shù)比去年增長(zhǎng)了25%,今年有多少

名學(xué)生？

解題思緒:單位1去年已經(jīng)知道用乘法，增長(zhǎng)用(1+25%)

算式：80X(1+25%)

2、矣得小學(xué)去年有80名學(xué)生，今年的學(xué)生人數(shù)比去年減少了25%,今年有多少名學(xué)生？

解題思緒:單位1去年已經(jīng)知道用乘法，減少用(1-25%)

算式：80X(1-25%)

3、矣得小學(xué)今年有100名學(xué)生，比去年增長(zhǎng)了25%,去年有多少名學(xué)生？

解題思緒：?jiǎn)挝?去年不知道用除法,增長(zhǎng)用(1+25%)

算式：100+(1+25%)

4、矣得小學(xué)今年有100名學(xué)生，比去年減少了25%,去年有多少名學(xué)生？

解題思緒:單位1去年不知道用除法,增長(zhǎng)用(1-25%)

算式：100+(1-25%)

百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題(三)列方程解百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

1、小明看一本書(shū)，第一天看了全書(shū)的25%,第二天看了全書(shū)的20%,第一天比第二天多

看20頁(yè)，這本書(shū)一共有多少頁(yè)？

解題思緒：?jiǎn)挝?一本書(shū)不知道，可以選用方程或除法來(lái)解答。

根據(jù)“第一天比第二天多看20頁(yè)”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天減

去第二天等于多余的20頁(yè)。

等量關(guān)系式：第一天一第二天=20頁(yè)

方法1：解：設(shè)這本書(shū)一共有X頁(yè)。

由“第一天看了全書(shū)的25%”可以知道第一天等于全書(shū)乘以25%,用X可以表達(dá)為

25%X,由“第二天看了全書(shū)的20%”可以知道第二天等于全書(shū)乘以20%,用X可以表

達(dá)為20%X.依據(jù)等量關(guān)系式“第一天一第二天=20頁(yè)”可以列方程為：25%X-

20%X=20

方法2:“第一天比第二天多看20頁(yè)”可以知道20頁(yè)是第一天和第二天的差。規(guī)定單

位1只要用20頁(yè)除以20頁(yè)的對(duì)于分率。

列算式為：209(25%—20%)

2、小明看一本書(shū)，第一天看了全書(shū)的25%,第二天看了全書(shū)的20%,兩天共看了20

頁(yè)，這本書(shū)一共有多少頁(yè)？

等量關(guān)系式：由“兩天共看了20頁(yè)”可以知道第一天+等二天=20頁(yè)。

方程法：解:設(shè)這本書(shū)共有X頁(yè)，則第一天為25%X,第二天為20%X。

方程列為：25%X+20%X=20

算術(shù)法：由“兩天共看了20頁(yè)”可以知道20頁(yè)是第一天和第二天的和，規(guī)定單位1

只要用20頁(yè)除以20頁(yè)的對(duì)于分率。

列算式為：209(25%+20%)

3、小明看一本書(shū)，第一天看了全書(shū)的25%,第二天看了全書(shū)的20%,還剩20頁(yè)，

這本書(shū)一共有多少頁(yè)？

等量關(guān)系式：一本書(shū)一第一天一第二天=20頁(yè)

方程法:解設(shè)這本書(shū)一共有X頁(yè)，則第一天為25%X,第二天為20%X。

列方程為：X—25%X—20%X=20

算術(shù)法:20+(l-25%X-20%)

4、小明看一本書(shū)，第一天看了全書(shū)的25%,第二天比第一天多看10頁(yè)，還剩20頁(yè)，這

本書(shū)一共有多少頁(yè)？

方程法:解設(shè)這本書(shū)一共有X頁(yè)，則第一天為25%X,第二天為（25%X+1O）頁(yè)。

列方程為：X—25%X—（25%X+10）=20

百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（四）利息的計(jì)算

L本金：存入銀行的錢(qián)叫做本金。

2.利息：取款時(shí)銀行多支付的錢(qián)叫做利息。

利息=本金義利率X時(shí)間

3.2023年10月9日以前國(guó)家規(guī)定，存款的利息要按20%的稅率納稅。國(guó)債的利息

不納稅。2023年10月9日以后免收利息稅。所以如無(wú)特殊說(shuō)明，就不在計(jì)算利息

稅。

4.利率:利息與本金的比值叫做利率。

5.銀行存款稅后利息的計(jì)算公式：稅后利息=利息X（l—20%）

6.國(guó)債利息的計(jì)算公式：利息=本金X利率X時(shí)間

7.本息:本金與利息的總和叫做本息。

8.應(yīng)納稅額:繳納的稅款叫應(yīng)納稅額。

9.稅率：應(yīng)納稅額與各種收入的比率叫做稅率。

10.應(yīng)納稅額的計(jì)算:應(yīng)納稅額=各種收入x稅率

例如:李老師把2023元錢(qián)存入銀行，整存整取五年，年利率按4.14%計(jì)算，到期時(shí),李老師

的本金和利息共有多少元？

解題思緒:規(guī)定“本金和利息共有多少元”應(yīng)當(dāng)用本金的2023元加上利息的。

解題環(huán)節(jié)：第一步:根據(jù)“利息=本金X利率X時(shí)間”算利息

利息:2023義4.14%X5=414元

第二步:本金+利息：2023+414=2414元。

例如：李老師把2023元錢(qián)存入銀行，整存整取五年，年利率按4.14%計(jì)算，到期時(shí),李老師

的本金和利息共有多少元？（假如利息按20%來(lái)上稅）

解題思緒：規(guī)定“本金和利息共有多少元”應(yīng)當(dāng)用本金的2023元加上利息的。

解題環(huán)節(jié)：第一步：根據(jù)“利息=本金義利率義時(shí)間”算利息

禾I」息:2023X4.14%X5=414元

第二步：算稅后利息:414義（1—20%）=331.2元

本金+利息2023+331.2=233.2元。

第三章圖形的變換

1、圖形變換的三種方法：

第一種平移:要說(shuō)明向什么方向（上、下、左、右）平移幾個(gè)。

第二種旋轉(zhuǎn)：要說(shuō)明繞哪個(gè)點(diǎn)，順時(shí)針還是逆時(shí)針，旋轉(zhuǎn)多少度（90度、180度、

270度）

第三種作對(duì)稱(chēng)圖形：要說(shuō)明是關(guān)于哪條直線(xiàn)作哪個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)圖形。

2、比賽場(chǎng)次、握手次數(shù)的計(jì)算

第一步:一方面要算出有多少個(gè)人（或多少支隊(duì)伍）進(jìn)行比賽。有多少個(gè)人進(jìn)行握手。

第二步：計(jì)算比賽場(chǎng)次、握手次數(shù)。假如是5人，從1加到4,假如是6人，從1加到5,

假如是8人，從1力口至U7，假如是100人，從I力口至I」99.

2、計(jì)算起跑線(xiàn)。

假如:第一道的彎道半徑是36米，每個(gè)道的跑道寬度是1.2米

那么：第二道的彎道半徑=第一道的彎道半徑+跑道寬度=36+1.2。

第三道的彎道半徑=第一道的彎道半徑+跑道寬度+跑道寬度=36+1.2+1.2

第四道的彎道半徑=第一道的彎道半徑+跑道寬度+跑道寬度12米+跑道寬度=36+

1.2+1.2+1.2

第五道的彎道半徑=第一道的彎道半徑+跑道寬度+跑道寬度+跑道寬度+跑道寬度

=36+1.2+1.2+1.2+1.2

不同的兩個(gè)道的起跑點(diǎn)相差多少米的算法：第一步:先算出要跑幾圈。第二步:計(jì)算出兩

個(gè)半圓性跑道所構(gòu)成的圓的周長(zhǎng)。第三步：有兩個(gè)道的圓周長(zhǎng)相減，就得出了在兩個(gè)道

種跑一圈的起點(diǎn)相差多少米。第四步:用這個(gè)相差數(shù)X要跑的圈數(shù).

第四單元比的結(jié)識(shí)

（一）比的基本概念

1.兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。

2.比值通常用分?jǐn)?shù)、小數(shù)和整數(shù)表達(dá)。

3.比的后項(xiàng)不能為0。

4.同除法比較，比的前項(xiàng)相稱(chēng)于被除數(shù)，后項(xiàng)相稱(chēng)于除數(shù)，比值相稱(chēng)于商；

5.根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，比的前項(xiàng)相稱(chēng)于分子，比的后項(xiàng)相稱(chēng)于分母,比值相稱(chēng)于分

數(shù)的值。

6.比的基本性質(zhì):比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘上或者同時(shí)除以相同的數(shù)（0除外），比值不

變。

（二）求比值

1、求比值：用比的前項(xiàng)除以比的后項(xiàng)

（三）化簡(jiǎn)比

1、化簡(jiǎn)比：用比的前項(xiàng)除以比的后項(xiàng)求出分?jǐn)?shù)的比值后，在把分?jǐn)?shù)比值改成比。

（四）比的應(yīng)用

1、比的第一種應(yīng)用:已知兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)量的和，這兩個(gè)或幾個(gè)數(shù)量的比，求這兩個(gè)或

這幾個(gè)數(shù)量是多少？

例如：六年級(jí)有60人，男女生的人數(shù)比是5：7,男女生各有多少人？

題目解析:60人就是男女生人數(shù)的和。

解題思緒:第一步求每份：60+（5+7）=5人

第二步求男女生:男生:5X5=25人女生:5X7=35人。

2、比的第二種應(yīng)用：己知一個(gè)數(shù)量是多少，兩個(gè)或幾個(gè)