2023年陜西省安康市高考數(shù)學(xué)第三次質(zhì)檢聯(lián)考試卷（理科）及答案解析

2023年陜西省安康市高考數(shù)學(xué)第三次質(zhì)檢聯(lián)考試卷(理科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知集合4={(x,y)|y=/},8={(x,y)|y=%},則{nB=()

A.{0,1}B.{(0,0),(1,1)}C.{1}D.{(1,1)}

2.若復(fù)數(shù)2=。+69/€/?)滿足盤為純虛數(shù)，則5=()

A.-2B.C.|D.2

3.已知等差數(shù)列{a4}的前n項(xiàng)和為2，a3+a4=4,則56=()

A.6B.12C.18D.24

4.已知向量為=(2,1)1=(l,x)，若2五一芯與石共線，則|E|()

A.?B.1C.屋D.5

5.黨的二十大報(bào)告提出全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興.為振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，某市一知名電商平臺決定為鄉(xiāng)

村的特色產(chǎn)品開設(shè)直播帶貨專場.該特色產(chǎn)品的熱賣黃金時(shí)段為2023年3月1至5月31日，為了

解直播的效果和關(guān)注度，該電商平臺統(tǒng)計(jì)了已直播的2023年3月1日至3月5日時(shí)段的相關(guān)數(shù)據(jù),

這5天的第x天到該電商平臺專營店購物人數(shù)y(單位：萬人)的數(shù)據(jù)如表：

日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日

第“天12345

人數(shù)y(單位：萬人)75849398100

依據(jù)表中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得y與x的線性回歸方程為y=6.4%+a.請預(yù)測從2023年3月1日

起的第58天到該專營店購物的人數(shù)(單位：萬人)為()

A.440B.441C.442D.443

6.羽毛球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)全民喜愛的體育運(yùn)動(dòng)，標(biāo)準(zhǔn)的羽毛球由16根羽毛固定在

球托上，測得每根羽毛在球托之外的長為6cm,球托之外由羽毛圍成的部分可

看成一個(gè)圓臺的側(cè)面，測得頂端所圍成圓的直徑是6cm,底部所圍成圓的直徑

是2an,據(jù)此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展開圖的圓心角為()

A.IB.\C.yD.7T

7.在(；-x)7的展開式中，下列說法正確的是()

A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為1B.第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

C.所有項(xiàng)的系數(shù)和為128D.第4項(xiàng)的系數(shù)最大

8.已知方程(小一小》+27)(>2一?%+27)=0的四個(gè)根組成以1為首項(xiàng)的等比數(shù)歹U，則|血一

n|=()

A.8B.12C.16D.20

9.已知正三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)都在球。的球面上,其側(cè)棱與底面所成角為全且PA=

則球。的表面積為()

A.87rB.127rC.167rD.18TT

10.已知橢圓C：捻+5=l(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為%F2,P為橢圓C上一點(diǎn),

NFiP%=60。，點(diǎn)?2到直線PF1的距離為?a，則橢圓C的離心率為()

A.6B.CD.小

3233

11.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足"2—x)=f(x),且f(x+2)-1為奇函數(shù),則

酒/(卜)=()

A.-2023B,-2022C.2022D,2023

12.若>1+2a=於=上=1.01,則()

1—c

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

x>0

13.已知心y滿足約束條件卜一2y4-2,則2=%-、的最大值是.

,x+y<7

14.已知函數(shù)/Xx)=｛先督工〉0-則加唯3)=.

15.已知函數(shù)/(x)=cos3x(a>>0)的圖象關(guān)于點(diǎn)(],0)對稱，且在區(qū)間[0,§單調(diào)，則3的一

個(gè)取值是

16.仇章算術(shù)》中記載了我國古代數(shù)學(xué)家祖隨在計(jì)算球的

體積時(shí)使用的一個(gè)原理：“募勢既同，則積不容異”，此即祖

曜原理，其含義為：兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面的

面積恒相等，則它們的體積相等.已知雙曲線C：冒-，=

l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)到漸近線的距離記為d,雙曲線C的兩條漸近線與直線y=1,y=-1

以及雙曲線C的右支圍成的圖形（如圖中陰影部分所示）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為

—dCTT（其中c2=a2+b2）,則雙曲線C的離心率為.

三、解答題（本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題12.0分）

已知A的。的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且a<c,sin?-4）cos/+A）=；?

⑴求4；

（2）若b=V"耳，asinA+csinC=4V-3sinB，求△ABC的面積.

18.（本小題12.0分）

某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識有獎(jiǎng)競賽，競賽

獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：得分在［70,80）內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在［80,90）內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在

［90,100］內(nèi)的學(xué)生獲一等獎(jiǎng)，其他學(xué)生不得獎(jiǎng).為了解學(xué)生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機(jī)抽取

100名學(xué)生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.

t頻率/組距

0.034.......................1?

O18

O.016

.0

o.O—2

O.OO8

O.OO6

,。

304()506070

（1）現(xiàn)從該樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的競賽成績，求這2名學(xué)生中恰有1名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率；

（2）估計(jì)這100名學(xué)生的競賽成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（3）若該市共有10000名學(xué)生參加了競賽，所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布N（〃R2）,

其中。-14,〃為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績超過78分的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果四

舍五入到整數(shù)）.

N（〃R2）,

附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布則-a<X<n+a）0.6827,P（n-2a<X<

林+2（T）?0.9545,PQi—3a<X<n+3<T）?0.9973.

19.（本小題12.0分）

如圖1,四邊形4BCD是梯形，AB〃CD,AD=DC=CB=^AB=4,M是4B的中點(diǎn)，將4ADM

沿DM折起至△4DM,如圖2,點(diǎn)N在線段AC上.

A

N

cD

Z7\

BMAB。M

圖I圖2

(1)若N是4'C的中點(diǎn)，證明：平面DMN_L平面ABC；

(2)若4c=2門，二面角。一DM—N的余弦值為?，求禁的值.

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=mex+lnx~2+1.

(1)若m=0,求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若f(x)<0恒成立，求小的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

已知拋物線C：y2=2Px的焦點(diǎn)為F(l,0).

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點(diǎn)F的直線I與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，M為拋物線C上的點(diǎn)，且力MF14B,

求AABM的面積.

22.(本小題10.0分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知直線，的參數(shù)方程為卮:2一至)?為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。

為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p2(l+3sE2?)=4.

(1)求直線1的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若射線0=￡(其中/?e(0,兀)，且tan￡=-；，p>0)與曲線C在%軸上方交于點(diǎn)M,與直線

I交于點(diǎn)N,求|MN|.

23.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/'(x)=|2x+2|+|x-3|.

(1)求不等式/'(x)<5的解集：

(2)若Vx€R,上2—3可求a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：聯(lián)立a與B中的方程得：\y=x\

\y=x

消去y得：x2=%,B|Jx（x-1）=0,

解得：x=0或％=1,

把x=0代入得：y=0；把％=1代入得：y=l,

方程組的解為修：;,gzt

則AClB=｛（0,0）,（1,1）｝,

故選：B.

聯(lián)立4與8中兩方程組成方程組，求出方程組的解即可確定出4與B的交集.

此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.【答案】A

【解析】解：捻=霧=霹圖）=2。+空2%-吃為純虛數(shù),

[2a+b=0

=-2.

故選：A.

將2=。+兒（?！眬/?）代入信化簡，然后根據(jù)其為純虛數(shù)，可求出結(jié)果.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得%+=。3+=4,

6（。1+。6）_6（。3+。4）

所以56==12.

22

故選：B.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得的+。6=4,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：由題意可得2五一石=(3,2-x)，

?-?2a-方與方共線，:3%=2-x,解得x=

?1?向=J1+R醇

故選：A.

根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)公式求出，再根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式即可得解.

本題主要考查向量模公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

-1+2+3+44-5°-75+84+93+98+100八八

【解析】解:由題意,x=---------=3,y=-------------------------=90,

將(3,90)代入丫=6.4》+(1，可得90=6.4x3+a,解得a=70.8,

線性回歸直線方程為y=6.4%+70.8>

將x=58代入上式，y=6.4x58+70,8=442.

故選：C.

由表格數(shù)據(jù)得出中心點(diǎn)代入計(jì)算出回歸方程，然后預(yù)測即可.

本題主要考查線性回歸方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：將圓臺補(bǔ)成圓錐，則羽毛所在曲面為大圓錐的側(cè)面截去

一個(gè)小圓錐的側(cè)面所得，

設(shè)小圓錐母線長為x,則大圓錐母線長為x+6,由相似得嚏即

x+63

%=3,

???可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展開圖的圓心角為等=與.

故選：C.

將圓臺補(bǔ)成圓錐，則羽毛所在曲面為大圓錐的側(cè)面截去一個(gè)小圓錐的側(cè)面所得，求出小圓錐的母

線長后可得展開圖圓心角.

本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：對選項(xiàng)A：展開式所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為27=128,錯(cuò)誤；

對選項(xiàng)&展開式共有8項(xiàng)，故第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，正確；

對選項(xiàng)C：令x=1得所有項(xiàng)的系數(shù)和為(2—1)7=1,錯(cuò)誤；

r7r2r741

對選項(xiàng)Tr+1=C；-(-l)-2--x-,〃=叫?(-I-.2-X-,系數(shù)小于0,4=啰?(-I—?

25*3=672-系數(shù)大于0,。錯(cuò)誤.

故選:B.

展開式所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為27=128,A錯(cuò)誤，

展開式共有8項(xiàng)，第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，B正確，

令x=1得C錯(cuò)誤，

第4項(xiàng)系數(shù)小于0,第3項(xiàng)系數(shù)大于0,。錯(cuò)誤，得到答案.

本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：設(shè)方程(刀2-mx+27)(芯2-nx+27)=0的四個(gè)根由小到大依次為a2<a3,a4,

不妨設(shè)久2—THX+27=0的一根為1,則另一根為27,所以m=1+27=28,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可知。逆4=a2a3,所以的=1,上4=27,

所以等比數(shù)列%,a2,a3,a’的公比為q=騁=3,

2

所以a?=1X3=3,a3=1x3=9,由韋達(dá)定理得n=3+9=12,可得-n\=|28-12|=

16.

故選：C.

設(shè)方程的四個(gè)根由小到大依次為ara2,a3,a4,不妨設(shè)/一小彳+27=0的一根為1,則另一根

為27,求得m=28,再由等比數(shù)列的性質(zhì)得到的=l,a4=27,求得公比q=3,進(jìn)而求得a2=3,

a3=9,進(jìn)而得到ri=12,即可求解.

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：如圖，設(shè)點(diǎn)Q為△力BC的中心，則PQJL平面4BC,

???^PAQ=AQ=V_3,PQ=3.

球心。在直線PQ上，連接40,設(shè)球。的半徑為r,

則04=OP=r,0Q=3—r,

在RtAOAQ中，/=(「)2+(3—r)2,解得r=2,

二球。的表面積為4兀產(chǎn)=167r.

故選：C.

作出圖形判斷外接球球心的位置，先求出相關(guān)線段的長度，然后利用勾股定理求出外接球半徑,

代入球的表面積公式即可求解.

本題考查三棱錐的外接球問題，勾股定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

10.【答案】A

【解析】解：如圖，設(shè)F2Md于M,

則由題意得|F2Ml=?a,乙F"=60°,

：.\PM\=^a,\PF2\=^a,

由橢圓定義可得|P&|+\PF2\=\PM\+IMF/+\PF2\=

2a,

=在RtZkMFiF2中，由勾股定理得：

a2+(?Q)2=4c2,

cC

:?e=-=-r-?

a3

故選:A.

設(shè)F2Mlp6于M,則由已知條件可求出|PM|,|PF2|,再利用橢圓的定義可求出|M0|,然后在Rt△

M&F2中利用勾股定理列方程可求出離心率.

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

11.【答案】D

【解析】解：??,f(2-%)=/(%),???/(%)關(guān)于%=1對稱,

???/(%4-2)-1為奇函數(shù)，，由平移可得/(%)關(guān)于(2,1)對稱，且f(2)=1,

**?f(%+2)—1=—f(—x+2)+1,即f(%+2)+/(2—x)=2,

v/(2-%)=/(%)，：./(%+2)+/(%)=2,f(x+4)+/(%+2)=2,

上兩式比較可得/(%)=/(%+4),

???函數(shù)/(冗)是以4為周期的周期函數(shù)./⑴+/⑶=2/(2)=2,/(4)=/(2)=1,

???f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,.??￡駕3/⑻=4x竿-/(4)=2023.

故選：D.

利用抽象函數(shù)的軸對稱與中心對稱性的性質(zhì)，得出函數(shù)/(x)的對稱軸和中心對稱點(diǎn)及周期，利用

相關(guān)性質(zhì)得出具體函數(shù)值，即可得出結(jié)果.

本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】A

【解析】解：由V1+2a=e[=白;=1.01,可得a=1，。；Rb=lnl.01,c=l—1奈，

比較a和b,構(gòu)造函數(shù)f(x)=*—加久,

當(dāng)x>l,f(x)=x-^>0,/'(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

故f(1.01)>f⑴=O即a>b.

同理比較b和c,構(gòu)造函數(shù)g(x)=Inx—(1—：),

當(dāng)x>l,g'(x)=§U>0,二g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

:.g(1.01)>g⑴=0,即b>c.

綜上，a>b>c.

故選:A.

根據(jù)等式解出a、b、c的值，利用作差法，再通過構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)單調(diào)性判斷作差后的兩式

大小，最后作出比較.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)值大小的比較，屬于中檔題.

13.【答案】1

【解析】解：作出可行域如圖陰影部分所示,

當(dāng)直線y=x-z平移至點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值，

由沈驍?_2,解得(k*即點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3),

所以Zjnax=4-3=1.

故答案為：L

根據(jù)可行域和目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解.

本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】之

10

【解析】解:f(log23)=f(log23-1)="。比|)=/(^21-1)="。先6=4s息=

22s舄=2.

16

故答案為：高

1O

根據(jù)分段函數(shù)/(X)=｛先；>0和晦3>0,利用/(x)=/(%-1)轉(zhuǎn)化為〃。比3)=

f。。如3-1)=/(/O52|-D=""2》求解?

本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】1或3或5或7(寫出其中一個(gè)即可)

【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(X)=COS3X的圖象關(guān)于&0)對稱，可得COS(3?方=0,

解得3，+kn,k￡Z,所以3=1+2fc,kWZ,

又因?yàn)?(%)在區(qū)間上單調(diào)，可得3%6[O^co],

結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得^^工兀，

o

解得0<3〈8,

所以3=1或3或5或7.

故答案為：1或3或5或7（寫出其中一個(gè)即可）.

由/（乃的圖象關(guān)于G，0）對稱，求得（o=l+2k,k&Z,再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得3的范圍,

即可求解.

本題主要考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

16.【答案】口

【解析】解：由題意知漸近線方程為、=±：x,右焦點(diǎn)為F（c,O）,

所以4=畀=仇

a7+b

P=1

由|b,得X=百a

[y—b

（y=i,__________r^~

由得?卜（]+?斗,

所以截面面積為兀（。2（：：+1）_金=兀a2,

由題知，陰影部分繞y軸轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積等于底面積與截面面積相等，高為2的圓柱的體

積，

???V=2na2=\--dcn=^-bcn>BPV_6a2=bc<

所以6a4=b2c2=（c2—a2）c2,即6a4=c4—a2c2,

e4-e2—6=0.解得e2—3,所以e=3.

故答案為：<3.

先利用條件求出d,直線y=l與漸近線及雙曲線的交點(diǎn)，從而求出截面積，再利用題設(shè)所給信息

建立等量關(guān)系，從而求出結(jié)果.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，方程思想，屬中檔題.

17.【答案】解：⑴sin/-A)cos償+4)=cos碌一(卜A)]cosG+4)=cos2償+4)=

cos?+2A)+li

2―4f

/Hft.,Tt4、7T,A、V-341.1?A、2/4,A\COS(^+2/1)+1

(或sin(Q-?l)cosZ(-+4)=(Z—cosAcosAa--sinA)=cos2(-+/)=——--------=

(乙乙O乙

cos(^+24)=-：，

???OV4V7T,??.24+2/<?，?.?5+24=4或5+24=箏

ooooooo

解得4=:或4=va<c,?-A<三：.4=[.

oZZo

(2)由(1)知4=卷asinA+csinC=4y/~~3sinB,

由正弦定理得a2+c2==12,

由余弦定理得M=b2+c2-2bc?cosA,BP12-c2=34-c2-2A/~3C??，

整理得2c2-3c-9=0,

由c>0得c=3,

cIf?A1/-oc13V3

S4ABe=/csinA=2xv3x3x-=—?

【解析】(1)利用誘導(dǎo)公式或者直接展開計(jì)算，再根據(jù)倍角公式化簡即可；

(2)利用正弦定理進(jìn)行角化邊，再根據(jù)余弦定理求出c邊，最后利用正弦定理的三角形面積公式計(jì)

算即可.

本題主要考查三角恒等變換，正余弦定理的應(yīng)用，三角形面積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于

中檔題.

18.【答案】解：(1)由樣本頻率分布直方圖得，樣本中獲一等獎(jiǎng)的有6人，獲二等獎(jiǎng)的有8人，獲

三等獎(jiǎng)的有16人，共有30人獲獎(jiǎng)，70人沒有獲獎(jiǎng)，

從該樣本中隨機(jī)抽取的2名學(xué)生的競賽成績，基本事件總數(shù)為盤。。，

設(shè)“抽取的2名學(xué)生中恰有1名學(xué)生獲獎(jiǎng)”為事件4則事件4包含的基本事件的個(gè)數(shù)為C；oGo，

?.?每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性都相等，

即抽取的2名學(xué)生中恰有1名學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為費(fèi).

(2)由樣本頻率分布直方圖得，樣本平均數(shù)的估計(jì)值

x=35x0.006x10+45x0.012x10+55x0.018+65x0.034x10+75x0.016X10+

85x0.008x10+95x0.006x10=64.

(3)由題意所有參賽學(xué)生的成績X近似服從正態(tài)分布N(64,142),

「〃+er=78,

P(X>78)x1-0產(chǎn)=0.15865,

故參賽學(xué)生中成績超過7(8分)的學(xué)生數(shù)為0.15865x10000?1587.

【解析】(1)由古典概型計(jì)算即可；

(2)由樣本頻率分布直方圖計(jì)算樣本平均數(shù)的估計(jì)值即可；

(3)根據(jù)己知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解：

本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】(1)證明：取DM中點(diǎn)0,連接4。，CO,CM,

"AD=DC=BC=248且M為4B的中點(diǎn)，可得AD=AM,-.DMLA'O,

在四邊形ABC。中，AD=DC=BC=可得4MCD為菱形，:.DM1

CO,

又???A'OnCO=。，且AO,C。e平面4OC,DM_L平面A'OC,

???A'Cu平面4OC,???DM1A'C,

又OC=D4'=4,且N為4'C的中點(diǎn)，；.DN14'C,

vDNfWM=D,且。N,DMu平面DMN,:.A'C_L平面。MN,

又???A'Cu平面A'BC,.??平面力平面DMN.

(2)解：由。C=0A=2/3，可得。。2+。42=4(2,OC1。4,

vA'O1OD,CO1OD,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D,OC,。4'所在直線為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

如圖所示，

則。(2,0,0),M(-2,0,0),C(0,2V-3,0).4(0,0,2/3).

設(shè)前=A^C(O<A<1)>則而=(0,2二九一2二；1)，

???N(0,2y/~lA,.?.麗=(-2,2^2,2<3-2OA).MD=(4,0,0)

設(shè)平面DMN的一個(gè)法向量為汨=(x,y,z),

,.(MD-nT=4x=0

貝n必—._2l「一,

(DN-蘇=-2x+2>T3Ay+(2「-2cX)z=0

令y=4-l,則％=(0,4-1,4),

又由OAJL平面COM,可得COM的一個(gè)法向量為底=(0,0,1),

設(shè)二面角C-OM-N的平面角為0,由圖可得。為銳角，

則c°as"l?而nT-同nJ1I=［湍W言=石解得"黑-1T(舍去)，

.A'N_1

"~NC~2'

【解析】(1)取。M中點(diǎn)。，證得。M1A0,DM1CO,利用線面垂直的判定定理，證得

面AOC,得到DM1A'C,再由DN1A'C,證得AC，平面DMN,進(jìn)而證得平面ABC_L平面。MN；

(2)以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。。，OC,。4所在直線為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,

設(shè)標(biāo)=4庶(0S/IS1)，分別求得平面DMN和平面CDM的一個(gè)法向量為用>=(0,4-1,4)和

布=(0,0,1),結(jié)合向量的夾角公式列出方程，即可求解.

本題主要考查面面垂直的證明，面面角的計(jì)算，空間想象能力的培養(yǎng)，空間向量及其應(yīng)用等知識,

屬于中等題.

20.【答案】解：(1)當(dāng)zn=0時(shí)，〃>)=生p+1,其定義域?yàn)?0,+8),

/'(X)=了,令f'(x)=0,得x-e3,

二當(dāng)％E(0,23)時(shí)，/，(%)>0；當(dāng)％W(e3,+8)時(shí)，/(%)<0,

???/(%)在(0,e3)單調(diào)遞增，在(?3,+8)單調(diào)遞減，

的極大值為f(e3)=,+1,無極小值;

(2)由f(x)<。得mex+與2+1<0,

m<2一襄r在(0,+8)上恒成立，

令八(X)=則、=(VT)x_(2Tnxr)(x+l)=(x+l)(x-3+bix).

、'xeX“I-x^exx^ex

令"(%)=%-3+Inx,易知9。)在(0,+8)單調(diào)遞增，

(p(2)=ln2—1<0,"(3)=ln3>0,

???3x0e(2,3),使得w(%o)=0,即In%。=3-xQ9

???當(dāng)xe(0,&)時(shí)，h!(x)<0；當(dāng)+8)時(shí)，"(%)>0；

?,.九(%)在(O,%。)單調(diào)遞減，在(出,+8)上單調(diào)遞增，

2-伉冽一刀o

???h(X)min=九(％0)=XQ6X0

xx

由仇%o=3—x0,可得)％°+lne°=ln(xoe°)=3,

x3

???xoe°=e,

^Wmin=Mx。)=U；#。1

一葭，

1

??m<—育

???ni的取值范圍是（-8,-點(diǎn)）.

【解析】（1）當(dāng)m=0時(shí)，對函數(shù)/（乃=臂+1求導(dǎo)，判斷單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；

（2）采用分離參數(shù)的方式得到m〈話要，令/!（切=上鋁，對函數(shù)以功求導(dǎo)判斷單調(diào)性，求得

八。）的最小值，進(jìn)而可得到m的取值范圍.

本題考查參變量分離求解恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬

中檔題.

21.【答案】解：（1）由已知可得1,解得p=2,

所以拋物線C的方程為y2=4%；

設(shè)4aby1),B(x2,yi),M(x3,y3)-

若AB_Lx軸,由MFJLAB得M(0,0),4(1,2),8(1?，-2)或4(1,一2),8(1,2),

此時(shí)不滿足AMIBM,所以不滿足題意；

設(shè)直線4B的方程為x=my+l(mH0),直線M尸的方程為x=—+l(m*0),

將汽=my+1代入拋物線方程得y2—4my—4=0,4=16(m24-1)>0,

所以為+段=4m,yty2=-4.

將X=-+1代入拋物線方程得y2+-4=0,所以*+±丫3-4=0①，

_44

直線4M的斜率為不式=豆y=后瓦，同理直線8M的斜率為“歹，

44

44

因?yàn)?MlBM,所以；=

所以川+Si+丫2)丫3+7172=-16,即抬+4my3+12=0(2),

由①②解得丫3=黑,將其代入①可得4m2+4(1-m2)-(1-m2)2=0,

解得［皿=丫=或k1=二號，

也=-2v3(y3=2A/3

當(dāng)pn=，不時(shí)，直線48的方程為x=/Zy+l,M(3,—2C),|MF|=4,

173=-2V3

因?yàn)楫?dāng)，丫2滿足于一4，？y-4=0,所以%+丫2=4^/"與力力=一%

所以|A8|=V1+m21yl—y2|=2J(y］+丫2尸一4yly2=2，48+16=16,

所以SMBM=：X\AB\x\MF\="X16x4=32，

同理可得，當(dāng)17n時(shí)，直線AB的方程為》=-Cy+1，M(3,2C),|MF|=4,

(為=2V3

因?yàn)閂i，為滿足V+4/2y—4=0,所以+y2=—4/可，力力=一4,

所以|4B|=月1+商僅］—y2|=2J(%+丫2)2—4yly2=2748+16=16,

所以SUBM=；x\AB\x\MF\=|x16x4=32.

所以△ABM的面積為32.

【解析】(1)由題意可知p=2,從而即可得答案；

(2)先分析4B1%軸時(shí)，不滿足題意；再設(shè)直線48的方程為x=my+l(m力0),直線MF的方程

為％=-ly