工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論矢量分析

工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論矢量分析標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度亥姆霍茲定理電磁場(chǎng)的特殊形式第0章矢量分析下頁(yè)返回VectorAnalysis正交坐標(biāo)系-直角坐標(biāo)系下頁(yè)上頁(yè)返回元面積元體積正交坐標(biāo)系-柱坐標(biāo)系下頁(yè)上頁(yè)返回元面積元體積正交坐標(biāo)系-球坐標(biāo)系下頁(yè)上頁(yè)返回元面積元體積坐標(biāo)系間單位矢量的換算投影原則能理解書(shū)中第322頁(yè)表附1-1所列公式之間的關(guān)系可參考書(shū)籍：BHagSinghGuru,HuseyinR.Hiziroglu，周克定等譯.，電磁場(chǎng)與電磁波.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2000第二章矢量分析（Page10~47）

場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù)，即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量或矢量。例如，在直角坐標(biāo)下：0.1

標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)如溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等；如流速場(chǎng)、電場(chǎng)、渦流場(chǎng)等。ScalarFieldandVectorField下頁(yè)上頁(yè)返回其方程為:圖0.1.1等高線(1)

標(biāo)量場(chǎng)--等值線(面)形象描繪場(chǎng)分布的工具——場(chǎng)線思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？下頁(yè)上頁(yè)返回三維場(chǎng)二維場(chǎng)圖0.1.2矢量線矢量場(chǎng)--矢量線線上每一點(diǎn)處的切線方向都與矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的方向相同其方程為：在直角坐標(biāo)系下：下頁(yè)上頁(yè)返回0.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度

GradientofScalarField

設(shè)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)

(x，y，z)，若函數(shù)

在點(diǎn)P

可微，則

在點(diǎn)P

沿任意方向

的方向?qū)?shù)為設(shè)

式中,,分別是任一方向與x,y,z軸的夾角下頁(yè)上頁(yè)返回則有：當(dāng)，最大——梯度(gradient)——哈密頓算子式中圖0.1.3等溫線分布梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向。梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率（增加的方向），即最大方向?qū)?shù)。標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。梯度的意義下頁(yè)上頁(yè)返回，例0.2.1試證明在點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中，電位函數(shù)的負(fù)梯度等于電場(chǎng)強(qiáng)度。例

電位場(chǎng)的梯度圖0.2.2電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度與過(guò)該點(diǎn)的等位線垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。下頁(yè)上頁(yè)返回例:設(shè)一標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)(1)該點(diǎn)函數(shù)

在點(diǎn)P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；描述了空間標(biāo)量場(chǎng)。試求：(2)求該點(diǎn)函數(shù)

沿單位矢量方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處該方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。[解](1)由梯度定義,可解出待求P點(diǎn)的梯度為(2)

顯然，梯度描述了P點(diǎn)處標(biāo)量點(diǎn)函數(shù)

的最大變化率，即系最大方向?qū)?shù)，故，恒成立。0.3

矢量場(chǎng)的通量與散度0.3.1通量(Flux)

矢量E沿有向曲面S的面積分若S

為閉合曲面根據(jù)通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)：FluxandDivergenceofVector

>0

(有正源)<0

(有負(fù)源)

=0(無(wú)源)圖0.3.2矢量場(chǎng)通量的性質(zhì)

下頁(yè)上頁(yè)返回圖0.3.1矢量場(chǎng)的通量

0.3.2散度(Divergence)

如果包圍點(diǎn)P的閉合面

S

所圍區(qū)域

V

以任意方式縮小到點(diǎn)P

時(shí)：———散度(divergence)下頁(yè)上頁(yè)返回散度的意義

在矢量場(chǎng)中，若

?

A=0，稱之為有源場(chǎng)，

稱為(通量)源密度；若矢量場(chǎng)中處處

?A=0

，稱之為無(wú)源場(chǎng)。矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性。(無(wú)源）

(正源)

(負(fù)源)圖0.3.3通量的物理意義

下頁(yè)上頁(yè)返回0.3.3散度定理(DivergenceTheorem)圖0.3.4散度定理

通量密度——高斯公式矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。下頁(yè)上頁(yè)返回0.4

矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度0.4.1環(huán)量(Circulation)

矢量A

沿空間有向閉合曲線L的線積分——環(huán)量

環(huán)量的大小與閉合路徑有關(guān)，它表示繞環(huán)線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。CirculationandRotationofVectorField下頁(yè)上頁(yè)返回圖0.4.1環(huán)量的計(jì)算水流沿平行于水管軸線方向流動(dòng)，

=0，無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)。例：流速場(chǎng)圖0.4.2

流速場(chǎng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)，

0，有產(chǎn)生渦旋的源。下頁(yè)上頁(yè)返回0.4.2旋度(Rotation)1.環(huán)量密度

過(guò)點(diǎn)P作一微小曲面

S，它的邊界曲線記為

L，面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當(dāng)

S

點(diǎn)P

時(shí)，存在極限——環(huán)量密度環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。下頁(yè)上頁(yè)返回2.旋度

旋度是一個(gè)矢量，其大小等于環(huán)量密度的最大值；其方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向——旋度(curl)－S

的法線方向它與環(huán)量密度的關(guān)系為在直角坐標(biāo)下:下頁(yè)上頁(yè)返回3.旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。某點(diǎn)旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值，其方向是最大環(huán)量密度的方向。在矢量場(chǎng)中，若

A=J

0

稱之為旋度場(chǎng)（或渦旋場(chǎng)），J

稱為旋度源（或渦旋源）。若矢量場(chǎng)處處

A=0，稱之為無(wú)旋場(chǎng)。下頁(yè)上頁(yè)返回4、斯托克斯定理(Stockes’Theorem)矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。圖0.4.3斯托克斯定理——斯托克斯定理下頁(yè)上頁(yè)

在電磁場(chǎng)理論中，高斯定理和斯托克斯定理是兩個(gè)非常重要的公式。返回

0.5

亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：在有限區(qū)域V內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋渦源密度場(chǎng)域邊界條件（矢量A惟一地確定）電荷密度

電流密度J場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中HymherzeTheorem下頁(yè)上頁(yè)返回例

試判斷下列各圖中矢量場(chǎng)的性質(zhì)。000000下頁(yè)上頁(yè)返回(1)無(wú)旋場(chǎng)(irrotationalfield)例如靜電場(chǎng)

從而由矢量恒等式

可定義（

—電位函數(shù)）

無(wú)旋場(chǎng)中，矢量沿場(chǎng)域中任意閉合路徑的環(huán)量等于零無(wú)旋場(chǎng)可以表示為某一標(biāo)量函數(shù)梯度場(chǎng)(2)無(wú)散場(chǎng)(無(wú)源場(chǎng)、管量場(chǎng)solenoidalfield)例如恒定電流的磁場(chǎng)無(wú)源場(chǎng)中穿過(guò)場(chǎng)域中任一個(gè)矢量管的所有截面的通量都相等無(wú)源場(chǎng)存在著矢勢(shì)（磁矢位）(4)一般的場(chǎng)例如時(shí)變電磁場(chǎng)

（3）調(diào)和場(chǎng)：散度和旋度都等于零的矢量場(chǎng)調(diào)和場(chǎng)位函數(shù)滿足拉普拉斯方程0.6

特殊形式的電磁場(chǎng)

如果在經(jīng)過(guò)某一軸線(設(shè)為z

軸）的一族平行平面上，場(chǎng)F

的分布都相同，即F=f（x，y），則稱這個(gè)場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。1.平行平面場(chǎng)SpecialFormsofElectromagneticField如無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)。下頁(yè)上頁(yè)返回0

如果在經(jīng)過(guò)某一軸線(設(shè)為z

軸)的一族子午面上，場(chǎng)F

的分布都相同，即F=f（r,

），則稱這個(gè)場(chǎng)為軸對(duì)稱場(chǎng)。2.軸對(duì)稱場(chǎng)

如螺線管線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)；有限