工程電磁場導論矢量分析

工程電磁場導論矢量分析標量場和矢量場標量場的梯度矢量場的通量與散度矢量場的環(huán)量與旋度亥姆霍茲定理電磁場的特殊形式第0章矢量分析下頁返回VectorAnalysis正交坐標系-直角坐標系下頁上頁返回元面積元體積正交坐標系-柱坐標系下頁上頁返回元面積元體積正交坐標系-球坐標系下頁上頁返回元面積元體積坐標系間單位矢量的換算投影原則能理解書中第322頁表附1-1所列公式之間的關系可參考書籍：BHagSinghGuru,HuseyinR.Hiziroglu，周克定等譯.，電磁場與電磁波.北京：機械工業(yè)出版社，2000第二章矢量分析（Page10~47）

場是一個標量或一個矢量的位置函數(shù)，即場中任一個點都有一個確定的標量或矢量。例如，在直角坐標下：0.1

標量場和矢量場標量場矢量場如溫度場、電位場、高度場等；如流速場、電場、渦流場等。ScalarFieldandVectorField下頁上頁返回其方程為:圖0.1.1等高線(1)

標量場--等值線(面)形象描繪場分布的工具——場線思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？下頁上頁返回三維場二維場圖0.1.2矢量線矢量場--矢量線線上每一點處的切線方向都與矢量場在該點的方向相同其方程為：在直角坐標系下：下頁上頁返回0.2標量場的梯度

GradientofScalarField

設一個標量函數(shù)

(x，y，z)，若函數(shù)

在點P

可微，則

在點P

沿任意方向

的方向導數(shù)為設

式中,,分別是任一方向與x,y,z軸的夾角下頁上頁返回則有：當，最大——梯度(gradient)——哈密頓算子式中圖0.1.3等溫線分布梯度的方向為該點最大方向導數(shù)的方向。梯度的大小為該點標量函數(shù)的最大變化率（增加的方向），即最大方向導數(shù)。標量場的梯度是一個矢量，是空間坐標點的函數(shù)。梯度的意義下頁上頁返回，例0.2.1試證明在點電荷q產生的靜電場中，電位函數(shù)的負梯度等于電場強度。例

電位場的梯度圖0.2.2電位場的梯度電位場的梯度與過該點的等位線垂直；數(shù)值等于該點的最大方向導數(shù)；指向電位增加的方向。下頁上頁返回例:設一標量點函數(shù)(1)該點函數(shù)

在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量；描述了空間標量場。試求：(2)求該點函數(shù)

沿單位矢量方向的方向導數(shù)，并以點P(1,1,1)處該方向導數(shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應結論。[解](1)由梯度定義,可解出待求P點的梯度為(2)

顯然，梯度描述了P點處標量點函數(shù)

的最大變化率，即系最大方向導數(shù)，故，恒成立。0.3

矢量場的通量與散度0.3.1通量(Flux)

矢量E沿有向曲面S的面積分若S

為閉合曲面根據通量的大小判斷閉合面中源的性質：FluxandDivergenceofVector

>0

(有正源)<0

(有負源)

=0(無源)圖0.3.2矢量場通量的性質

下頁上頁返回圖0.3.1矢量場的通量

0.3.2散度(Divergence)

如果包圍點P的閉合面

S

所圍區(qū)域

V

以任意方式縮小到點P

時：———散度(divergence)下頁上頁返回散度的意義

在矢量場中，若

?

A=0，稱之為有源場，

稱為(通量)源密度；若矢量場中處處

?A=0

，稱之為無源場。矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數(shù)；散度代表矢量場的通量源的分布特性。(無源）

(正源)

(負源)圖0.3.3通量的物理意義

下頁上頁返回0.3.3散度定理(DivergenceTheorem)圖0.3.4散度定理

通量密度——高斯公式矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉換。下頁上頁返回0.4

矢量場的環(huán)量與旋度0.4.1環(huán)量(Circulation)

矢量A

沿空間有向閉合曲線L的線積分——環(huán)量

環(huán)量的大小與閉合路徑有關，它表示繞環(huán)線旋轉趨勢的大小。CirculationandRotationofVectorField下頁上頁返回圖0.4.1環(huán)量的計算水流沿平行于水管軸線方向流動，

=0，無渦旋運動。例：流速場圖0.4.2

流速場流體做渦旋運動，

0，有產生渦旋的源。下頁上頁返回0.4.2旋度(Rotation)1.環(huán)量密度

過點P作一微小曲面

S，它的邊界曲線記為

L，面的法線方向與曲線繞向符合右手定則。當

S

點P

時，存在極限——環(huán)量密度環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。下頁上頁返回2.旋度

旋度是一個矢量，其大小等于環(huán)量密度的最大值；其方向為最大環(huán)量密度的方向——旋度(curl)－S

的法線方向它與環(huán)量密度的關系為在直角坐標下:下頁上頁返回3.旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數(shù)。某點旋度的大小是該點環(huán)量密度的最大值，其方向是最大環(huán)量密度的方向。在矢量場中，若

A=J

0

稱之為旋度場（或渦旋場），J

稱為旋度源（或渦旋源）。若矢量場處處

A=0，稱之為無旋場。下頁上頁返回4、斯托克斯定理(Stockes’Theorem)矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉化。圖0.4.3斯托克斯定理——斯托克斯定理下頁上頁

在電磁場理論中，高斯定理和斯托克斯定理是兩個非常重要的公式。返回

0.5

亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：在有限區(qū)域V內，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋渦源密度場域邊界條件（矢量A惟一地確定）電荷密度

電流密度J場域邊界條件在電磁場中HymherzeTheorem下頁上頁返回例

試判斷下列各圖中矢量場的性質。000000下頁上頁返回(1)無旋場(irrotationalfield)例如靜電場

從而由矢量恒等式

可定義（

—電位函數(shù)）

無旋場中，矢量沿場域中任意閉合路徑的環(huán)量等于零無旋場可以表示為某一標量函數(shù)梯度場(2)無散場(無源場、管量場solenoidalfield)例如恒定電流的磁場無源場中穿過場域中任一個矢量管的所有截面的通量都相等無源場存在著矢勢（磁矢位）(4)一般的場例如時變電磁場

（3）調和場：散度和旋度都等于零的矢量場調和場位函數(shù)滿足拉普拉斯方程0.6

特殊形式的電磁場

如果在經過某一軸線(設為z

軸）的一族平行平面上，場F

的分布都相同，即F=f（x，y），則稱這個場為平行平面場。1.平行平面場SpecialFormsofElectromagneticField如無限長直導線產生的電場。下頁上頁返回0

如果在經過某一軸線(設為z

軸)的一族子午面上，場F

的分布都相同，即F=f（r,

），則稱這個場為軸對稱場。2.軸對稱場

如螺線管線圈產生的磁場；有限