線性系統(tǒng)理論(第四章)

線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性線性系統(tǒng)的時(shí)間域理論第4章線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性60年代初，卡爾曼（R.E.Kalman）提出和研究了能控性和能控性和能觀測(cè)性是系統(tǒng)的兩個(gè)基本結(jié)構(gòu)特征。4.1能控性和能觀測(cè)性的定義對(duì)能控性和能觀測(cè)性的直觀討論能觀測(cè)性這兩個(gè)重要概念。001每一個(gè)狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可由輸入來(lái)影響和控制，由任意的能控性：狀態(tài)是否可由輸入影響。從物理的直觀性來(lái)討論能控性和能觀測(cè)性。狀態(tài)空間描述：輸入和輸出構(gòu)成系統(tǒng)的外部變量，狀態(tài)為系統(tǒng)的內(nèi)部變量。始點(diǎn)達(dá)到原點(diǎn)，則是能控，反之不完全能控的。所有狀態(tài)變量的任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由輸出完全反映，則是能觀測(cè)性：狀態(tài)是否可由輸出反映。能觀測(cè)的，反之不完全能觀測(cè)的。002線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性全能控。例：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：將其表為標(biāo)量方程組的形式，有表明：和可通過(guò)選擇輸入而由始點(diǎn)達(dá)到原點(diǎn)，完全能觀測(cè)的。輸出只能反映，和無(wú)直接、間接關(guān)系，不完003線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性，輸入取何種形式，如例：如圖所示電路中，兩個(gè)狀態(tài)變量為兩電容的端電壓和，輸入能夠使或不能將和分別轉(zhuǎn)移不同的任意目標(biāo)值。者轉(zhuǎn)移到任意目標(biāo)值，但不可能做到使，，不完全能控。004線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性狀態(tài)不能由輸出反映，不完全能觀測(cè)。例：如圖所示電路中，若，當(dāng)，即且為任意值時(shí)，必定有005線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性其中：為維狀態(tài)向量，為維輸入向量，為線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程能控性定義時(shí)間定義區(qū)間，和分別為和的元為的連續(xù)函數(shù)的矩陣。006線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性的一個(gè)非零初始狀態(tài)，存在一個(gè)時(shí)刻，定義1：線性時(shí)變系統(tǒng)，如果對(duì)取定初始時(shí)刻，和一個(gè)無(wú)約束的容許控制，使?fàn)顟B(tài)由轉(zhuǎn)移到時(shí)，則稱此是在時(shí)刻為能控的。都是在時(shí)刻為能控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻是定義2：線性時(shí)變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)完全能控的。007線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻是不能控的，則定義3：線性時(shí)變系統(tǒng)，取定初始時(shí)刻，如果狀稱系統(tǒng)在時(shí)刻是不完全能控的。①使時(shí)刻的非零狀態(tài)在上的一段有限時(shí)間轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)解釋：原點(diǎn)，對(duì)其軌跡不加以限制和規(guī)定。②無(wú)約束表示對(duì)輸入幅值不加限制。容許控制表示輸入的所有分量在上平方可積。008線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性③取定時(shí)刻，對(duì)時(shí)變系統(tǒng)是完全必要的，定常系統(tǒng)與的選取無(wú)關(guān)。④非零狀態(tài)零狀態(tài)，能控。

零狀態(tài)非零狀態(tài)，能達(dá)。線性定常系統(tǒng)能控等價(jià)能達(dá)。時(shí)變系統(tǒng)不能等價(jià)。⑤不完全能控系統(tǒng)，某些參數(shù)的很小的變動(dòng)，可使其變?yōu)橥耆芸亍?09線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性其中：和分別為，能觀測(cè)性表征狀態(tài)可由輸出的完全反映性，應(yīng)同時(shí)考慮能觀測(cè)性定義和的滿足狀態(tài)方程解的存在唯一性條件的時(shí)變矩陣。系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。010線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性研究能觀測(cè)性問(wèn)題，輸出和輸入都為已知，只有內(nèi)部變狀態(tài)方程解的表達(dá)式為量，即初始狀態(tài)是未知的。輸出響應(yīng)的表達(dá)式為：011線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性也即系統(tǒng)的零輸入方程：則研究的可由的完全估計(jì)性。令：的能觀測(cè)性。等價(jià)于研究時(shí)由來(lái)估計(jì)的可能性。012線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性的一個(gè)非零初始狀態(tài)，存在一個(gè)有限時(shí)刻，定義1：線性時(shí)變系統(tǒng)，如果對(duì)取定初始時(shí)刻，使對(duì)所有有，則稱此在時(shí)刻是不能觀測(cè)的。都不是時(shí)刻的不能觀測(cè)狀態(tài)，則稱系統(tǒng)在時(shí)定義2：線性時(shí)變系統(tǒng)，如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)刻是完全能觀測(cè)的。013線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻是不能觀測(cè)的，則定義3：線性時(shí)變系統(tǒng)，取定初始時(shí)刻，如果狀稱系統(tǒng)在時(shí)刻是不完全能觀測(cè)的。4.2線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能控性判據(jù)其中：為維狀態(tài)向量，為維輸入向量，和分線性定常系統(tǒng)的能控性判據(jù)別為和常陣。狀態(tài)方程014線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性線性定常系統(tǒng)為完全能控的充分必要條件是，結(jié)論1：[秩判據(jù)]其中，為矩陣的維數(shù)。稱為系統(tǒng)的能控性判別陣。015線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性其中：為維狀態(tài)向量，為維輸入向量，和線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)分別為和的時(shí)變矩陣且滿足解的存在線性時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為唯一性條件。016線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性設(shè)和是階連續(xù)可微的，則線性時(shí)變結(jié)論1：[秩判據(jù)]系統(tǒng)在時(shí)刻為完全能控的一個(gè)充分條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻使成立：017線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性其中：018線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性例：考慮如下的線性時(shí)變系統(tǒng)：判斷系統(tǒng)的能控性。019線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性通過(guò)計(jì)算，求出020線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性因?yàn)閷?duì)的秩為3，所以系統(tǒng)在時(shí)刻是完全能控的。021線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性4.3線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)其中：為維狀態(tài)向量，為維輸出向量，和分線性定常系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)別為和常陣。時(shí)的狀態(tài)方程和輸出方程022線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性線性定常系統(tǒng)為完全能觀測(cè)的充分必要條件是，結(jié)論1：[秩判據(jù)]其中，為矩陣的維數(shù)。稱為系統(tǒng)的能觀測(cè)性判別陣?；?23線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性其中：為時(shí)間定義區(qū)間，和分別為和線性時(shí)變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù)的時(shí)變矩陣。線性時(shí)變系統(tǒng)024線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性設(shè)和是階連續(xù)可微的，則線性時(shí)變結(jié)論1：[秩判據(jù)]系統(tǒng)在時(shí)刻為完全能觀測(cè)的一個(gè)充分條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻使成立：025線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性其中：026線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性4.4對(duì)偶性原理其中：狀態(tài)，輸入和輸出分別為，對(duì)偶系統(tǒng)和的列向量。考察線性時(shí)變系統(tǒng)027線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性為系統(tǒng)的對(duì)偶系統(tǒng)，其中協(xié)狀態(tài)、輸入和輸出分別為、和的行向量。定義如下構(gòu)成的線性時(shí)變系統(tǒng)：028線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性線性定常系統(tǒng)相應(yīng)的對(duì)偶系統(tǒng)和之間有著如下的一些對(duì)應(yīng)關(guān)系。029線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性①令為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，為其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，則必成立：②系統(tǒng)和對(duì)偶系統(tǒng)的方塊圖是對(duì)偶的。030線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性③系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是狀態(tài)點(diǎn)在狀態(tài)空間中由至的正時(shí)向轉(zhuǎn)移，而對(duì)偶系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是協(xié)狀態(tài)在狀態(tài)空間中由至反時(shí)向轉(zhuǎn)移。對(duì)偶性原理系統(tǒng)和其對(duì)偶系統(tǒng)在能控性和能觀測(cè)性上具有對(duì)應(yīng)結(jié)論關(guān)系。的完全能控等同于的完全能觀測(cè)。的完全能觀測(cè)等同于的完全能控。031線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性4.5能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形：成標(biāo)準(zhǔn)形式，稱為能控規(guī)范形或能觀測(cè)規(guī)范形。能控規(guī)范形完全能控或完全能觀測(cè)系統(tǒng)，構(gòu)造一個(gè)非奇異變換陣，變換完全能控的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)單輸入—單輸出情形其中，為常陣，和分別為和常陣。032線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性完全能控特征多項(xiàng)式為定義如下個(gè)常數(shù)則033線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性構(gòu)造如下的變換陣在系統(tǒng)為能控的條件下是非奇異的。034線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性結(jié)論：對(duì)完全能控的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)，引入線性非奇異變換，即可導(dǎo)出其能控規(guī)范形為：035線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性其中：036線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性例：給定能控的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)為：定出其特征多項(xiàng)式037線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性和常數(shù)則能控規(guī)范形為038線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性變換陣039線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性能控規(guī)范形中的狀態(tài)向量為040線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性能觀測(cè)規(guī)范形完全能觀測(cè)的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為常數(shù)如前041線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性能觀測(cè)，則能觀測(cè)性和能控性間的對(duì)偶關(guān)系，則能觀測(cè)性規(guī)范形的變換陣為：狀態(tài)完全能觀測(cè)，為非奇異的。042線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性結(jié)論：完全能觀測(cè)的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)，引入線性非奇異變換，即可導(dǎo)出其能觀測(cè)規(guī)范形為：043線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性其中：044線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性例：能觀測(cè)的單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)為：先定出其特征多項(xiàng)式045線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性常數(shù)則能觀測(cè)規(guī)范形為046線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性變換陣047線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性討論①能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形中，與特征多項(xiàng)式的系數(shù)有直接聯(lián)系。等價(jià)的完全能觀測(cè)系統(tǒng)具有相同的能觀測(cè)規(guī)范形。②代數(shù)等價(jià)的完全能控系統(tǒng)具有相同的能控規(guī)范形，代數(shù)048線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性4.7線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解不完全能控和不完全能觀測(cè)系統(tǒng)。能控+不能控結(jié)構(gòu)分解，有助于更深刻地了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，揭示狀能觀測(cè)+不能觀測(cè)能控能觀+能控不能觀+不能控能觀+不能控不能觀態(tài)空間描述與輸入—輸出描述間的本質(zhì)差別。049線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性能控性和能觀測(cè)性在線性非奇異變換下的屬性設(shè)為對(duì)進(jìn)行線性非奇異變換所導(dǎo)出的結(jié)論1結(jié)果，兩者之間成立：其中為非奇異常陣。則必成立：和為能控性矩陣，和為能觀測(cè)性矩陣。050線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性對(duì)線性系統(tǒng)作線性非奇異變換，不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性，也不改變其不完全能控和不完全能觀測(cè)的程度。線性定常系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解不完全能控的多輸入—多輸出線性定常系統(tǒng)其中：為維狀態(tài)向量，051線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性能控性判別矩陣：任意地選取個(gè)線性無(wú)關(guān)的列，記為，另任中，意地選擇個(gè)列向量，記為，使它們和為線性無(wú)關(guān)。組成變換矩陣：必是非奇異的。052線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性不完全能控系統(tǒng)，引入線性非奇異變換即可導(dǎo)出結(jié)論系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能控性分解的規(guī)范形表達(dá)式。其中，為維能控分狀態(tài)向量，為維不能控分狀態(tài)向量。053線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性系統(tǒng)為不完全能控。例：給定線性定常系統(tǒng)054線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性在中取線性無(wú)關(guān)的列再任取構(gòu)成矩陣：為非奇異。055線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性計(jì)算：056線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性按能控性分解的表達(dá)式為：057線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性①系統(tǒng)被分解為能控部分和不能控部分，其中，能控部分為討論如下的維子系統(tǒng)：而不能控部分為如下的維子系統(tǒng)：058線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性②控振型，另一部分為的特征值，稱為系統(tǒng)的不能控振型。外輸入的引入，只能改變能控振型的位置，而不能改變不特征值由兩部分組成，一部分為的特征值，稱為系統(tǒng)的能能控振型的位置。059線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性③能控分解方塊圖060線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性不能控部分，即不受輸入的直接影響，也不受其間接影響。④變換矩陣，可有多種選取方法，可導(dǎo)出多個(gè)分解結(jié)果。線性定常系統(tǒng)按能觀測(cè)性的結(jié)構(gòu)分解不完全能觀測(cè)的線性定常系統(tǒng)其中：為維狀態(tài)向量，061線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性能觀測(cè)性判別矩陣：任意地選取個(gè)線性無(wú)關(guān)的行，記為，另任中，意地選擇個(gè)行向量，記為，使它們和為線性無(wú)關(guān)。組成變換矩陣：062線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性必是非奇異的。063線性系統(tǒng)的能控性與能觀測(cè)性不完全能觀測(cè)系統(tǒng)，引入線性非奇異變換則可導(dǎo)出結(jié)論系統(tǒng)結(jié)構(gòu)按能觀測(cè)性分解的規(guī)范形表達(dá)式。其中，為維能觀測(cè)