第22課　正態(tài)分布

第九單元

離散型隨機(jī)變量及其分布9.3

正態(tài)分布情境引入概念形成例題分析鞏固練習(xí)小結(jié)作業(yè)情境引入某加工廠加工一批長(zhǎng)度為25.40cm的管子,為了檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量,從一批產(chǎn)品中任取100件檢測(cè),測(cè)得它們的實(shí)際尺寸如下(單位:cm).25.3925.3625.3425.4225.4525.3825.3925.4225.4725.3525.4125.4325.4425.4825.4525.4325.4625.4025.5125.4525.4025.3925.4125.3625.3825.3125.5625.4325.4025.3825.3725.4425.3325.4625.4025.4925.3425.4225.5025.3725.3525.3225.4525.4025.2725.4325.5425.3925.4525.4325.4025.4325.4425.4125.5325.3725.3825.2425.4425.4025.3625.4225.3925.4625.3825.3525.3125.3425.4025.3625.4125.3225.3825.4225.4025.3325.3725.4125.4925.3525.4725.3425.3025.3925.3625.4625.2925.4025.3725.3325.4025.3525.4125.3725.4725.3925.4225.4725.3825.39我們是否有合理的方法判斷這批產(chǎn)品是否合格?概念形成面對(duì)這樣的數(shù)據(jù),我們可以借助頻率直方圖來(lái)幫助我們分析.把這批產(chǎn)品的長(zhǎng)度尺寸看成一個(gè)總體,那么這100個(gè)產(chǎn)品的實(shí)際尺寸就是容量為100的樣本,根據(jù)前面的知識(shí)可以得到這組樣本數(shù)據(jù)的頻率直方圖.如圖9-1圖9-1概念形成如果樣本容量無(wú)限增大,組距無(wú)限縮小,那么頻率直方圖中的小矩形的頂部就會(huì)無(wú)限地接近一條光滑的曲線y=f(x),我們把這條曲線叫作概率密度曲線。圖9-2概念形成根據(jù)概率密度曲線，取值于某一范圍的概率(如圖9-2中的(a,b)),都可以通過(guò)計(jì)算曲線下方相應(yīng)部分的面積而得到。一般地,如果隨機(jī)變量的概率密度曲線是概念形成其中μ,σ是常數(shù),σ>0(μ是期望,σ2是方差,σ是標(biāo)準(zhǔn)差),那么稱(chēng)隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)μ,σ2的正態(tài)分布,簡(jiǎn)記為ξ~N(μ,σ2).這時(shí),我們把隨機(jī)變量ξ的概率密度曲線叫作正態(tài)分布曲線或正態(tài)曲線,ξ叫作正態(tài)隨機(jī)變量.正態(tài)分布曲線的函數(shù)表達(dá)式稱(chēng)為正態(tài)分布的密度函數(shù).μ,σ是兩個(gè)重要參數(shù),一旦μ,σ給定了,就給定了一個(gè)具體的正態(tài)分布。教師借助GGB軟件演示。概念形成正態(tài)分布曲線具有以下性質(zhì).(1)函數(shù)在x=μ處取得最大值,且關(guān)于直線x=μ對(duì)稱(chēng),函數(shù)圖像在x軸上方；(2)當(dāng)μ一定時(shí),σ的大小決定函數(shù)圖像的“高”“矮”“胖”“瘦”.σ越大，函數(shù)圖像越“矮胖”；σ越小，函數(shù)圖像越“高瘦”；(3)當(dāng)σ一定時(shí),函數(shù)圖像的位置由μ決定,函數(shù)圖像隨著μ的增大而沿著x軸的正方向平移；x軸是正態(tài)分布曲線的漸近線.概念形成μ=0,σ=1時(shí)的正態(tài)分布,即ξ~N(0,1)叫作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,相應(yīng)的曲線叫作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線。圖像如下標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的密度函數(shù)概念形成特別地,如圖9-5所示,對(duì)于正態(tài)分布曲線有以下性質(zhì):P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈68.3%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈95.4%,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈99.7%.從上面的結(jié)論可以看到,隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率小于0.3%.因?yàn)檫@些概率值很小,在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生,所以通常稱(chēng)這些事件為小概率事件.在實(shí)際應(yīng)用中,服從于正態(tài)分布ξ~N(μ,σ2)的隨機(jī)變量ξ只取區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi)的值,這就是企業(yè)管理中的“3σ原則”。圖9-5例題分析例1.如圖，如果μ=3,你能寫(xiě)出圖中三條曲線的函數(shù)表達(dá)式嗎?解根據(jù)正態(tài)分布曲線的函數(shù)表達(dá)式,可以求得:當(dāng)μ=3,σ=1/2時(shí),曲線的函數(shù)表達(dá)式是當(dāng)μ=3,σ=1時(shí),曲線的函數(shù)表達(dá)式是當(dāng)μ=3,σ=2時(shí),曲線的函數(shù)表達(dá)式是例題分析例2.若工廠生產(chǎn)符合標(biāo)準(zhǔn)的某種配件的尺寸滿(mǎn)足正態(tài)分布N(39.40,0.032),質(zhì)量檢驗(yàn)員隨機(jī)抽查了10個(gè)配件,測(cè)量得到它們的尺寸如下(單位:cm).請(qǐng)你根據(jù)“3σ原則”,幫助質(zhì)量檢驗(yàn)員確定哪些配件應(yīng)該判定為不符合標(biāo)準(zhǔn).編號(hào)12345尺寸39.3339.5639.4539.4739.27編號(hào)678910尺寸39.3639.3939.4839.4639.40解：根據(jù)“3σ原則”,我們把尺寸落在區(qū)間(39.40-3×0.03,39.40+3×0.03),即(39.31,39.49)之外的零件配件判定為不符合標(biāo)準(zhǔn)的配件,所以尺寸為39.56和39.27的兩個(gè)配件,符合落在區(qū)間(39.31,39.49)之外這一條件.因此判定2號(hào)和5號(hào)配件是不符合標(biāo)準(zhǔn)的.正態(tài)分布的應(yīng)用非常廣泛,如產(chǎn)品的質(zhì)量、農(nóng)作物的畝產(chǎn)量、測(cè)量中的隨機(jī)誤差、航天飛機(jī)和火箭的落點(diǎn)、學(xué)生的考試成績(jī)等,一般都服從正態(tài)分布。分析利用服從于正態(tài)分布ξ~N(μ,σ2)的隨機(jī)變量ξ只取區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi)的值來(lái)判定.鞏固練習(xí)1.均值為3、方差為π的正態(tài)分布的密度函數(shù)為

.2.正態(tài)曲線下,橫軸上從μ到+∞的曲線與橫軸圍成的圖形面積是

.3.正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)μ與σ,相應(yīng)的正態(tài)曲線