第六節(jié)　空間向量與空間角、距離問題

第六節(jié)空間向量與空間角、距離問題1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題.2.了解向量方法在研究立體幾何問題中的作用.1．空間向量與空間角2.空間向量與距離(1)最小角定理cosθ＝cosθ1cosθ2如圖，若OA為平面α的一條斜線，O為斜足，OB為OA在平面α內的射影，OC為平面α內的一條直線，其中θ為OA與OC所成的角，θ1為OA與OB所成的角，即線面角，θ2為OB與OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2.(2)線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cosθ＝|cos〈a，n〉|.(3)平面與平面所成的角和二面角的概念不同．3．(人教A版選擇性必修第一冊P44·T15改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為________.重難點——逐一精研(補欠缺)重難點(一)直線與平面所成的角

[典例]

(2021·深圳二模)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，DC＝2，AA1＝3，AB＝BC＝AD＝1，點E和F分別在側棱AA1，CC1上，且A1E＝CF＝1.(1)求證：BC∥平面D1EF；(2)求直線AD與平面D1EF所成角的正弦值．[方法技巧]利用空間向量求線面角的解題模型[針對訓練](2021·南平二模)如圖，已知四邊形ACDE為菱形，∠CDE＝60°，AC⊥BC，F(xiàn)是DE的中點，平面ABC∩平面BDE＝l.(1)證明：l⊥平面BCF；(2)若平面ABC⊥平面ACDE，AC＝BC＝2，求AE與平面BDE所成角的正弦值．解：(1)證明：因為四邊形ACDE為菱形，∠CDE＝60°，所以△CDE是等邊三角形，因為F是DE的中點，所以AC⊥CF，又AC⊥BC，CF∩BC＝C，CF，BC?平面BCF，所以AC⊥平面BCF.又菱形ACDE中，ED∥AC，AC?平面BDE，DE?平面BDE，所以AC∥平面BDE.而AC?平面ABC，平面ABC∩平面BDE＝l，得l∥AC.因此l⊥平面BCF.[方法技巧]1．利用向量法解二面角問題的策略找法向量法分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小找與棱垂直的方向向量法分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小2.兩個平面夾角的向量求法設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)就是兩個平面的夾角，用坐標法解題的步驟如下：(1)建系：依據(jù)幾何條件建立適當?shù)目臻g直角坐標系；(2)求法向量：在建立的坐標系下求兩個面的法向量n1，n2；[針對訓練]1.如圖所示，AB為圓錐S-ABC底面圓的直徑，點C為底面半圓弧AB上不與A，B重合的一點，設點D為劣弧BC的中點．(1)求證：BC⊥SD；(2)設AB＝2，且圓錐的高為3，當∠BAC＝60°時，求二面角A-SC-B的余弦值．解：(1)證明：取AB的中點O，連接SO，OD，則SO⊥平面ABC，且OD垂直平分BC，所以SO⊥BC，BC⊥OD，又因為SO∩OD＝O，SO?平面SOD，OD?平面SOD，所以BC⊥平面SOD，因為SD?平面SOD，所以BC⊥SD.2．(2022·濱州一模)如圖1所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為4的正方形．過點A的平面與棱BB1，CC1，DD1分別相交于E，F(xiàn)，G三點，且CF＝3，DG＝2.(1)求BE的長；(2)若平行六面體ABCD-A1B1C1D1是側棱長為6的直四棱柱(如圖2)，求平面ABCD與平面AED1所成銳二面角的余弦值．解：(1)如圖，過點G作GH平行于DC，與棱CC1相交于點H，則四邊形GHCD為平行四邊形，所以CH＝2，GH＝DC，GH∥DC，又AB＝DC，AB∥DC，所以GH＝AB，GH∥AB，則四邊形ABHG為平行四邊形，所以AG∥BH.又因為平面BCC1B1∥平面ADD1A1，平面AEFG∩平面BCC1B1＝EF，平面AEFG∩平面ADD1A1＝AG，所以AG∥EF，所以BH∥EF，又BE∥HF，所以四邊形BEFH為平行四邊形，則BE＝HF＝1.[解]

(1)取AB的中點M，連接DM，作EF∥BC交PB于點F，連接MF，則四邊形DMFE即為所求．如圖所示．[方法技巧]點面距的求解步驟(1)求出該平面的一個法向量；(2)找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應的向量；

(3)求出法向量與斜線段對應向量的數(shù)量積的絕對值，再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．

[針對訓練]如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點．(1)求點D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離．給出空間角求其他空間角時無法利用條件在一些題目中，經常出現(xiàn)給出線面角(或平面與平面的夾角)，然后求其他空間角的情形，但在解題過程中，不會使用給出的角求題目中的未知量．——————————————————————————————————[解]

(1)證明：因為平面MAB⊥平面ABCD，平面MAB∩平面ABCD＝AB，DA⊥AB，所以DA⊥平面MAB，又MB?平面MAB，所以DA⊥MB.由題可知MB⊥MA，因為MA∩DA＝A，所以MB⊥平面MAD.在給出的條件中，若含有線面角(或平面與平面的夾角)，可以采取幾何法或者向量法建立題干中量與量之間的關系，然后利用向量法求空間角．

細微點——優(yōu)化完善(掃盲點)1．(忽略異面直線所成角與向量夾角的關系)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝1，AA1＝2，則異面直線BD1和B1C所成角的余弦值為

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)3．(創(chuàng)新考查角度)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面積為27π，△A1DB與△A1DC1的重心分別為E，F(xiàn).球O與該正方體的各條棱都相切，則球O被EF所在直線截得的弦長為

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)4．(忽略二面角的取值范圍)已知ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，設PA＝AB＝a，AD＝2a，則二面角B-PC-D的余弦值為__