第四節(jié)　基本不等式

第四節(jié)基本不等式(1)基本不等式成立的條件：

.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào)．a(chǎn)>0，b>0a＝b(1)在運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”“定”“等”的條件．(2)注意基本不等式成立的條件是a>0，b>0，若a<0，b<0，應(yīng)先轉(zhuǎn)化為－a>0，－b>0，再運(yùn)用基本不等式求解．(3)“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立”的含義是“a＝b”是等號(hào)成立的充要條件，這一點(diǎn)至關(guān)重要，忽略它往往會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．(4)要多次運(yùn)用基本不等式才能求出最后結(jié)果的題目切記等號(hào)成立的條件要一致．A．有最小值，且最小值為2B．有最大值，且最大值為2C．有最小值，且最小值為－2D．有最大值，且最大值為－25．(人教A版必修第一冊(cè)P48·T1(2)改編)函數(shù)y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________．層級(jí)一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時(shí)間)基礎(chǔ)點(diǎn)(一)配湊法求最值

[題點(diǎn)全訓(xùn)][一“點(diǎn)”就過(guò)]1．拼湊法求最值拼湊法就是將相關(guān)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵．2．拼湊法求解最值應(yīng)注意的問(wèn)題(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的條件．基礎(chǔ)點(diǎn)(二)常數(shù)代換法求最值

[題點(diǎn)全訓(xùn)]3．已知x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，則x＋y的最小值是________．[一“點(diǎn)”就過(guò)]1．常數(shù)代換法的運(yùn)用技巧常數(shù)代換的實(shí)質(zhì)是x×1＝x，所以關(guān)鍵是找到常數(shù)，從而找到結(jié)果為1的式子，然后通過(guò)乘積的運(yùn)算利用基本不等式解題．2．用常數(shù)代換法求最值時(shí)應(yīng)注意的兩個(gè)方面(1)注意目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，看是否需要整體乘以“1”的替身；2．已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋2xy－1＝0，則x2＋y2的最小值為________．3．(2020·江蘇高考)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，則x2＋y2的最小值是_______．[一“點(diǎn)”就過(guò)]利用消元法求最值的技巧消元法，即先根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式，再進(jìn)行最值的求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問(wèn)題，解決方法是消元后利用基本不等式求解，但應(yīng)注意各個(gè)元的范圍．層級(jí)二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)不會(huì)利用雙換元法求含兩參數(shù)的最值問(wèn)題若題目中含有求兩個(gè)分式的最值問(wèn)題，解決這類問(wèn)題最常用的方法就是雙換元，分別設(shè)兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系．——————————————————————————————————重難點(diǎn)(一)基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

[典例]

為了緩解市民吃肉難的生活問(wèn)題，某生豬養(yǎng)殖公司欲將一批豬肉用冷藏汽車從甲地運(yùn)往相距120km的乙地，運(yùn)費(fèi)為每小時(shí)60元，裝卸費(fèi)為1000元，豬肉在運(yùn)輸途中的損耗費(fèi)(單位：元)是汽車速度(單位：km/h)值的2倍．(說(shuō)明：運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用＝運(yùn)費(fèi)＋裝卸費(fèi)＋損耗費(fèi))(1)為使運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用不超過(guò)1260元，求汽車行駛速度的范圍；(2)若要使運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用最小，汽車的行駛速度為多少？利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的思路(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值．(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問(wèn)題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解．

[針對(duì)訓(xùn)練]如圖，某房地產(chǎn)開發(fā)公司計(jì)劃在一棟樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)矩形公園ABCD，公園由矩形的休閑區(qū)(陰影部分)A1B1C1D1和環(huán)公園人行道組成，已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為1000m2，人行道的寬分別為5m和8m，設(shè)休閑區(qū)的長(zhǎng)為xm.(1)求矩形ABCD所占面積S(單位：m2)關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)要使公園所占面積最小，問(wèn)休閑區(qū)A1B1C1D1的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別為多少m?考法2求參數(shù)的值或取值范圍[例2]

已知正數(shù)x，y滿足4x＋9y＝xy且x＋y<m2－24m有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．(1)當(dāng)基本不等式與其他知識(shí)相結(jié)合時(shí)，往往是提供一個(gè)應(yīng)用基本不等式的條件，然后利用常數(shù)代換法求最值．(2)求參數(shù)的值或范圍時(shí)，要觀察題目的特點(diǎn)，利用基本不等式確定等號(hào)成立的條件，從而得到參數(shù)的值或范圍．層級(jí)三/細(xì)微點(diǎn)——優(yōu)化完善(掃盲點(diǎn))一、全面清查易錯(cuò)易誤點(diǎn)1．(忽視等號(hào)成立的條件)

在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有

(

)6.(體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用)如圖，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求點(diǎn)B在AM上，點(diǎn)D在AN上，且