數(shù)列的概念課件2-高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

4.1數(shù)列的概念溫故知新1、數(shù)列的有關(guān)概念(1)按確定的順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.(2)數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做數(shù)列的項.(3)各項依次叫做這個數(shù)列的第1項(或首項)，常用符號a1表示，第2項，用a2表示…，第n項，用an表示….(4)數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，…，an，…，簡記為{an}.溫故知新2、數(shù)列的分類1、以項數(shù)來分類：

①有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列

②無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.2、以各項的大小關(guān)系來分類：(1)遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列；

(2)遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列；

(3)常數(shù)列：各項都相等的數(shù)列；(4)擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列.對任意n∈N*，總有an+1>an(或an+1-an>0).對任意n∈N*，總有an+1<an(或an+1-an<0).溫故知新3、數(shù)列三種表示方法(1)列表法：列出序號n與項的對應(yīng)值(2)解析式(通項公式)法：通項公式表示.

數(shù)列的圖象表示法是一群孤立的點通項公式：

如果數(shù)列的第n項an與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)：通項公式就是an與n之間的函數(shù)關(guān)系式an=f(n)數(shù)列的幾何意義：有窮數(shù)列表示有限個孤立的點。

無窮數(shù)列表示無限個孤立的點。解：令n2+2n=120，解得n=-12(舍)或n=10，所以120是數(shù)列的項，是第10項。例題講解3、如果數(shù)列{an}的通項公式為an=n2+2n，那么120是不是這個數(shù)列的項，如果是，是第幾項？例題講解4、下圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形，在圖中4個大三角形中，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，寫出這個數(shù)列的一個通項公式.解：在以上4個圖中，著色三角形的個數(shù)依次為1，3，9，27，即所求數(shù)列的前4項都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號減1.因此，這個數(shù)列的一個通項公式是an=3n-1.換個角度觀察圖中的4個圖形，可以發(fā)現(xiàn)，①a1=1；②每個圖形中的著色三角形都在下一個圖形中分裂為3個著色小三角形和1個無色小三角形；③從第2個圖形開始，每個圖形中著色三角形的個數(shù)都是前一個圖形中著色三角形個數(shù)的3倍；這樣，例4中的數(shù)列的前4項滿足a1=1，a2

=3a1，a3

=3a2，a4

=3a3，由此猜測這個數(shù)列滿足公式探究新知

像an=3n-1這樣，如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.

知道了首項或前幾項以及遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項了.探究新知8、遞推公式當不能明顯看出數(shù)列的項的取值規(guī)律時，可以嘗試通過運算來尋找規(guī)律.如依次取出數(shù)列的某一項，減去或除以它的前一項，再對差或商加以觀察.遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法。探究新知5、數(shù)列的表示方法從例題中你發(fā)現(xiàn)數(shù)列有那些表示方法？(1)列表法(列出序號n與項的對應(yīng)值)(4)遞推公式法(2)圖像法(一系列孤立的點)(3)通項公式法(解析法)：an=f(n)

例題講解5、已知數(shù)列的第1項是1，以后的各項由公式給出，寫出這個數(shù)列的前5項.

解：a1=1通項公式和遞推公式之間的差別與聯(lián)系：通項公式可以確定數(shù)列遞推公式項an是序號n的函數(shù)an=f(n)已知a1及相鄰項間的關(guān)系區(qū)別聯(lián)系聯(lián)系隨堂練習1、根據(jù)遞推公式，分別寫出它的前5項，并歸納出通項公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)；(2)a1＝1，解：(1)a1＝0，a2＝a1＋1＝1，a3＝a2＋3＝4，a4＝a3＋5＝9，a5＝a4＋7＝16.由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，a5＝42，可歸納出an＝(n－1)2.(2)a1＝1，隨堂練習2、在數(shù)列{an}中，(1)求數(shù)列{an}的前5項(2)求a2021(2)周期為3，2021=3×673+2，所以a2021=a3×673+2=a2=-1。隨堂練習3、在數(shù)列{an}中，(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通項公式解：(1)a2=2+ln2a3=2+ln3a4=2+ln4(2)an=2+lnn探究新知9、數(shù)列的前n項和公式：在對數(shù)列的研究中，求數(shù)列某些項的和是主要問題之一.

我們把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即

Sn=a1+a2+...+an.如果數(shù)列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的前n項和公式.隨堂練習4、練習(1)數(shù)列{an}的通項公式為an=n，則S3=

，S5=

，S1=

。(2)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S7=30，S8=40，則a8=

。615101

思考：an與Sn的關(guān)系？探究新知9、數(shù)列的前n項和公式：an與Sn的關(guān)系

我們把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即

Sn=a1+a2+...+an.

顯然S1=a1，而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2)，于是我們有例題講解6、已知數(shù)列{an}的前幾項和公式為Sn=n2+n,(1)求S3，S5，Sn-1；(2)求出{an}的通項公式.解：(1)S3=32+3=12，S5=52+5=30，Sn-1=(n-1)2+(n-1)=n2-n.(2)當n=1時，a1=S1=2，當n>1時，an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n(n≥2)，①將n=1代入①式得，2×1=2=a1所以當n=1時，①式依然成立.故{an}的通項公式是an=2n.隨堂練習5、已知數(shù)列{an}的前幾項和公式為Sn=-2n2，求{an}的通項公式。解：(1)當n=1時，a1=S1=-2，當n>1時，an=Sn-Sn-1=

-2n2

-[-2(n-1)2]=2-4n(n≥2),①將n=1代入①式得，2-4=-2=a1所以當n=1時，①式依然成立.故{an}的通項公式是an=2-4n.隨堂練習6、已知數(shù)列{an}的前幾項和公式為Sn=n2+4，求{an}的通項公式。解：(2)當n=1時，a1=S1=1+4=5;當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(n2+4)-[(n-1)2+4]=2n-1.①將n=1代入①式得，2-1=1≠5=a1所以當n=1時，①式不成立.例題講解7、已知函數(shù)

，構(gòu)造數(shù)列an＝f(n)(n∈N*)．(1)求證：an>－2；(2)數(shù)列{an}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？因為n∈N*，所以an>－2.(2)數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．理由如下：即an＋1<an所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．方法技巧

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，采用作差法或作商法比較an與an+1的大小關(guān)系，從而判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性，

若an+1>an恒成立，則{an}是遞增數(shù)列;

若an+1<an恒成立，則{an}是遞減數(shù)列.隨堂練習7、已知數(shù)列{an}的通項公式為.求證：此數(shù)列為遞增數(shù)列.由n∈N*，得an+1-an>0，即an+1>an.所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.隨堂練習8、已知

，試問數(shù)列{an}中有沒有最大項？如果有，求出這個最大項；如果沒有，說明理由．所以a1<a2<a3<…<a7<a8＝a9>a10>a11>a12>…，故數(shù)列{an}存在最大項，最大項為

數(shù)列的最大、最小項問題，可以通過研究數(shù)列的單調(diào)性加以解決，若求最大項an，n的值可通過解不等式組來確定；若求最小項an，n的值可通過解不等式組來確定.小結(jié)課后練習1、已知a1=2，an+1=2an，求出前5項，并猜想an.解：數(shù)列的前5項分別為a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23，a4=2×23=24，a5=2×24=25法一：觀察可得：an=2n法二：由an+1=2an，得an=2an-1課后練習2、已知數(shù)列{an}中，a1