光學教程習題解答

《光學教程》（姚啟鈞）習題解答第一章光的干涉1、波長為的綠光投射在間距為的雙縫上，在距離處的光屏上形成干涉條紋，求兩個亮條紋之間的距離。若改用波長為的紅光投射到此雙縫上，兩個亮紋之間的距離為多少？算出這兩種光第2級亮紋位置的距離。解：改用兩種光第二級亮紋位置的距離為：2、在楊氏實驗裝置中，光源波長為，兩狹縫間距為，光屏離狹縫的距離為，試求：⑴光屏上第1亮條紋和中央亮紋之間的距離；⑵若P點離中央亮紋為問兩束光在P點的相位差是多少？⑶求P點的光強度和中央點的強度之比。解：⑴⑵由光程差公式⑶中央點強度：P點光強為：3、把折射率為的玻璃片插入楊氏實驗的一束光路中，光屏上原來第5級亮條紋所在的位置變?yōu)橹醒肓翖l紋，試求插入的玻璃片的厚度。已知光波長為解：，設(shè)玻璃片的厚度為由玻璃片引起的附加光程差為：4、波長為的單色平行光射在間距為的雙縫上。通過其中一個縫的能量為另一個的倍，在離狹縫的光屏上形成干涉圖樣，求干涉條紋間距和條紋的可見度。解：由干涉條紋可見度定義：由題意，設(shè)，即代入上式得5、波長為的光源與菲涅耳雙鏡的相交棱之間距離為，棱到光屏間的距離為，若所得干涉條紋中相鄰亮條紋的間隔為，求雙鏡平面之間的夾角。解：由菲涅耳雙鏡干涉條紋間距公式6、在題1.6圖所示的勞埃德鏡實驗中，光源S到觀察屏的距離為，到勞埃德鏡面的垂直距離為。勞埃德鏡長，置于光源和屏之間的中央。⑴若光波波長，問條紋間距是多少？⑵確定屏上可以看見條紋的區(qū)域大小，此區(qū)域內(nèi)共有幾條條紋？（提示：產(chǎn)生干涉的區(qū)域P1P2可由圖中的幾何關(guān)系求得）SSS`P2P1P0題1.6圖解：由圖示可知：①②在觀察屏上可以看見條紋的區(qū)域為P1P2間即，離屏中央上方的范圍內(nèi)可看見條紋。7、試求能產(chǎn)生紅光（）的二級反射干涉條紋的肥皂膜厚度。已知肥皂膜折射率為，且平行光與法向成300角入射。解：由等傾干涉的光程差公式：8、透鏡表面通常鍍一層如MgF2（）一類的透明物質(zhì)薄膜，目的是利用干涉來降低玻璃表面的反射。為了使透鏡在可見光譜的中心波長（）處產(chǎn)生極小的反射，則鍍層必須有多厚？解：物質(zhì)薄膜厚度使膜上下表面反射光產(chǎn)生干涉相消，光在介質(zhì)上下表面反射時均存在半波損失。由光程差公式：9、在兩塊玻璃片之間一邊放一條厚紙，另一邊相互壓緊，玻璃片長，紙厚為，從600的反射角進行觀察，問在玻璃片單位長度內(nèi)看到的干涉條紋數(shù)目是多少？設(shè)單色光源波長為解：H=0.05mmH=0.05mm相鄰亮條紋的高度差為：可看見總條紋數(shù)則在玻璃片單位長度內(nèi)看到的干涉條紋數(shù)目為：即每內(nèi)10條。10、在上題裝置中，沿垂直于玻璃表面的方向看去，看到相鄰兩條暗紋間距為。已知玻璃片長，紙厚，求光波的波長。解：當光垂直入射時，等厚干涉的光程差公式：可得：相鄰亮紋所對應(yīng)的厚度差：由幾何關(guān)系：，即11、波長為的可見光正射在一塊厚度為，折射率為的薄玻璃片上，試問從玻璃片反射的光中哪些波長的光最強。解：由光正入射的等傾干涉光程差公式：使反射光最強的光波滿：足12、邁克耳遜干涉儀的反射鏡M2移動時，看到條紋移過的數(shù)目為個，設(shè)光為垂直入射，求所用光源的波長。M1M1M2光垂直入射情況下的等厚干涉的光程差公式：移動一級厚度的改變量為：13、邁克耳遜干涉儀的平面鏡的面積為，觀察到該鏡上有個條紋，當入射光的波長為時，兩鏡面之間的夾角為多少？解：由光垂直入射情況下的等厚干涉的光程差公式：相鄰級亮條紋的高度差：由和構(gòu)成的空氣尖劈的兩邊高度差為：14、調(diào)節(jié)一臺邁克耳遜干涉儀，使其用波長為的擴展光源照明時會出現(xiàn)同心圓環(huán)條紋。若要使圓環(huán)中心處相繼出現(xiàn)條圓環(huán)條紋，則必須將移動一臂多遠的距離？若中心是亮的，試計算第一暗環(huán)的角半徑。（提示：圓環(huán)是等傾干涉圖樣，計算第一暗環(huán)角半徑時可利用的關(guān)系。）解：出現(xiàn)同心圓環(huán)條紋，即干涉為等傾干涉對中心15、用單色光觀察牛頓環(huán)，測得某一亮環(huán)的直徑為，在它外邊第5個亮環(huán)的直徑為，所用平凸透鏡的凸面曲率半徑為，求此單色光的波長。解：由牛頓環(huán)的亮環(huán)的半徑公式：以上兩式相減得：16、在反射光中觀察某單色光所形成的牛頓環(huán)，其第2級亮環(huán)與第3級亮環(huán)間距為，求第19和20級亮環(huán)之間的距離。解：牛頓環(huán)的反射光中所見亮環(huán)的半徑為：即：則：

第2章光的衍射P1、單色平面光照射到一小圓孔上，將其波面分成半波帶。求第個帶的半徑。若極點到觀察點的距離為，單色光波長為，求此時第一半波帶的半徑。P解：由公式對平面平行光照射時，波面為平面，即：2、平行單色光從左向右垂直射到一個有圓形小孔的屏上，設(shè)此孔可以像照相機光圈那樣改變大小。問：⑴小孔半徑應(yīng)滿足什么條件時，才能使得此小孔右側(cè)軸線上距小孔中心的P點的光強分別得到極大值和極小值；⑵P點最亮時，小孔直徑應(yīng)為多大？設(shè)此光的波長為。解：⑴當為奇數(shù)時，P點為極大值當C數(shù)時，P點為極小值⑵由，為奇，取“+”；為偶，取“-”當，即僅露出一個半波帶時，P點最亮。，·P·S3、波長為的單色點光源離光闌，光闌上有一個內(nèi)外半徑分別為和的透光圓環(huán)，接收點P離光闌，求P點的光強與沒有光闌時的光強之比?！·S解：即從透光圓環(huán)所透過的半波帶為：2，3，4設(shè)沒有光闌時光強之比：4、波長為的平行光射向直徑為的圓孔，與孔相距處放一屏，試問：⑴屏上正對圓孔中心的P點是亮點還是暗點？⑵要使P點變成與⑴相反的情況，至少要把屏分別向前或向后移動多少？·P·P由公式對平面平行光照射時，波面為平面，即：，即P點為亮點。則，注：取作單位向右移，使得，向左移，使得，5、一波帶片由五個半波帶組成。第一半波帶為半徑的不透明圓盤，第二半波帶是半徑和的透明圓環(huán)，第三半波帶是至的不透明圓環(huán)，第四半波帶是至的透明圓環(huán)，第五半波帶是至無窮大的不透明區(qū)域。已知，用波長的平行單色光照明，最亮的像點在距波帶片的軸上，試求：⑴；⑵像點的光強；⑶光強極大值出現(xiàn)在哪些位置上。解：⑴由波帶片具有透鏡成像的作用，⑵無光闌時，即：，為入射光的強度。⑶由于波帶片還有…等多個焦點存在，即光強極大值在軸上…6、波長為的點光源經(jīng)波帶片成一個像點，該波帶片有個透明奇數(shù)半波帶（1,3,5,…,199）。另外個不透明偶數(shù)半波帶。比較用波帶片和換上同樣焦距和口徑的透鏡時該像點的強度比。解：由波帶片成像時，像點的強度為：由透鏡成像時，像點的強度為：即7、平面光的波長為，垂直照射到寬度為的狹縫上，會聚透鏡的焦距為。分別計算當縫的兩邊到P點的相位差為和時，P點離焦點的距離。P解：P對沿方向的衍射光，縫的兩邊光的光程差為：相位差為：對使的P點對使的P`點8、白光形成的單縫衍射圖樣中，其中某一波長的第三個次最大值與波長為的光波的第二個次最大值重合，求該光波的波長。解：對方位，的第二個次最大位對的第三個次最大位即：9、波長為的平行光垂直地射在寬的縫上，若將焦距為的透鏡緊貼于縫的后面，并使光聚焦到屏上，問衍射圖樣的中央到⑴第一最小值；⑵第一最大值；⑶第三最小值的距離分別為多少？解：⑴第一最小值的方位角為：⑵第一最大值的方位角為：⑶第3最小值的方位角為：10、鈉光通過寬的狹縫后，投射到與縫相距的照相底片上。所得的第一最小值與第二最小值間的距離為，問鈉光的波長為多少？若改用X射線（）做此實驗，問底片上這兩個最小值之間的距離是多少？解：單縫衍射花樣最小值位置對應(yīng)的方位滿足：則11、以縱坐標表示強度，橫坐標表示屏上的位置，粗略地畫出三縫的夫瑯禾費衍射（包括縫與縫之間的干涉）圖樣。設(shè)縫寬為，相鄰縫間的距離為，。注意缺級問題。12、一束平行白光垂直入射在每毫米條刻痕的光柵上，問第一級光譜的末端和第二光譜的始端的衍射角之差為多少？（設(shè)可見光中最短的紫光波長為，最長的紅光波長為）解：每毫米條刻痕的光柵，即第一級光譜的末端對應(yīng)的衍射方位角為第二級光譜的始端對應(yīng)的衍射方位角為13、用可見光（）照射光柵時，一級光譜和二級光譜是否重疊？二級和三級怎樣？若重疊，則重疊范圍是多少？解：光譜線對應(yīng)的方位角：即第一級光譜與第二級光譜無重疊即第二級光譜與第三級光譜有重疊由即第三級光譜的的光譜與第二級光譜重疊。14、用波長為的單色光照射一衍射光柵，其光譜的中央最大值和第二十級主最大值之間的衍射角為，求該光柵內(nèi)的縫數(shù)是多少？解：第20級主最大值的衍射角由光柵方程決定解得15、用每毫米內(nèi)有條刻痕的平面透射光柵觀察波長為的鈉光譜。試問：⑴光垂直入射時，最多功能能觀察到幾級光譜？⑵光以角入射時，最多能觀察到幾級光譜？解：⑴光垂直入射時，由光柵方程：即能看到4級光譜⑵光以角入射16、白光垂直照射到一個每毫米條刻痕的平面透射光柵上，試問在衍射角為處會出現(xiàn)哪些波長的光？其顏色如何？解：在的衍射角方向出現(xiàn)的光，應(yīng)滿足光柵方程：17、用波長為的單色光照射一光柵，已知該光柵的縫寬為，不透明部分的寬度為，縫數(shù)為條。求：⑴單縫衍射圖樣的中央角寬度；⑵單縫衍射圖樣中央寬度內(nèi)能看到多少級光譜？⑶譜線的半寬度為多少？解：⑴⑵級光譜對應(yīng)的衍射角為：即在單縫圖樣中央寬度內(nèi)能看到條（級）光譜⑶由多縫干涉最小值位置決定公式：

第3章幾何光學的基本原理1、證明反射定律符合費馬原理證明：設(shè)A點坐標為，B點坐標為入射點C的坐標為光程ACB為：令即：*2、根據(jù)費馬原理可以導出近軸光線條件下，從物點發(fā)出并會聚到像點的所有光線的光程都相等。由此導出薄透鏡的物像公式。3、眼睛E和物體PQ之間有一塊折射率為的玻璃平板（見題3.3圖），平板的厚度為。求物體PQ的像P`Q`與物體PQ之間的距離為多少？ABABCED由圖：4、玻璃棱鏡的折射角A為，對某一波長的光其折射率為，計算：⑴最小偏向角；⑵此時的入射角；⑶能使光線從A角兩側(cè)透過棱鏡的最小入射角。解：BCA⑴由BCA當時偏向角為最小，即有⑵5、（略）6、高的物體距凹面鏡頂點，凹面鏡的焦距是，求像的位置及高度，（并作光路圖）解：由球面成像公式：代入數(shù)值得：由公式：7、一個高的物體放在球面鏡前處成高的虛像。求⑴此鏡的曲率半徑；⑵此鏡是凸面鏡還是凹面鏡？解：⑴，虛像由得：⑵由公式（為凸面鏡）8、某觀察者通過一塊薄玻璃板去看在凸面鏡中他自己的像。他移動著玻璃板，使得在玻璃板中與在凸面鏡中所看到的他眼睛的像重合在一起。若凸面鏡的焦距為，眼睛距凸面鏡頂點的距離為，問玻璃板距觀察者眼睛的距離為多少？PP`PP`由題意，凸面鏡焦距為，即玻璃板距觀察者眼睛的距離為9、物體位于凹面鏡軸線上焦點之外，在焦點與凹面鏡之間放一個與軸線垂直的兩表面互相平行的玻璃板，其厚度為，折射率為。試證明：放入該玻璃板后使像移動的距離與把凹面鏡向物體移動的一段距離的效果相同。證明：設(shè)物點不動，由成像公式由題3可知：入射到鏡面上的光線可視為從發(fā)出的，即加入玻璃板后的物距為反射光線經(jīng)玻璃板后也要平移，所成像的像距為放入玻璃板后像移量為：凹面鏡向物移動之后，物距為（）相對點距離10、欲使由無窮遠發(fā)出的近軸光線通過透明球體并成像在右半球面的頂點處，問這透明球體的折射率應(yīng)為多少？解：由球面折射成像公式：解得：11、有一折射率為、半徑為的玻璃球，物體在距球表面處，求：⑴物所成的像到球心之間的距離；⑵像的橫向放大率。解：⑴由球面成像為，由球面成像，在的右側(cè)，離球心的距離⑵球面成像（利用P194：）球面成像12、一個折射率為、直徑為的玻璃球內(nèi)有兩個小氣泡?？瓷先ヒ粋€恰好在球心，另一個從最近的方向看去，好像在表面與球心連線的中點，求兩氣泡的實際位置。解：設(shè)氣泡經(jīng)球面成像于球心，由球面折射成像公式：，即氣泡就在球心處另一個氣泡，即氣泡離球心13、直徑為的球形魚缸的中心處有一條小魚，若玻璃缸壁的影響可忽略不計，求缸外觀察者所看到的小魚的表觀位置和橫向放大率。解：由球面折射成像公式：解得，在原處14、玻璃棒一端成半球形，其曲率半徑為。將它水平地浸入折射率為的水中，沿著棒的軸線離球面頂點處的水中有一物體，利用計算和作圖法求像的位置及橫向放大率，并作光路圖。解：由球面折射成像公式：15、有兩塊玻璃薄透鏡的兩表面均各為凸球面及凹球面，其曲率半徑為。一物點在主軸上距鏡處，若物和鏡均浸入水中，分別用作圖法和計算法求像點的位置。設(shè)玻璃的折射率為，水的折射率為。解：由薄透鏡的物像公式：對兩表面均為凸球面的薄透鏡：對兩表面均為凹球面的薄透鏡：16、一凸透鏡在空氣的焦距為，在水中時焦距為，問此透鏡的折射率為多少（水的折射率為）？若將此透鏡置于CS2中（CS2的折射率為），其焦距又為多少？解：⑴薄透鏡的像方焦距：時，在空氣中：在水中：兩式相比：解得⑵而：則：

光學儀器的基本原理1、眼睛的構(gòu)造簡單地可用一折射球面來表示，其曲率半徑為，內(nèi)部為折射率等于的液體，外部是空氣，其折射率近似地等于1。試計算眼球的兩個焦距。用肉眼觀察月球時月球?qū)ρ鄣膹埥菫?，問視網(wǎng)膜上月球的像有多大？解：由球面折射成像公式：令令2、把人眼的晶狀體看成距視網(wǎng)膜的一個簡單透鏡。有人能看清距離在到間的物體。試問：⑴此人看遠點和近點時，眼睛透鏡的焦距是多少？⑵為看清遠的物體，需配戴怎樣的眼鏡？解：⑴對于遠點：由透鏡成像公式：對于近點：⑵對于由兩光具組互相接觸組合整體：（近視度：）3、一照相機對準遠物時，底片距物鏡，當鏡頭拉至最大長度時，底片與物鏡相距，求目的物在鏡前的最近距離？解：由題意：照相機對準遠物時，底片距物鏡，由透鏡成像公式：4、兩星所成的視角為，用望遠鏡物鏡照相，所得兩像點相距，問望遠鏡物鏡的焦距是多少？解：5、一顯微鏡具有三個物鏡和兩個目鏡。三個物鏡的焦距分別為、和，兩個目鏡的放大本領(lǐng)分別為和倍。設(shè)三個物鏡造成的像都能落在像距為處，問這顯微鏡的最大和最小的放大本領(lǐng)各為多少？解：由顯微鏡的放大本領(lǐng)公式：其最大放大本領(lǐng)：其最小放大本領(lǐng)：6、一顯微鏡物鏡焦距為，目鏡焦距為，兩鏡間距為。觀察者看到的像在無窮遠處。試求物體到物鏡的距離和顯微鏡的放大本領(lǐng)。解：由透鏡物像公式：解得：顯微鏡的放大本領(lǐng)：7、（略）8、已知望遠鏡物鏡的邊緣即為有效光闌，試計算并作圖求入光瞳和出射光瞳的位置。9、10、*13、焦距為的薄透鏡，放在發(fā)光強度為的點光源之前處，在透鏡后面處放一屏，在屏上得到明亮的圓斑。求不計透鏡中光的吸收時，圓斑的中心照度。解：（為透鏡的面積）點的像點的發(fā)光強度為：14、一長為的線狀物體放在一照相機鏡頭前處，在底片上形成的像長為。若底片后移，則像的彌散斑寬度為。試求照相機鏡頭的F數(shù)。解：由得由透鏡物像公式：由圖可見，F(xiàn)數(shù)：15、某種玻璃在靠近鈉光的黃色雙譜線（其波長分別為和）附近的色散率為，求由此種玻璃制成的能分辨鈉光雙譜線的三棱鏡，底邊寬度應(yīng)小于多少？解：由色分辨本領(lǐng)：16、設(shè)計一塊光柵，要求⑴使波長的第二級譜線的衍射角小于，并能分辨其的波長差；⑵色散盡可能大；⑶第三級譜線缺級。求出其縫寬、縫數(shù)、光柵常數(shù)和總寬度。用這塊光柵總共能看到的幾條譜線？解：由由第三級缺級由光柵的總寬度：由能看到，共5條譜線17、若要求顯微鏡能分辨相距的兩點，用波長為的可見光照明。試求：⑴此顯微鏡物鏡的數(shù)值孔徑；⑵若要求此兩點放大后的視角為，則顯微鏡的放大本領(lǐng)是多少？解：⑴由顯微鏡物鏡的分辨極限定義⑵18、夜間自遠處駛來汽車的兩前燈相距。如將眼睛的瞳孔看成產(chǎn)生衍射的圓孔，試估計視力正常的人在多遠處才能分辨出光源是兩個燈。設(shè)眼睛瞳孔的直徑為，設(shè)光源發(fā)出的光的波長為。解：當才能分辨出19、用孔徑分別為和的兩種望遠鏡能否分辨清月球上直徑為的環(huán)形山？（月球與地面的距離為地球半徑的倍，面地球半徑約為。）設(shè)光源發(fā)出的光的波長為。解：孔徑望遠鏡：孔徑望遠鏡：，即用孔徑望遠鏡不能分辨清，即用孔徑望遠鏡能分辨清20、電子顯微鏡的孔徑角，電子束的波長為，試求它的最小分辨距離。若人眼能分辨在明視距離處相距的兩點，則此顯微鏡的放大倍數(shù)是多少？解：

光的偏振1、試確定下面兩列光波的偏振態(tài)。解：①有：分析為（左旋）圓偏振光②有：分析為（左旋）圓偏振光2、為了比較兩個被自然光照射的表面的亮度，對其中一個表面直接進行觀察，另一個表面通過兩塊偏振片來觀察。兩偏振片的透振方向的夾角為。若觀察到兩表面的亮度相同。則兩表面實際的亮度比是多少？已知光通過每一塊偏振片后損失入射光能量的。解：由于被光照射的表面的亮度與其反射的光的光強成正比。設(shè)直接觀察的表面對應(yīng)的光強為，通過兩偏振片觀察的表面的光強為通過第一塊偏振片的光強為：通過第二塊偏振片的光強為：由則：3、兩個尼科耳N1和N2的夾角為，在它們之間放置另一個尼科耳N3，讓平行的自然光通過這個系統(tǒng)。假設(shè)各尼科耳對非常光均無吸收，試問N3和N1的透振方向的夾角為何值時，通過系統(tǒng)的光強最大？設(shè)入射光強為，求此時所能通過的最大光強。解：令：得：4、在兩個正義的理想偏聽偏振片之間有一個偏振片以勻角速度繞光的傳播方向旋轉(zhuǎn)（見題5.4圖），若入射的自然光強為，試證明透射光強為N1NN1N2題5.4圖5、線偏振光入射到折射率為的玻璃片上，入射角是，入射光的電矢量與入射面成角。求由分界面上反射的光強占入射光強的百分比。解：設(shè)入射線偏振光振幅為，則入射光強為入射光平行分量為：入射光垂直分量為：由：得：由：6、一線偏振光垂直入射到一方解石晶體上，它的振動面和主截面成角。兩束折射光通過在方解石后面的一個尼科耳棱鏡，其主截面與入射光的振動方向成角。計算兩束透射光的相對強度。方解石解：方解石當光振動面與N主截面在晶體主截面同側(cè)：當光振動面與N主截面在晶體主截面兩側(cè)：7、線偏振光垂直入射到一塊光軸平行于表面的方解石波片上，光的振動面和波片的主截面成角。求：⑴透射出來的尋常光和非常光的相對強度為多少？⑵用鈉光入時如要產(chǎn)生的相位差，波片的厚度應(yīng)為多少？（）解：⑴⑵方解石對鈉光由8、有一塊平行石英片是沿平行于光軸方向切成一塊黃光的波片，問這塊石英片應(yīng)切成多厚？石英的。解：9、⑴線偏振光垂直入射到一個表面和光軸平行的波片，透射出來后，原來在波片中的尋常光及非常光產(chǎn)生了大小為的相位差，問波片的厚度為多少？⑵問這塊波片應(yīng)怎樣放置才能使透射出來的光是線偏振光，而且它的振動面和入射光的振動面成的角？解：⑴⑵振動方向與晶體主截面成角10、線偏振光垂直入射到一塊表面平行于光軸的雙折射波片，光振動面和波片光軸成角，問波片中的尋常光和非常光透射出來后的相對強度如何？解：光軸光軸11、在兩正交尼科耳棱鏡N1和N2之間垂直插入一塊波片，發(fā)現(xiàn)N2后面有光射出，但當N2繞入射光向順時針轉(zhuǎn)過后，N2的視場全暗，此時，把波片也繞入射光順時針轉(zhuǎn)過，N2的視場又亮了，問：⑴這是什么性質(zhì)的波片；⑵N2要轉(zhuǎn)過多大角度才能使N2的視場以變?yōu)槿?。解：⑴由題意，當繞入射光向順時針轉(zhuǎn)動后，后的視場全暗，說明與夾角為。只有當波片為半波片時，才能使入射線偏振光出射后仍為線偏振光。⑵把波片也繞入射光