(2019新教材)人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊知識點

（2019新教材）人教A版必修第一冊知識點第一章集合與常用邏輯用語〖1.1〗集合的概率（1）集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.（2）常用數(shù)集及其記法表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實數(shù)集.（3）集合與元素間的關(guān)系對象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一.（4）集合的表示法①自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.③描述法：{|具有的性質(zhì)}，其中為集合的代表元素.④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.（5）集合的分類①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集.〖1.2〗集合間的基本關(guān)系（1）子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)若且，則(4)若且，則或真子集AB或BA，且B中至少有一元素不屬于A（1）（A為非空子集）(2)若且，則集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA（2）已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有非空真子集.〖1.3〗集合的基本運算名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集且（1）（2）（3）并集或（1）（2）（3）補集12〖1.4〗充分條件與必要條1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若，則”形式的命題中的稱為命題的條件，稱為命題的結(jié)論.若，則是的充分條件，是的必要條件．若，則是的充要條件（充分必要條件）．利用集合間的包含關(guān)系：例如：若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；〖1.5〗全稱量詞與存在量詞1、全稱量詞——“所有的”、“任意一個”等，用“”表示；全稱命題p：；全稱命題p的否定p：。⑵存在量詞——“存在一個”、“至少有一個”等，用“”表示；特稱命題p：；特稱命題p的否定p：；第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式1、；；．2、不等式的性質(zhì)：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④，；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥；=7\*GB3⑦；=8\*GB3⑧．3、常用的基本不等式：=1\*GB3①；=2\*GB3②4、含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法（1）含絕對值的不等式的解法不等式解集或把看成一個整體，化成，型不等式來求解（2）一元二次不等式的解法判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根（其中無實根的解集或的解集第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)〖3.1〗函數(shù)及其表示1、函數(shù)的概念①設(shè)、是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則，對于集合中任何一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合，以及到的對應(yīng)法則叫做集合到的一個函數(shù)，記作．②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則．③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)．2、區(qū)間的概念及表示法（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．3、求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù)．②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)．③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合．④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1．⑤零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．⑥若是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．⑦對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域為，其復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式解出．⑧對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論．⑨由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義．4、求函數(shù)的值域或最值①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．③判別式法：若函數(shù)可以化成一個系數(shù)含有的關(guān)于的二次方程，則在時，由于為實數(shù)，故必須有，從而確定函數(shù)的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．⑤換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．⑥數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．⑦函數(shù)的單調(diào)性法．5、函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．〖3.2〗函數(shù)的基本性質(zhì)【3.2.1】單調(diào)性1、用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟取值：即設(shè)是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且，作差變形：通過因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形．定號：確定的符號，若符號不確定，可以進行分類討論．下結(jié)論：根據(jù)定義得出結(jié)論，注意下結(jié)論時不要忘記說明區(qū)間．在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)2、復(fù)合函數(shù)與單調(diào)性若函數(shù)u=g(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)y=f(u)在[g(a),g(b)]或[g(b),g(a)]上也是單調(diào)函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性的規(guī)律是：函數(shù)單調(diào)性u=g(x)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)y=f(u)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)y=f[g(x)]增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)上述規(guī)律可簡記為“同増異減”。yxo3、對勾函數(shù)yxo分別在、上為增函數(shù)，分別在、上為減函數(shù)．【3.2.2】奇偶性1、函數(shù)奇偶性的定義奇函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域為，如果對于內(nèi)的任意一個，都有，且，則這個函數(shù)叫做奇函數(shù)．偶函數(shù)：設(shè)函數(shù)的定義域為，如果對于內(nèi)的任意一個，都有，且，則這個函數(shù)叫做偶函數(shù)．2、奇偶函數(shù)的圖象特征函數(shù)是偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．3、判斷函數(shù)奇偶性的方法定義法：首先判斷其定義域是否關(guān)于原點中心對稱．若不對稱，則為非奇非偶函數(shù)；若對稱，則再判斷或是否為恒等式．定義的等價形式：，．圖象法性質(zhì)法：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；4、奇偶函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)具有奇偶性其定義域關(guān)于原點對稱；函數(shù)是偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．若奇函數(shù)的定義域包含0，則．5、常見函數(shù)的奇偶性正比例函數(shù)是奇函數(shù)；反比例函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；常函數(shù)是偶函數(shù)；對勾函數(shù)是奇函數(shù)；〖3.3〗冪函數(shù)1、冪函數(shù)的定義一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是常數(shù)．2、冪函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象3、冪函數(shù)的性質(zhì)（1）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都通過點；（2）時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在上是增函數(shù)；（3）時，①冪函數(shù)在上是減函數(shù)；②在第一象限內(nèi)，圖象向上與軸無限地接近，向右與軸無限地接近．（4）任何冪函數(shù)圖象都不經(jīng)過第四象限；（5）冪函數(shù)，當時，若，其圖象在直線下方，，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方．（7）冪函數(shù)奇偶性①當為偶數(shù)時，為偶函數(shù)；②當為奇數(shù)，為奇數(shù)時，為奇函數(shù)；③當為奇數(shù)，為偶數(shù)時，為非奇非偶函數(shù)．〖補充知識〗函數(shù)的圖象變換①平移變換eq\o\ac(○,2)對稱變換第四章指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)〖4.1〗指數(shù)與指數(shù)冪的運算1、根式的概念①定義：若一個數(shù)的次方等于，則這個數(shù)稱的次方根．即若，則稱的次方根，（1）當為奇數(shù)時，次方根記作；（2）當為偶數(shù)時，負數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個次方根且互為相反數(shù)，記作．②性質(zhì)：1）；2）當為奇數(shù)時，；3）當為偶數(shù)時，．2、分數(shù)指數(shù)冪的概念①正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且．0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0．②正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：且．【4.2】指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義0101函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)0101圖象定義域值域過定點圖象過定點，即當時，．奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低．【4.3】對數(shù)1、對數(shù)的定義①若，則叫做以為底的對數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù)．②負數(shù)和零沒有對數(shù)．③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：．2、幾個重要的對數(shù)恒等式，，．3、常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：，即；自然對數(shù)：，即（其中…）．4、對數(shù)的運算性質(zhì)：如果，那么①②③④⑤換底公式：⑥=7\*GB3⑦【4.3】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)圖象001001定義域值域過定點圖象過定點，即當時，．奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況變化對 圖象的影響在第一象限內(nèi)，越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，越大圖象越靠高．【4.3】函數(shù)的應(yīng)用1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。2、函數(shù)零點的意義：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．3、零點存在性判定定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且f(a)·f(b)＜0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c就是方程f(x)=0的根.【說明】這樣得到方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有根，由此只能判斷根的存在，既不能判定有多少個實數(shù)根，也不能得出根的值.4、函數(shù)零點的求法：求函數(shù)的零點：eq\o\ac(○,1)（代數(shù)法）求方程的實數(shù)根；eq\o\ac(○,2)（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．5、二分法：對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿足·的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．第五章三角函數(shù)2、角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．3、與角終邊相同的角的集合為4、已知是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再從軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應(yīng)的標號即為終邊所落在的區(qū)域．5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度．6、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數(shù)的絕對值是．7、弧度制與角度制的換算公式：，，．8、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，．9、設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是，它與原點的距離是，則，，．10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；．13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：口訣：奇變偶不變，符號看象限．，，．，，．，，．，，．，．，．14、y=siny=sinxxy=cosxy=tanx函數(shù)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期性單調(diào)性最值;，;，無對稱軸無對稱點15、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸（）；=6\*GB2⑹（）．16、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵（降冪公式：，）．=3\*GB2