4.1數(shù)列的概念（四大題型）講義-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

題型匯總題型1：題型一數(shù)列的定義例1.下列說法正確的是（

）①數(shù)列1，3，5，7與數(shù)列7，3，5，1是同一數(shù)列；②數(shù)列0，1，2，3...的一個(gè)通項(xiàng)公式為；③數(shù)列0，1，0，1…沒有通項(xiàng)公式；④數(shù)列是遞增數(shù)列①③ B．②④ C．②③ D．②③④【詳解】對于①，數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)，而數(shù)集的元素?zé)o順序性，①不正確；對于②，由無窮數(shù)列的意義知，數(shù)列1，1，1，1，…是無窮數(shù)列，②正確；對于③，不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)，如按精確度為得到的不足近似值，依次排成一列得到的數(shù)列沒有通項(xiàng)公式，③不正確；對于④，前4項(xiàng)為1，1，1，1的數(shù)列通項(xiàng)公式可以為，等，即根據(jù)一個(gè)數(shù)列的前若干項(xiàng)，寫出的通項(xiàng)公式可以不唯一，④不正確；對于⑤，有些數(shù)列是有窮數(shù)列，不可以看著是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，⑤不正確，所以說法正確的個(gè)數(shù)是1.故選：B【變式11】如下圖所示，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為，按此規(guī)律，則___________．【詳解】由題意得，故，故答案為：18【變式12】已知數(shù)列：，則是數(shù)列中的（

）A．第18項(xiàng) B．第19項(xiàng) C．第20項(xiàng) D．第21項(xiàng)【詳解】將數(shù)列分為第1組1個(gè)，第2組2個(gè)，……，第n組n個(gè)，即，則這n組中，每一組中數(shù)的分子、分母的和為，所以是第6組的第3個(gè)數(shù)，在數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)為，故選:A.【變式13】在數(shù)列中，，，則（）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減 B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增C．?dāng)?shù)列先遞減后遞增 D．?dāng)?shù)列先遞增后遞減【詳解】由，，得，，且可知．再由，兩邊平方得①，則②，②﹣①得：，∴，∵，∴與同號,由，可知，，即，可知數(shù)列單調(diào)遞減．故選：A．題型2：數(shù)列的通項(xiàng)公式例2.如果數(shù)列的通項(xiàng)公式為，那么120是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？分析：要判斷120是不是數(shù)列中的項(xiàng)，就是要回答是否存在正整數(shù)n，使得．也就是判斷上述關(guān)于n的方程是否有正整數(shù)解：解：令，解這個(gè)關(guān)于n的方程，得（舍去），或．所以，120是數(shù)列的項(xiàng)，是第10項(xiàng)．【變式21】根據(jù)下列數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：（1）1，，，，…；（2）2，0，2，0，…．解：（1）這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為．這個(gè)數(shù)列前4項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)是2，偶數(shù)項(xiàng)是0，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為．【變式22】已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，則此數(shù)列的第3項(xiàng)是（

）A．4 B．12 C．24 D．32【詳解】由題意，，故選：B【變式23】若數(shù)列滿足，，則______．【詳解】因?yàn)?，，所以所以所以故答案為?4【變式24】已知數(shù)列滿足，為正整數(shù)，則該數(shù)列的最大值是（

）A． B． C． D．【詳解】解：由，得，，，，．又，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為．故選：B．題型3：數(shù)列的遞推公式例3.數(shù)列滿足，，則等于（

）A． B． C．2 D．【詳解】因?yàn)?，，所以，，，，，…，所以?shù)列是周期數(shù)列，周期為3，所以，所以.故選：A.【變式31】已知數(shù)列的首項(xiàng)為2，滿足，則（

）A．2 B． C． D．【詳解】因?yàn)?，所以由已知可得，，?所以數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，所以.故選：C.【變式32】已知數(shù)列滿足,,,則______.【詳解】解:由題知,∵,,,∴,同理可得,,,,,∴數(shù)列為以6為周期的周期數(shù)列,.故答案為:0題型4：數(shù)列的前n項(xiàng)和公式例4.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【詳解】因，則．故選：C【變式41】已知數(shù)列滿足前項(xiàng)和，則通項(xiàng)公式為___________.【詳解】根據(jù)已知條件當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),綜上,可得故答案為:【變式42】數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則通項(xiàng)公式______．【詳解】由題知，當(dāng)