對數(shù)與對數(shù)的運算

2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算第二章基本初等函數(shù)（Ⅱ）

對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（Napier，1550年~1617年）。在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行，這導(dǎo)致天文學(xué)成為當(dāng)時的熱門學(xué)科?？墒怯捎诋?dāng)時常量數(shù)學(xué)的局限性，天文學(xué)家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的“天文數(shù)字”，因此浪費了若干年甚至畢生的寶貴時間。納皮爾也是當(dāng)時的一位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數(shù)字的計算技術(shù)，終于獨立發(fā)明了對數(shù)?！敖o我空間、時間、及對數(shù)，我就可以創(chuàng)造一個宇宙”

——伽利略

恩格斯把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始、微積分的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就。

一般地，如果(a＞0,a≠1)的x次冪等于N，就是ax＝N

，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝x.ax＝N

logaN＝x.a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。對數(shù)的概念對數(shù)式與指數(shù)式的互化ax＝N

logaN＝x.指數(shù)式對數(shù)式a冪底數(shù)對數(shù)底數(shù)x指數(shù)對數(shù)N冪真數(shù)兩類對數(shù)以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，log10N常記為lgN.lg10=1以無理數(shù)e＝2.71828……為底的對數(shù)，叫自然對數(shù)，logeN常記為lnN.lne=1例1

將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：例題講解結(jié)論：1）底數(shù)a的取值范圍：2）真數(shù)N的取值范圍:思考：在對數(shù)式b=logaN中a,b,N的取值范圍分別是？3）對數(shù)b的取值范圍:bNNaab=?=log結(jié)論：零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)求使有意義的a的取值范圍例題講解鞏固練習(xí)注意到x既存在于底數(shù)中，又存在于真數(shù)中，解答本題結(jié)合對數(shù)的概念，應(yīng)考慮其各自的要求解出x滿足的條件.對數(shù)的性質(zhì)思考1.a0=1,a1=a如何轉(zhuǎn)化為對數(shù)式?loga1=0logaa=12.零和負(fù)數(shù)有沒有對數(shù)?負(fù)數(shù)與零沒有對數(shù)3.根據(jù)對數(shù)的定義,

?例3

求下列各式中的x的值.例題講解鞏固練習(xí)求下列各式中的x的值.對數(shù)的性質(zhì)思考根據(jù)對數(shù)的定義,

?積、商、冪的對數(shù)運算法則：如果a>0，a

1，M>0，N>0

有：為了證明以上公式，請同學(xué)們回顧一下指數(shù)運算法則：證明：①設(shè)由對數(shù)的定義可以得：∴MN=即證得證明：②設(shè)由對數(shù)的定義可以得：∴即證得證明：③設(shè)由對數(shù)的定義可以得：∴即證得上述證明是運用轉(zhuǎn)化的思想，先通過假設(shè)，將對數(shù)式化成指數(shù)式，并利用冪的運算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形；然后再根據(jù)對數(shù)定義將指數(shù)式化成對數(shù)式。①簡易語言表達(dá)：“積的對數(shù)=對數(shù)的和”……②有時逆向運用公式

③真數(shù)的取值范圍必須是④對公式容易錯誤記憶，要特別注意：上述證明是運用轉(zhuǎn)化的思想，先通過假設(shè)，將對數(shù)式化成指數(shù)式，并利用冪的運算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形；然后再根據(jù)對數(shù)定義將指數(shù)式化成對數(shù)式。①簡易語言表達(dá)：“積的對數(shù)=對數(shù)的和”……②有時逆向運用公式

③真數(shù)的取值范圍必須是④對公式容易錯誤記憶，要特別注意：【錯解】

D【正解】

A例題講解例5、解（1）

用表示下列各式：

（2）例題講解例6、解方程：log2(9x-5)=log2(3x-2)+2例題講解鞏固練習(xí)探究

換底公式：如何推導(dǎo)？證明：(請記住)例7、計算例題講解鞏固練習(xí)例8、已知log189=a，18b=5，求log3645例題講解練習(xí)(1)已知log34log48log8m=log42,

求m的值;

(2)已知lg2=a,lg3=b,求lg75的值;

(3)設(shè)3a=5b=m,且例9、若a，b是方程2(lgx)2-lgx4+1=0的兩個實根，求lg(ab)(logba+logab)的值例題講解鞏固練習(xí)解方程：(lgx)2+lgx3-10=0例10、已知x,y,z為正數(shù)，3x=4y=6z求x：y：z例題講解例11、光線每透過一塊玻璃板，其強(qiáng)度要損失10%，把幾塊這樣的玻璃板重疊起來，設(shè)光線原來的