專題1.5 一線三等角模型（壓軸題專項講練）（浙教版）（解析版）

專題1.5一線三等角模型【典例1】已知：在△ABC中，AB＝AC，直線l過點A．（1）如圖1，∠BAC＝90°，分別過點B，C作直線l的垂線段BD，CE，垂足分別為D，E．①依題意補全圖1；②用等式表示線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖2，當(dāng)∠BAC≠90°時，設(shè)∠BAC＝α（0°＜α＜180°），作∠CEA＝∠BDA＝α，點D，E在直線l上，直接用等式表示線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為．【思路點撥】（1）①由題意畫出圖形即可；②證明△CEA≌△ADB（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝CE，BD＝AE，結(jié)合圖形證明結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到∠ABD＝∠CAE，證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．【解題過程】解：（1）①依題意補全圖形如圖1所示．②用等式表示DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為DE＝BD+CE．證明：∵CE⊥l，BD⊥l，∴∠CEA＝∠ADB＝90°．∴∠ECA+∠CAE＝90°．∵∠BAC＝90°，直線l過點A，∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．∴∠ECA＝∠BAD．又∵AC＝AB，∴△CEA≌△ADB（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD．∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（2）用等式表示DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為DE＝BD+CE，理由如下：∵∠BAE是△ABD的一個外角，∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，∵∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，∠ABD=∠CAE∠ADB=∠CEA∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．故答案為：DE＝BD+CE．1．（2021秋?淮陽區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝∠C，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，CA，AB上，且滿足BF＝CD，BD＝CE，∠BFD＝30°，則∠FDE的度數(shù)為（）A．75° B．80° C．65° D．95°【思路點撥】由∠B＝∠C，∠A＝50°，利用三角形內(nèi)角和為180°得∠B＝65°，∠FDB＝85°，再由BF＝CD，BD＝CE，利用SAS得到△BDF≌△CED，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到∠BFD＝∠CDE，利用三角形內(nèi)角和即可得證．【解題過程】解：∵∠B＝∠C，∠A＝50°∴∠B＝∠C=12×（180°﹣50°∵∠BFD＝30°，∠BFD+∠B+∠FDB＝180°∴∠FDB＝85°在△BDF和△CED中，BF=CD∠B=∠C∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE＝30°，又∵∠FDE+∠FDB+∠CDE＝180°，∴∠FDE＝180°﹣30°﹣85°＝65°．故選：C．2．（2021秋?南充期末）如圖，點B，C，E在同一直線上，且AC＝CE，∠B＝∠D＝90°，AC⊥CD，下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠A＝∠2 B．∠A+∠E＝90° C．BC＝DE D．∠BCD＝∠ACE【思路點撥】證明△ABC≌△CDE（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出BC＝DE，∠1＝∠E，則可得出結(jié)論．【解題過程】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠B＝90°，∴∠1+∠A＝90°，∴∠2＝∠A，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D∠A=∠2∴△ABC≌△CDE（AAS），∴BC＝DE，∠1＝∠E，∴∠A+∠E＝90°，∵∠1≠∠2，∴∠BCD≠∠ACE．故A，B，C選項不符合題意，故選：D．3．（2021秋?邗江區(qū)期中）如圖，已知1號、4號兩個正方形的面積和為10，2號、3號兩個正方形的面積和為8，則a，b，c三個正方形的面積和為（）A．18 B．26 C．28 D．34【思路點撥】由圖可以得到a、b、c三個正方形的面積與1號、2號、3號、4號正方形的面積之間的關(guān)系，再根據(jù)1號、4號兩個正方形的面積和為10，2號、3號兩個正方形的面積和為8，可以求得a，b，c三個正方形的面積的和．【解題過程】解：如下圖所示，∵∠ACB+∠DCE＝90°，∠ACB+∠CAB＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，在△ABC和△CED中，∠ABC=∠CED∠BAC=∠ECD∴△ABC≌△CED（AAS）∴BC＝DE，∵AB2+BC2＝AC2，∴S1+S2＝Sa，同理可證，S2+S3＝Sb，S3+S4＝Sc，∴Sa+Sb+Sc＝S1+S2+S2+S3+S3+S4，∵S1+S4＝10，S2+S3＝8，∴Sa+Sb+Sc＝S1+S2+S2+S3+S3+S4＝（S1+S4）+（S2+S3）+（S2+S3）＝10+8+8＝26，故選：B．4．（2021秋?德州期中）如圖，A、C、E三點在向一直線上，△ABC、△CDE都是等邊三角形，連接AD，BE，OC，則有以下四個結(jié)論：①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．其中正確的是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【思路點撥】通過全等三角形的性質(zhì)和判定求解．【解題過程】解：∵△ABC、△CDE都是等邊三角形．∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE＝120°．∠BCQ＝60°．∴△ACD≌△BCE．故①正確．由①知△ACD≌△BCE．∴∠CAP＝∠CBQ．∵∠ACP＝∠BCQ＝60°，AC＝BC．∴△ACP≌△BCQ．∴CP＝CQ．∵∠BCQ＝60°．∴△BCQ是等邊三角形．故②正確．由①知△ACD≌△BCE．∴∠CAP＝∠CBQ．∵∠BOE是△AOB的外角．∴∠BOE＝∠BAP+∠ABO＝∠BAP+∠ABC+∠CBQ＝∠BAP+∠ABC+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝120°．∵∠PCQ＝60°．∴∠POQ+∠PCQ＝180°．∴點P，O，Q，C四點共圓．∵CP＝CQ．∴∠POC＝∠COQ．∴CO平分∠AOE．故③正確．△BPO與△EDO中無法確定邊相等，故不能確定它們?nèi)?，故④錯誤．故選：B．5．（2021秋?房山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB上的點，且BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝α，則∠A的度數(shù)是（180°﹣2α）度．（用含α的代數(shù)式表示）【思路點撥】根據(jù)已知條件可推出BDF≌△CDE，從而可知∠EDC＝∠FDB，則∠EDF＝∠B．【解題過程】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDF和△CED中，BF=CD∠B=∠C∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠EDC＝∠DFB，∴∠EDF＝∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝90°-12∠∵∠FDE＝α，∴∠A＝180°﹣2α，故答案為：（180°﹣2α）．6．（2021春?香坊區(qū)期末）如圖，A、E、B三點共線，AC＝EB，AE＝BF，∠A＝∠B＝80°，則∠CEF的度數(shù)為80°．【思路點撥】證出△ACE≌△BEF（SAS），得∠CEA＝∠F，再通過外角可得∠CEF＝∠B＝80°，【解題過程】解：在△ACE和△BEF中，AC=BE∠A=∠B∴△ACE≌△BEF（SAS），∴∠CEA＝∠F，∵∠AEF是△BEF的外角，∴∠AEC+∠CEF＝∠B+∠F，∴∠CEF＝∠B＝80°，故答案為：80．7．（2021秋?臺江區(qū)期末）如圖，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，則BD的長為3．【思路點撥】利用AAS證明△ACD≌△BDE，得BE＝AD，從而解決問題．【解題過程】解：∵BE⊥AD，∴∠EBD＝∠CAD＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，∴∠E＝∠ADC，在△ACD和△BDE中，∠CAD=∠EBD∠ADC=∠E∴△ACD≌△BDE（AAS），∴BE＝AD，∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3，故答案為：3．8．（2020?南關(guān)區(qū)校級四模）如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角，邊AC繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AD，邊BC繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到BE，作DM⊥AB于點M，EN⊥AB于點N，若AB＝10，EN＝4，則DM＝6．【思路點撥】過點C作CF⊥AB于點F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD＝AC，BE＝BC，利用“一線三等角“證得∠D＝∠CAF，從而可判定△DAM≌△ACF（AAS），則DM＝AF．同理可證，△BFC≌△ENB（AAS），則BF＝EN＝4，再由AB＝10，可得AF，即DM的值．【解題過程】解：過點C作CF⊥AB于點F，如圖所示：∵邊AC繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AD，邊BC繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到BE，∴AD＝AC，BE＝BC，∵DM⊥AB于點M，EN⊥AB于點N，CF⊥AB于點F，∴∠AMD＝∠AFC＝∠BFC＝∠BNE＝90°，∴∠D+∠DAM＝90°，∵∠CAD＝90°，∴∠CAF+∠DAM＝90°，∴∠D＝∠CAF，∴在△DAM和△ACF中，∠AMD=∠AFC∠D=∠CAF∴△DAM≌△ACF（AAS），∴DM＝AF．同理可證，△BFC≌△ENB（AAS），∴BF＝EN＝4，∵AB＝10，∴AF＝AB﹣BF＝10﹣4＝6，∴DM＝6．故答案為：6．9．（2021秋?東至縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長．【思路點撥】由∠AEC＝∠BAC＝α，推出∠ECA＝∠BAD，再根據(jù)AAS證明△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出結(jié)果．【解題過程】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD與△ACE中，∠BDA=∠AEC∠BAD=∠ACE∴△BAD≌△ACE（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD+AE＝10，∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．10．（2021秋?萊陽市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在BC邊上，點E在AC邊上，連接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求證：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的長．【思路點撥】（1）根據(jù)AAS可證明△ABD≌△DCE；（2）得出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，求出AC＝5，則AE可求出．【解題過程】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD與△DCE中，∠1=∠2∠B=∠C∴△ABD≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△DCE，∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，∵AC＝AB，∴AC＝5，∴AE＝AB﹣EC＝5﹣3＝2．11．（2022?麻栗坡縣校級模擬）如圖，點A、E、C在同一條直線上，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE．求證：AB＝CE．【思路點撥】根據(jù)垂直的定義、直角三角形的性質(zhì)得到∠ECD＝90°＝∠A，∠B＝∠1，即可利用AAS證明△ABC≌△CED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解．【解題過程】證明：如圖，∵BA⊥AC，CD∥AB，∴∠A＝90°，CD⊥AC，∴∠ECD＝90°＝∠A，∵BC⊥DE，BA⊥AC，∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠B＝90°，∴∠B＝∠1，在△ABC和△CED中，∠A=∠ECD∠B=∠1∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝CE．12．（2021秋?海豐縣期末）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．（1）求證：△ACD≌△CBE；（2）試探究線段AD，DE，BE之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)同角的余角相等，可證∠BCE＝∠CAD，再利用AAS證明△ACD≌△CBE；（2）由△ACD≌△CBE，得CD＝BE，AD＝CE，即可得出結(jié)論．【解題過程】（1）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠ACE+∠CAD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，在△ACD和△CBE中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠BEC∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）解：AD＝BE+DE，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴CD＝BE，AD＝CE，∵CE＝CD+DE，∴AD＝BE+DE．13．（2021秋?沙河口區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，AC上，且ED＝EF，∠DEF＝∠B．（1）如圖1，求證：BC＝BD+CF；（2）如圖2，連接CD，若DE∥AC，求證：CD平分∠ACB．【思路點撥】（1）證明△BDE≌△CEF，可得結(jié)論；（2）證明DE＝EC，再利用平行線的性質(zhì)解決問題即可．【解題過程】證明：（1）如圖1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠EDB+∠B，∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠FEC，∵ED＝EF，∴△BDE≌△CEF（AAS），∴BD＝EC，BE＝CF，∴BC＝BE+EC＝BD+CF；（2）如圖2中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB，∠EDC＝∠ACD，∴∠B＝∠DEB，∴DB＝DE，由（1）可知，BD＝EC，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠BCD＝∠ACD，∴CD平分∠ACB．14．（2021秋?佳木斯期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，請直接寫出DE，AD，BE之間的等量關(guān)系．【思路點撥】（1）①根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB＝90°，得出∠CAD＝∠BCE，再根據(jù)AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得出CE＝AD，CD＝BE，進而得到DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）先根據(jù)AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，進而得出∠CAD＝∠BCE，再根據(jù)AAS即可判定△ADC≌△CEB，進而得到CE＝AD，CD＝BE，最后得出DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）運用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之間的等量關(guān)系是：DE＝BE﹣AD．【解題過程】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時，AD，DE，BE所滿足的等量關(guān)系是：DE＝BE﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵在△ADC和△CEB中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠CEB∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．15．（2021秋?青山區(qū)期末）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD為等腰三角形，AD＝AB＝BC，E為DB延長線上一點，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度數(shù)；（2）求證：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．則△ABC的面積為12ac+12b2．（用含【思路點撥】（1）由等腰三角形的性質(zhì)求出∠D＝∠DBA＝70°，由三角形內(nèi)角和定理可得出答案；（2）過點A作AF⊥DE于點F，過點C作CG⊥DE于點G，證明△BAF≌△CBG（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AF＝BG，BF＝CG，得出AF＝EF＝BG，BF＝CG，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）根據(jù)S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC可得出結(jié)論．【解題過程】（1）解：∵∠CAE＝20°，∠BAD＝2∠CAE，∴∠BAD＝40°，∵AD＝AB，∴∠D＝∠DBA＝70°，又∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝180°﹣70°﹣90°＝20°；（2）證明：過點A作AF⊥DE于點F，過點C作CG⊥DE于點G，∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°，又∵AD＝BC＝AB，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠FAB=12∠DAB＝∠∵∠FAB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°，∴∠FAB＝∠CBG＝∠CAE，在△BAF和△CBG中，∠BAF=∠CBG∠AFB=∠CGB∴△BAF≌△CBG（AAS），∴AF＝BG，BF＝CG，∵∠CBG＝∠CAE，∴∠AEF＝∠ACB＝45°，∴AF＝EF＝BG，BF＝CG，∴BF＝EG＝CG，∴∠CEG＝∠AEF＝45°，∴∠AEC＝90°，∴∠BEC＝135°；（3）解：由（2）可知CG＝BF，AF＝EF，∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE，∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC，∴S△ABC=12BE?AF+=12BE?AF+12ac-1=1故答案為：1216．（2022?信陽一模）在直線m上依次取互不重合的三個點D，A，E，在直線m上方有AB＝AC，且滿足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當(dāng)α＝90°時，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝BD+CE；（2）如圖2，當(dāng)0＜α＜180時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當(dāng)α＝120°時，點F為∠BAC平分線上的一點，且AB＝AF，分別連接FB，F(xiàn)D，F(xiàn)E，F(xiàn)C，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．【思路點撥】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝A