2023年遼寧省朝陽一中中考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

2023年遼寧省朝陽一中中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）.

1.百的倒數(shù)是（）

A.-MB.A/3C.D.

2.下列圖案中，不是中心對稱圖形的是（）

④?

3.計(jì)算：2.V（-3乃3）=（）

A.6x3y3B.-6爐爐C.-6x3y3D.

4.四邊形ABC。的對角線互相平分，要使它成為矩形；那么需要添加的條件是（）

A.AB=BCB.AC垂直8。C./A=/CD.AC=BD

5.將分-46分解因式，所得結(jié)果正確的是（）

A.b（加-4）B.6"-4）2

C.b（b-2）2D.b（b+2）（b-2）

6.如果一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和等于720。，那么該正多邊形的一個(gè)外角等于（）

A.45°B.60°C.72°D.90°

7.均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5,6,拋擲正方體骰子一次，

朝上的面上的點(diǎn)數(shù)不大于2的概率為（）

1119

A.—B.—C.—D.—

6323

8.已知二元一次方程組的解為［'“匕則在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線小y

（x+2y=-2Iy=l

=x+5與直線h：y=4%-1的交點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（4,1）B.（1,-4）C.（-1,-4）D.（-4,1）

9.如圖，將矩形ABC。沿GH對折，點(diǎn)。落在。處，點(diǎn)。落在AB邊上的E處，EQ與BC

相交于點(diǎn)/，若AO=8,AE=4,A8=6,則AEB尸周長的大小為（)

A.8B.10C.12D.6

10.二次函數(shù)、=如2+汝+。的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)y今與一次函數(shù)y=-在

同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.甲、乙兩同學(xué)最近的5次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中數(shù)學(xué)成績的方差分別是S甲2=2.17,S/=3.45,

則數(shù)學(xué)成績比較穩(wěn)定的同學(xué)是.

12.若式子《工在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是.

13.已知點(diǎn)尸（4+1,-5+1）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)在第四象限，則a的取值范圍是

14.對于任意的x值都有:焉T?則M，N值為，?

15.己知△4BC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為4(5,0)、8(6,4)、C(3,0),將△A8C以坐標(biāo)

原點(diǎn)O為位似中心，以位似比2：1進(jìn)行縮小，則縮小后的點(diǎn)B所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)

為.

16.如圖，/M4N=90°,點(diǎn)C在邊AM上，AC=4,點(diǎn)B為邊AN上一動點(diǎn),連接BC,

△Az8c與△ABC關(guān)于8c所在直線對稱，點(diǎn)D,E分別為AC,8c的中點(diǎn)，連接。E

并延長交A1B所在直線于點(diǎn)F,連接A'E.當(dāng)EF為直角三角形時(shí)，AB的長

為.

三、解答題(本大題共9小題，滿分72分解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、文字說明或證明過

程)

17.計(jì)算(冗-2022)°+2cos30°-|2-?l-Cl")”.

18.世界讀書日是在每年的4月23日，”世界圖書日”設(shè)立目的是推動更多的人去閱讀和

寫作，希望所有人都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻(xiàn)的文學(xué)、文化、科學(xué)、思

想大師們，保護(hù)知識產(chǎn)權(quán).某批發(fā)商在世界讀書日前夕，訂購了一批具有紀(jì)念意義的書

簽進(jìn)行銷售，平均每天可售出500張，每張可獲利0.5元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每張書簽的售

價(jià)每降價(jià)0.1元，平均每天可多售出200張.批發(fā)商要想平均每天獲利270元，求每張書

簽應(yīng)降價(jià)多少元.

19.睡眠是人的機(jī)體復(fù)原整合和鞏固記憶的重要環(huán)節(jié)，對促進(jìn)中小學(xué)生大腦發(fā)育、骨骼生長、

視力保護(hù)、身心健康和提高學(xué)習(xí)能力與效率至關(guān)重要.某校為了解本校學(xué)生的睡眠情況,

隨機(jī)調(diào)查了40名學(xué)生一周（7天）平均每天的睡眠時(shí)間x（單位：小時(shí)），并根據(jù)調(diào)查

結(jié)果繪制成不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

（1）分別求出表中相，”的值;

（2）抽取的40名學(xué)生睡眠時(shí)間的中位數(shù)落在的組別是組；

（3）若該校共有1200名學(xué)生，請估計(jì)該校學(xué)生睡眠時(shí)間達(dá)到9小時(shí)及以上的學(xué)生人數(shù).

20.在5張相同的小紙條上，分別寫有語句：①函數(shù)表達(dá)式為丫=戈；②函數(shù)表達(dá)式為），=/；

③函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；④函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；⑤函數(shù)值y隨自變量x增大

而增大.將這5張小紙條做成5支簽，①、②放在不透明的盒子A中攪勻，③、④、⑤

放在不透明的盒子8中攪勻.

（I）從盒子4中任意抽出1支簽，抽到①的概率是；

（2）先從盒子A中任意抽出1支簽，再從盒子B中任意抽出1支簽.求抽到的2張小紙

條上的語句對函數(shù)的描述相符合的概率.

21.高樓AB和斜坡CD的縱截面如圖所示，斜坡CD的底部點(diǎn)C與高樓AB的水平距離CB

為150米，斜坡CD的坡度（或坡比）/=1：2.4,坡頂。到BC的垂直距離DE=50米，

在點(diǎn)。處測得高樓樓頂點(diǎn)A的仰角為50°,求高樓的高度AB（結(jié)果精確到0.1米）.（參

考數(shù)據(jù)：sin50040.766,cos500—.643,tan500=1.192）

A

CEB

22.如圖，AB是的直徑，。0弦4C=BC,E是OB的中點(diǎn)，連接CE并延長到點(diǎn)E,使所

=CE,連接A尸交。。于點(diǎn)。，連接BO,BF.

(1)求證：直線BF是。。的切線：

(2)若AF長為5&，求80的長.

C

23.某商店十月份銷售一種成本價(jià)50元/件的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的每天的銷售

量y(件)是售價(jià)x(元件)的一次函數(shù)，其售價(jià)、銷售量的二組對應(yīng)值如表：

售價(jià)X(元件)5565

銷售量V(件/天)9070

(1)求銷售量y與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)十月份銷售該商品時(shí)，售價(jià)定為多少元，每天才能獲取最大利潤？最大銷售利潤是

多少？

(3)十一月份由于原材科上漲等因素，該商品成本價(jià)提高了a元/件(0<a<15),商

品的每天銷售量與銷售價(jià)的關(guān)系不變，若商品的銷售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門規(guī)定

售價(jià)不得超過80元/件，商店十一月份銷售該商品的過程中，獲得的銷售最大利潤能否

為882元？說明理由.

24.綜合與實(shí)踐

問題情境：

在RtZVlBC中，NACB=90°,點(diǎn)O為斜邊AB上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合).

操作發(fā)現(xiàn)：

(1)如圖①，當(dāng)AC=BC時(shí)，把線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連接

DE,BE.

①NCBE的度數(shù)為；

②探究發(fā)現(xiàn)AD和BE有什么數(shù)量關(guān)系，請寫出你的探究過程；

探究證明：

(2)如圖2,當(dāng)BC=2AC時(shí)，把線段CO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后并延長為原來的兩

倍，記為線段CE.

①在點(diǎn)。的運(yùn)動過程中，請判斷AO與8E有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；

②若AC=2,在點(diǎn)。的運(yùn)動過程中，當(dāng)△C3E的形狀為等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)△

CBE的面積.

25.綜合與探究

如圖，拋物線y=-Jf+fer+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交

于點(diǎn)C,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(-2,0),(0,4),連接AC,BC.點(diǎn)P是y軸右側(cè)

的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)連接PA,交直線BC于點(diǎn)。，當(dāng)線段A。的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)。是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形

為矩形，若存在，請直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.百的倒數(shù)是（）

A.-A/3B.73c._*?D.**

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義求解即可.

解：聲的倒數(shù)是浮，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，分子分母交換位置是求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的關(guān)鍵.

2.下列圖案中，不是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷.把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后

的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形.

解：選項(xiàng)A、B、。都能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形

重合，所以是中心對稱圖形，

選項(xiàng)C不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后與原來的圖形重合，所以

不是中心對稱圖形，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后

與自身重合.

3.計(jì)算：2x*（-3/>3）=（）

A.6小尸B.-dx2）,C.-6x3y3D.

【分析】單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，首先系數(shù)乘以系數(shù)，然后相同字母相乘，最后只在一個(gè)單

項(xiàng)式含有的字母照寫.

解:原式=2X(-3)xl+2y3=-6x3y3.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解決本題的關(guān)鍵是掌握單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則.

4.四邊形A8CO的對角線互相平分，要使它成為矩形；那么需要添加的條件是()

A.AB=BCB.AC垂直8。C./A=NCD.AC=B。

【分析】先證四邊形A8CZ)是平行四邊形，再由矩形的判定和菱形的判定分別對各個(gè)選

項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

解：???四邊形的對角線互相平分，

四邊形ABCD是平行四邊形，

A、'：AB=BC,

，平行四邊形A8CO是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、\'AC±BD,

平行四邊形ABC。是菱形，故選項(xiàng)8不符合題意；

C、：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.ZA=ZC,

，不能判定平行四邊形A8CD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；

二平行四邊形ABC。是矩形，故選項(xiàng)。符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識，熟

練掌握矩形的判定是解題的關(guān)鍵.

5.將吩-4b分解因式，所得結(jié)果正確的是()

A.b(加-4)B.b(b-4)2

C.b(b-2)2D.b(6+2)(6-2)

【分析】直接提取公因式b,進(jìn)而利用平方差公式分解因式得出答案.

解：b3a(Z>2-4)=b"+2)(Z>-2).

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了提取公因式法以及平方差公式分解因式，正確應(yīng)用平方差公式

是解題關(guān)鍵.

6.如果一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和等于720。，那么該正多邊形的一個(gè)外角等于()

A.45°B.60°C.72°D.90°

【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和定義(?-2)X1800列方程求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)

正多邊形內(nèi)角和為360。、且每個(gè)外角相等求解可得.

解：多邊形內(nèi)角和(?-2)X1800=720°,

??〃—6.

則正多邊形的一個(gè)外角=36°°=60。,

n6

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的知識.注意掌握多邊形內(nèi)角和定理：

-2)-180°,外角和等于360°.

7.均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5,6,拋擲正方體骰子一次，

朝上的面上的點(diǎn)數(shù)不大于2的概率為()

1119

A.—■B.—C.—D.—

6323

【分析】先求出一個(gè)均勻的正方體的骰子六個(gè)面上的6的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即

可.

解：因?yàn)橐粋€(gè)均勻的正方體的骰子六個(gè)面上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,只有1,2

兩面不大于2,

所以拋擲一次向上的面的點(diǎn)數(shù)不大于2的概率是苫=2.

63

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查的是概率公式，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

8.已知二元一次方程組('-丫-'的解為則在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線東

(x+2y=-2{y=l

=x+5與直線/2：y=-1-.r-1的交點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(4,1)B.(1,-4)C.(-1,-4)D.(-4,1)

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解解答即可.

解：?.?二元一次方程組卜-y=-5的解為卜=-4,

[x+2y=-2Iy=l

直線/i：y=x+5與直線fc：y=1x-1的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,1).

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的

一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).

9.如圖，將矩形A8CZ）沿GH對折，點(diǎn)C落在Q處，點(diǎn)。落在A8邊上的E處，EQ與BC

相交于點(diǎn)F，若AZ）=8,AE=4,AB=6,則△E8F周長的大小為（）

【分析】設(shè)AH=a,則。-A4=8-a,通過勾股定理即可求出a值，再根據(jù)同角

的余角互補(bǔ)可得出從而得出根據(jù)相似三角形的周長比

等于對應(yīng)比即可求出結(jié)論.

解：設(shè)則。"=A。-AH=8-a,

在中，Z￡AW=90",AE=4,AH^a,EH=DH=8-a,

：.EH2=AE2+AH2,即（8-a）2=42+a2,

解得：a=3.

:NBFE+NBEF=90°,NBEF+NAEH=9Q°,

ZBFE=NAEH.

又,：NEAH=NFBE=9Q°,

：.^\EBF^/\HAE,

.C/IEBF_BE=AB-AE二2

??,△的加二AH工

?/C^HAE=AE+EH^-AH=AE+AD=12,

?_2

C^EBF=—C^HAE=8.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定及性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵是找出△EBFS/VME.本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，

通過勾股定理求出三角形的邊長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出周長間的比例是關(guān)鍵.

10.二次函數(shù)yuar2+隊(duì)+c的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)了三與一次函數(shù)y=在

X

同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，由拋物線對稱軸的位置確定。>0,b>0,由

拋物線與y軸的交點(diǎn)位置確定c<0,然后利用排除法即可得出正確答案.

解：?.?二次函數(shù)的圖象開口向上,

：.a>0,

'：二次函數(shù)的圖象的對稱軸在y軸的左側(cè)，且交y軸的負(fù)半軸,

：.b>0,c<0,

ac<0,

反比例函數(shù)y=3&的圖象必在二、四象限，一次函數(shù)y=-or+g的圖象必經(jīng)過一二

x2a

四象限，故A正確.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，反比例函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)，

熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.甲、乙兩同學(xué)最近的5次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中數(shù)學(xué)成績的方差分別是Si=217,SJ=3.45,

則數(shù)學(xué)成績比較穩(wěn)定的同學(xué)是甲.

【分析】根據(jù)方差的定義，方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

解：因?yàn)?甲2=2.17<$22=3.45,方差小的為甲，

所以數(shù)學(xué)成績比較穩(wěn)定的同學(xué)是甲.

故答案為：甲.

【點(diǎn)評】本題考查了方差的意義.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，

表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這

組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.

12.若式子正立在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是x22.

【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可得答案.

解：由題意，得

x-220,

解得

故答案為：工22.

【點(diǎn)評】此題考查了二次根式的意義和性質(zhì).概念：式子通（。20）叫二次根式.性質(zhì)：

二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義.

13.已知點(diǎn)尸工+1,-q+1）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)在第四象限，則。的取值范圍是-1.

【分析】直接利用關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)以及一元一次不等式組的解法分析得出答案.

解：?.?點(diǎn)尸（a+1,-■!■+口關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)在第四象限，

點(diǎn)尸（a+1,-y+1）在第二象限，

ra+l<（XD

>4+i>o②，

解①得：?<-L

解②得：a<2,

...不等式組的解集為：a<-1.

故答案為：。<-1.

【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確解不等式組是解題關(guān)鍵.

2x+7MN

14.對于任意的x值都有=7],則M,N值為-13

x?+x-2x+2

［分析］先計(jì)算擊Tr得到喏茄翳￥，利用2x+7MN

---------=-----+一~~,得到

X2+X-2X+2X+1

IM+N=2

,解方程組即可得到答案.

h+2N=7

的..HN

解：?~rt一r

x+2x-1

_M(x-l)+N(x+2)

(x+2)(x-1)

一(M+N)x+(2N-M)

(x+2)(x-1)

..2X+7-MN

4

?x'o+x-2=-x-+2---x--1T，

,fM+N=2

"l2N-M=7，

M=-l

解得:

N=3

N

x+2x+1

M(x+1)N(x+2)

(x+1)(x+2)(x+1)(x+2)

_M(x+l)+N(x+2)

(x+1)(x+2)

_(M+N)x+(M+2N)

(x+1)(x+2)'

--2-x-+-7--=--M--+—N-

X2+X-2X+2x+1)

.]'M+N=2

*'1M+2N=7,

[M=-3

解得:

IN=5

故答案為：-1,3.

【點(diǎn)評】此題考查了分式的加法運(yùn)算，二元一次方程組的解法，熟練掌握分式運(yùn)算法則

是解題的關(guān)鍵.

15.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(5,0)、B(6,4)、C(3,0),將△ABC以坐標(biāo)

原點(diǎn)O為位似中心，以位似比2：1進(jìn)行縮小，則縮小后的點(diǎn)B所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,

2)或(-3,-2).

【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為公那

么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于％或-k解答.

解：?.?點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,4）,以原點(diǎn)為位似中心將△ABC縮小，位似比為2：1,

.?.點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,2）或（-3,-2）,

故答案為：（3,2）或（-3,-2）.

【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是

以原點(diǎn)為位似中心，相似比為女,那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于％或-%.

16.如圖，NAMN=90°,點(diǎn)C在邊AM上，AC=4,點(diǎn)B為邊AN上一動點(diǎn)，連接BC,

△A'8c與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，點(diǎn)。，E分別為AC,8C的中點(diǎn)，連接。E

并延長交A'8所在直線于點(diǎn)F,連接A，E.當(dāng)AA'EF為直角三角形時(shí)，AB的長為

4行或4.

【分析】當(dāng)AA'EF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：

①當(dāng)N/TEF=90°時(shí)，如圖1,根據(jù)對稱的性質(zhì)和平行線可得：A'C=A'E=4,根據(jù)直角

三角形斜邊中線的性質(zhì)得：8c=2AE=8,最后利用勾股定理可得48的長；

②當(dāng)/AAE=90°時(shí)，如圖2,證明AABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4.

解：當(dāng)△4'EF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：

①當(dāng)NAEF=90°時(shí)，如圖1,

?.?△A'8c與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱，

.?.A'C=AC=4,ZACB=ZA'CB,

?.?點(diǎn)￡>,E分別為AC,8c的中點(diǎn)，

：.D.E是aABC的中位線，

J.DE//AB,

ZCDE=ZMAN=90°,

：.ZCDE^ZA'EF,

：.AC//A'E,

：.ZACB=ZA'EC,

???NACB=N4EC,

??.A'C=4E=4,

RtZWCB中，???E是斜邊BC的中點(diǎn)，

ABC=2A'E=8,

由勾股定理得：AB2=BC2-AC\

.??A8=782-42=4愿；

②當(dāng)NA'FE=90。時(shí)，如圖2,

VZADF=ZA=ZDFB=90Q,

AZABF=90°,

?「△A'8C與△ABC關(guān)于BC所在直線對稱,

AZABC=ZCBA1=45°,

???△ABC是等腰直角三角形，

.\AB=AC=4；

綜上所述，AB的長為4百或4；

故答案為：4百或4；

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形

的判定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并利用分類討論的思想解決問題.

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分解答應(yīng)寫出必要的演算步驟、文字說明或證明過

程）

17.計(jì)算（兀-2022）°+2cos30°-|2-正|-g）

【分析】首先計(jì)算零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后從左

向右依次計(jì)算即可.

解：（冗-2022）°+2cos30,-|2-向|-（y）-2

=1+2X）-4

=1+73-2+73-4

=2M-5.

【點(diǎn)評】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)幕，負(fù)整數(shù)指數(shù)暴，特殊角三角函數(shù)值，

絕對值的化簡，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

18.世界讀書日是在每年的4月23日，“世界圖書日”設(shè)立目的是推動更多的人去閱讀和

寫作，希望所有人都能尊重和感謝為人類文明做出過巨大貢獻(xiàn)的文學(xué)、文化、科學(xué)、思

想大師們，保護(hù)知識產(chǎn)權(quán).某批發(fā)商在世界讀書日前夕，訂購了一批具有紀(jì)念意義的書

簽進(jìn)行銷售，平均每天可售出500張，每張可獲利0.5元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每張書簽的售

價(jià)每降價(jià)01元，平均每天可多售出200張.批發(fā)商要想平均每天獲利270元，求每張書

簽應(yīng)降價(jià)多少元.

【分析】設(shè)每張書簽應(yīng)降價(jià)x元，則每張可獲利（0.5-x）元，平均每天可售出（2000x+500）

張，利用批發(fā)商銷售書簽平均每天獲得的利潤=每張的銷售利潤X平均每天的銷售量，

即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論.

解：設(shè)每張書簽應(yīng)降價(jià)x元，則每張可獲利（0.5-%）元，平均每天可售出50（）+臺乂

200=(2000x+500)張，

依題意得：(0.5-x)(2000x+500)=270,

整理得：1期2-25X+1=0,

解得：Xi=0.2,X2=0.05.

答：每張書簽應(yīng)降價(jià)0.2元或0.05元.

【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

19.睡眠是人的機(jī)體復(fù)原整合和鞏固記憶的重要環(huán)節(jié)，對促進(jìn)中小學(xué)生大腦發(fā)育、骨骼生長、

視力保護(hù)、身心健康和提高學(xué)習(xí)能力與效率至關(guān)重要.某校為了解本校學(xué)生的睡眠情況,

隨機(jī)調(diào)查了40名學(xué)生一周(7天)平均每天的睡眠時(shí)間x(單位：小時(shí))，并根據(jù)調(diào)查

結(jié)果繪制成不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖.

(1)分別求出表中加，〃的值;

(2)抽取的40名學(xué)生睡眠時(shí)間的中位數(shù)落在的組別是C組:

(3)若該校共有1200名學(xué)生，請估計(jì)該校學(xué)生睡眠時(shí)間達(dá)到9小時(shí)及以上的學(xué)生人數(shù).

【分析】(1)用40乘3組所占比例可得求出，〃的值，再用40減去其它各組人數(shù)即可

得出〃的值；

(2)根據(jù)中位數(shù)的定義即可求解；

(3)用樣本估計(jì)總體即可.

解：(1)由題意可得，，徵=40X30%=12,

故”=40-4-12-20=4；

(2)由題意可知，抽取的40名學(xué)生睡眠時(shí)間的中位數(shù)落在的組別是C組，

故答案為：C；

(3)1200X^^=720(名),

40

答：估計(jì)該校有720名學(xué)生睡眠時(shí)間達(dá)到9小時(shí).

【點(diǎn)評】本題考查頻數(shù)分布表、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，求出樣本容量，利用數(shù)

形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵.

20.在5張相同的小紙條上，分別寫有語句：①函數(shù)表達(dá)式為>=》；②函數(shù)表達(dá)式為)=爐；

③函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；④函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；⑤函數(shù)值y隨自變量x增大

而增大.將這5張小紙條做成5支簽，①、②放在不透明的盒子A中攪勻，③、④、⑤

放在不透明的盒子B中攪勻.

(1)從盒子A中任意抽出1支簽，抽到①的概率是-1:

(2)先從盒子A中任意抽出1支簽，再從盒子8中任意抽出1支簽.求抽到的2張小紙

條上的語句對函數(shù)的描述相符合的概率.

【分析】(1)直接根據(jù)概率公式求解即可；

(2)列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

解：(1)從盒子A中任意抽出1支簽，抽到①的概率是

故答案為：

(2)列表如下:

①②

③①③②③

④①④②④

⑤①⑤②⑤

由表知，共有6種等可能結(jié)果，其中抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的描述相符合的

①③、①⑤、②④這3個(gè)，

所以2張小紙條上的語句對函數(shù)的描述相符合的概率為?=《.

【點(diǎn)評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所

有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件：解

題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn).用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總

情況數(shù)之比.

21.高樓AB和斜坡CD的縱截面如圖所示，斜坡CD的底部點(diǎn)C與高樓AB的水平距離CB

為150米，斜坡CQ的坡度(或坡比)/=1：2.4,坡頂。到BC的垂直距離￡>E=50米，

在點(diǎn)D處測得高樓樓頂點(diǎn)A的仰角為50°,求高樓的高度A8（結(jié)果精確到0.1米）.（參

考數(shù)據(jù)：sin50°—.766,cos50°=0.643,tan50°g1.192）

A

CEB

【分析】過點(diǎn)。作OF,AB,垂足為F,根據(jù)題意可得。E=8尸=50米，DF=BE,先利

用斜坡C。的坡度，求出CE的長，從而求出BE,。尸的長，然后在RtZ\A。尸中，利用

.DE=1

"CE2"4，

ACE=2.4DE=2.4X50=120（米），

?.,BC=150米，

：.DF=BE=BC-CE=150-120=30（米），

在RtZ\AOF中，ZADF=50°,

：.AF=DF-tan50°^30X1.192=35.76（米），

.*.AB=BF+A/=50+35.76Q85.8（米），

高樓的高度AB為85.8米.

【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的

已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，A8是的直徑，。0弦AC=BC,E是OB的中點(diǎn)，連接CE并延長到點(diǎn)E,使EF

=CE,連接A尸交。。于點(diǎn)。，連接80,BF.

(1)求證：直線B尸是OO的切線;

(2)若A尸長為5匹，求8。的長.

【分析】(1)連接OC.根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得/FBE=/COE,再由圓周

角定理及切線的判定方法可得結(jié)論；

(2)由圓周角定理及三角函數(shù)可得tan/OBF=2，設(shè)F￡>=x,則BO=2x,AD=4x,從

2

而可得答案.

【解答】(1)證明：如圖，連接OC

：.BE=OE,

在△BE尸和△OEC中，

'BE=OE

-NBEF=N0EC，

EF=EC

:.△BEg/\OEC(SAS),

NFBE=乙COE,

又；AC=BC,O為直徑48的中點(diǎn),

：.ZCOE=90°,

：.ZFBE=90°,

而08是圓的半徑，

??.8F是OO的切線；

(2)解：如圖，由(1)知：BF=OC,NFBD+NABD=90°,

IanZBAF=—,

2

:AB是直徑，

:.NBDA=NBDF=90°,

：.ZBAF+^ABD=90°,

NDBF=ZBAF,

：.tanZDBF=—,

2

設(shè)FD=x,則BD=2x,AD=4x,

.'.AF=5x—5yf2>

：,x=近，

:.BD=2近.

【點(diǎn)評】此題考查的是切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理

是解決此題的關(guān)鍵.

23.某商店十月份銷售一種成本價(jià)50元/件的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的每天的銷售

量y(件)是售價(jià)x(元件)的一次函數(shù)，其售價(jià)、銷售量的二組對應(yīng)值如表：

售價(jià)X(元件)5565

銷售量y(件/天)9070

(1)求銷售量y與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)十月份銷售該商品時(shí)，售價(jià)定為多少元，每天才能獲取最大利潤？最大銷售利潤是

多少？

(3)十一月份由于原材科上漲等因素，該商品成本價(jià)提高了a元/件(0<?^15),商

品的每天銷售量與銷售價(jià)的關(guān)系不變，若商品的銷售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門規(guī)定

售價(jià)不得超過80元/件，商店十一月份銷售該商品的過程中，獲得的銷售最大利潤能否

為882元？說明理由.

【分析】(1)根據(jù)一次函數(shù)過(55,99)(65,70)可求出函數(shù)關(guān)系式，然后驗(yàn)證其它

數(shù)據(jù)是否符合關(guān)系式，進(jìn)而確定函數(shù)關(guān)系式；

(2)先求出總利潤卬與x的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性和自變量的取值范圍確

定何時(shí)獲得最大利潤；

(3)根據(jù)題意得，w=(x-50-a)(-2x+200)=-2x2+(300+2。)x-10000-200a,

把x=80,”=882代入函數(shù)解析式，解方程即可得到結(jié)論.

解：(1)設(shè)關(guān)系式為y=Ax+b,

(55k+b=90

把(55,99)(65,70)代入得:

I65k+b=70

fk=-2

解得

lb=200

.'.y--2x+200,

即銷售量y與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-Zr+200；

(2)設(shè)總利潤為卬元,

根據(jù)題意得，w=(x-50)(-Zr+200)=-2?+300%-10000=-2(x-75)2+1250,

"."a--2<0,

.?.當(dāng)x=75時(shí)，w有最大值，最大值為1250,

答：當(dāng)售價(jià)定為75元時(shí)，每天獲取最大利潤，最大利潤為1250元;

(3)設(shè)總利潤為w元,

根據(jù)題意得，w=(x-50-a)(-2x+200)=-2F+(300+2。)x-10000-200A,

二對稱軸為直線=300：2a150+a

2X(-2)4~1~

2<0,

拋物線的開口向下，

當(dāng)黨包>80,即10<aW15時(shí)，在對稱軸左側(cè)w隨x的增大而增大，

：xW80,

.?.當(dāng)x=80時(shí)，卬最大=882,

即-2X802+(300+2“)X80-10000-200a=882,

解得：?=7.95<10(舍去)；

當(dāng)吟包〈80，即0<忘10時(shí)，

...當(dāng)X二誓生時(shí)，卬最大=882,

Vw=-2x2+(300+2a)x-10000-200a=-2(x-^y3-)2-*ya2-50a+1250-

12

??ya-50a+1250=882.

解得“1=8,放=92(舍去)，

綜上，當(dāng)4=8時(shí)，可獲得最大利潤為882元.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，掌握總利潤等于總收入減去總成本,

然后再利用二次函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵.

24.綜合與實(shí)踐

問題情境：

在Rt^ABC中，NAC8=90°,點(diǎn)。為斜邊A8上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合).

操作發(fā)現(xiàn)：

(1)如圖①，當(dāng)AC=BC時(shí)，把線段C。繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CE,連接

DE,BE.

①/C8E的度數(shù)為45°；

②探究發(fā)現(xiàn)和8E有什么數(shù)量關(guān)系，請寫出你的探究過程；

探究證明：

(2)如圖2,當(dāng)BC=2AC時(shí)，把線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后并延長為原來的兩

倍，記為線段CE.

①在點(diǎn)。的運(yùn)動過程中，請判斷AD與BE有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；

②若AC=2,在點(diǎn)。的運(yùn)動過程中，當(dāng)△CBE的形狀為等腰三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)△

CBE的面積.

@AD=BE,由△ACD之ZiBCE,即可得AO=BE；

(2)①證明△ACOS/XBCE,及得角?鐺噓故AD^BE；

BCCEBE22

②過C作CF_LAB于F,CG_LBE于G,AC=2,BC=2AC,得BC=4,AB=2娓,即

cosZABC=-^-=-7=^

得s…。=￡=：=逅=組RL此，可得CF

AB2V55BCAB2巡5BC

BF=^^~,從而CG=BF=為區(qū),BG=CF=-^^,(I)當(dāng)CB=CE時(shí),

5555

/XCBE的面積為工-X-^區(qū)義為區(qū)=絲；(H)當(dāng)BC=BE時(shí),/XCBE的面積為￡X

2555

BE,CG=Ax4X登叵=16代(HI)當(dāng)CE=8E時(shí)，設(shè)BE=CE=f,可得戶=(-^^-)

2555

2+(f-庫亞■)2,解得BE=2遙，的面積為4<G?BE=4><a^X2y=8.

5225

解：(1)①,??線段C。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,

，/DCE=90°,DC=CE,

VZACB=90°,

???NACD=NBCE,

*：AC=BC,

：./\ACD^/\BCE(SAS),

AZCBE=ZCAD=45°,

故答案為:45°；

②AD=BE,理由如下：

由①知△AC。絲△8CE,

：.AD=BE；

(2)①AD=^BE，理由如下：

'：BC=2AC,CE=2CD,

.AC_CD_1

??而FW，

VZACB=ZDCE=90a,

ZACD+ZDCB=NDCB+NBCE,

/ACD=NBCE,

：.XACDs△BCE,

.AC二CD二AD二1

'*BC"CE"BE

???AD=yBE；

②過C作CELA8于尸，CG_L8E于G,如圖：

,.,AC=2,BC=2ACf

-'-BC=4,AB=7he。+BC?=2病,

AC_2_V5_CP4_2遙BF

/.sinZABC====cosZABC=—

AB2V55BCAB27T——5BC

.CF_V5BF_275

'，"4T*，"45"

???四邊形CGBF是矩形，

：.CG=BF=^^-,BG=CF=&叵,

55

(I)當(dāng)CB=CE時(shí)，如圖：

：.BE=2BG=^-&-,

5__

.?.△C8E的面積為上X苴叵X苴匡=絲

2555

(II)當(dāng)8c=BE時(shí)，如圖:

此;時(shí)BE=BC=4,

ACBE的面積為X3E?CG=4X4X衛(wèi)返=理逅

2255

(III)當(dāng)CE=3七時(shí)，如圖:

E

________G

/1\s\.

/I\

/I\

/I\

JFD5

設(shè)BE=CE=t,則EG=t-

5

在RtZXCEG中，

1=(對32+9延_)2,

55

解得，=2,

**?BE=2>J"^,

二△CBE的面積為工CG?BE=工XX2小=8,

225

綜上所述，ACBE的面積為孕或里豆或8.

55

【點(diǎn)評】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及等腰直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用，全等三角形判

定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用.

25.綜合與探究

如圖，拋物線尸-小2+法+<:與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)4在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交

于點(diǎn)C,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(-2,0),(0,4),連接AC,BC.點(diǎn)P是y軸右側(cè)

的拋物線上的一個(gè)動點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(2)連接PA,交直線BC于點(diǎn)D,當(dāng)線段AD的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)。是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形

為矩