2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試·新高考仿真模擬卷數(shù)學(xué)(五)答案

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?仿真模擬卷

數(shù)學(xué)（五）

注意事項(xiàng)：

1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填

寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)

號(hào)涂黑.寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試題

卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知集合”={1,，3,4},8={1,3,5,7},則AcS的子集共有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.8個(gè)

【答案】C

【解析】

【分析】先通過(guò)集合的交集運(yùn)算得出AcB，即可根據(jù)集合內(nèi)元素的個(gè)數(shù)得出子集個(gè)數(shù).

【詳解】集合A={1,2,3,4},8={1,3,5,7},

.-.A8={1,3},

則AcB的子集共有2z=4個(gè)，

故選：C.

2.已知復(fù)數(shù)2=—?jiǎng)t|z|=（）

2-i

A.IB.-C.D.述

555

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，以及模的定義求解.

2i2i_2i_2i（2+i）_-2+4i_24.

【詳解】因?yàn)閦=

2-i52-i-i42-i（2-i）（2+i）555

故選:D.

uuu1LUU/LUULUU\

3.在.ABC中，記A3=〃z，AC=〃，則C3?(A3+4C)=()

A-_1r2r2廣r21r2

A.m-nB.加+〃C?〃一機(jī)D.

12r

m-n2

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量線性運(yùn)算和向量數(shù)量積的運(yùn)算律可直接求得結(jié)果.

【詳解】CB-yAB+AC\=^AB-ACy[AB+AC)=AB-AC=m-n.

故選：D.

4.己知函數(shù)/(x)=ln(x-2)+ln(4-x),則/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(2,3)B.(3,4)C.(T?,3)D.

(3,+00)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零可構(gòu)造不等式組求得函數(shù)定義域；利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)單調(diào)遞

增區(qū)間.

X—2>0

【詳解】由，得:2Vx<4,即/(x)的定義域?yàn)?2,4)；

4-x>0

f'[x\=_J___]=_2(3-x)_

」IJ~x-24-x(x-2)(4-x),

.,.當(dāng)xe(2,3)時(shí)，制x)>0；當(dāng)xe(3,4)時(shí)，/(%)<0；

\/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,3).

故選：A

5.如圖，已知正四棱錐尸-ABC。的底面邊長(zhǎng)和高分別為2和1,若點(diǎn)E是棱P。的中

點(diǎn)，則異面直線PA與CE所成角的余弦值為()

p

D.見(jiàn)

66

【答案】B

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，然后用向量方法即可求解

【詳解】連接AC,8。交于。,

由題意，以。為原點(diǎn)，分別以d，oC，辦的方向?yàn)閤軸，y軸,z軸的正方向建立空間

直角坐標(biāo)系，如圖，

所以P(O,O,1),A(O,—"O),C(O,&,O),￡>(-"O,O),E-y^,0,1

（石

所以PA=—1）,CE=—1

、22

設(shè)異面直線PA與CE所成的角為夕，

..\PA-CE\_2-1_底

11

網(wǎng)?囤5時(shí)

2

故選：B

6.某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5mm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有25塊該規(guī)格的芯

片，其中甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為5塊，10塊，10塊，若甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次

品率分別為0.1,0.2,0.3,則從這25塊芯片中任取一塊芯片，是正品的概率為()

A.0.78B.0.64C.0.58D.0.48

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)8="任取一塊芯片是正品"，A1=1,2,3)分別表示芯片由甲、乙、丙三條

生產(chǎn)線生產(chǎn)，根據(jù)互斥事件的概率公式以及全概率公式，即可求得答案.

【詳解】設(shè)8="任取一塊芯片是正品"，4。=1，2,3)分別表示芯片由甲、乙、丙三

條生產(chǎn)線生產(chǎn)，

根據(jù)題意可得：尸(4)=得=0.2,尸(4)=2=0.4,尸(A3)=F=0.4,

P(B|4)=l-0.1=0.9,P(B|A)=1-0.2=0.8,P(B14)=1-0.3=0.7,

由全概率公式可得:P(B)=P(A)P(5|A)+P(4)P(BI4)+P(A3)P(B14)

=0.2x0.9+0.4x0.8+0.4x0.7=0.78.

故選：A

x(?—JVXi1兀

7.已知/(x)=sin；|J3cosq一sin；|+若存在玉)e-,n,使不等式

2(2L)2l_6_

/(%)4加2—3m—g有解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.[0,3]B.(—oo,0][3,+oo)C.~—,3D.

5

—,+00

2

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦余弦的二倍角公式及正弦兩角和公式化簡(jiǎn)函數(shù)，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)

在區(qū)間上成立問(wèn)題，求出最值，解不等式即可.

XXX.X

222

苴sinx

6.1

二——sinx4--cosx

22

71..兀

=cos—sinx+sin—cosx

66

.(兀)

=sinx+—,

k6；

兀i

若存在-,7t,使不等式/(xo)wm2—3加一]有解，

7T21

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在無(wú)()e—±m(xù)-3m-->[/(%())]m，(

因TT為〈兀，所以7T上</+上TT<—/IT，

6366

所以一gw，(尤o)wi，

所以加2—3m~—>一--=>m2-3m>0,

22

解得：，找之3或，

即實(shí)數(shù)，"的取值范圍為：(F,()]U[3,+S),

故選：B.

8.已知仇ce(l,+oo),且a-lna-l=eT，b-lnb-2=e~2>c-lnc-4=e4>其

中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則()

A.a<b<cB.b<a<cC.h<c<aD.

c<h<a

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可得a-lna=e^+1，Z?-In/?=e-2+2?c-lnc=e-4+4?令

/(x)=e-*+x,利用導(dǎo)函數(shù)可得a-lna<b-lnZ?<c-lnc，再令g(x)=x-lnx,利用

導(dǎo)函數(shù)求g(x)單調(diào)性即可求解.

【詳解】由題意可得a-lna=eT+1，b-Xnb-o'2+2>c-lnc-e-4+4>

令/(x)=e-*+x,則/'(x)=-er+1,

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)/彳勾>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以/(1)</(2)<f(4),即a-lna<Z?-lnb<c-lnc,

令g(x)=x-lnx,則g<x)=l,

因?yàn)楫?dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,所以g(x)在。,物)上單調(diào)遞增,

又因?yàn)閍,，,CG(［+oo)且g(a)<g(b)<g(c),

所以a<b<c,

故選：A

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級(jí).指數(shù)越大說(shuō)明污染的情況越嚴(yán)重，對(duì)人體危害越大，指數(shù)范

圍[0,50),[50,100),[100,200),[200,300),[300,500]分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”“良”“輕

度污染”“中度污染”“重污染”五個(gè)等級(jí).如圖是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)

圖，下面說(shuō)法正確的是()

A.這14天中有5天空氣質(zhì)量指數(shù)為“輕度污染”

B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來(lái)越好

C.這14天中空氣質(zhì)量的中位數(shù)是196.5

D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是5日到7日

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)趨勢(shì)圖可判斷出空氣質(zhì)量指數(shù)位于［100,200)的天數(shù)，知A正確；由2日到5

日空氣質(zhì)量指數(shù)依次下降知B正確；由中位數(shù)的定義可計(jì)算知C正確；根據(jù)方差與數(shù)據(jù)波

動(dòng)幅度之間的關(guān)系可知D錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A,由空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖可知：這14天中，空氣質(zhì)量指數(shù)位于［1()(),200)

的天數(shù)有4,6,9,10,11日，則有5天空氣質(zhì)量指數(shù)為“輕度污染”，A正確；

對(duì)于B,從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)依次下降，則空氣質(zhì)量越來(lái)越好，B正確；

對(duì)于C,將14天空氣質(zhì)量指數(shù)按照從小到大順序排序，中位數(shù)為第7和第8個(gè)數(shù)的平均

數(shù)，即---------=196.5,C正確；

2

對(duì)于D,若連續(xù)三天空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小，則連續(xù)三天數(shù)據(jù)波動(dòng)幅度最小，顯然5日到

7日數(shù)據(jù)波動(dòng)幅度最大，則方差應(yīng)為最大，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

10.密位制是度量角的一種方法，把一周角等分為6000份，每一份叫做1密位的角.在角的

密位制中，單位可省去不寫(xiě)，采用四個(gè)數(shù)碼表示角的大小，在百位數(shù)與十位數(shù)之間畫(huà)一條

短線，如7密位寫(xiě)成“0—07”，478密位寫(xiě)成“4—78”.若（sine—cosa）2=sin2a,則角a

可取的值用密位制表示可能是（）

A.10—50B.2—50C.13—50D.42—50

【答案】BD

【解析】

【分析】通過(guò)三角恒等變換化簡(jiǎn)（sina—cosa『=$山2?,得出%肛攵eZ或

a^—+k7r,keZ,再通過(guò)題意對(duì)選項(xiàng)一一化為弧度制，即可判斷是否符合題意.

12

【詳解】Q(sinc-cosc)-=sin2oc,

sin2a-2sinacosa+cos2a-2sin?coscr，

sirra+cos-a-\>

」.4sinacosa=l即sin2a=—9

/.aFk7j%￡Z或a=-——bk兀、keZ,

1212

對(duì)于選項(xiàng)A：

密位制10-50對(duì)應(yīng)的角的弧度制為蹩x2;r=衛(wèi)，不符合題意,

600020

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：

密位制2—50對(duì)應(yīng)的角的弧度制為?x2〃=C,符合題意，

600012

故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：

密位制13—50對(duì)應(yīng)的角的弧度制13為50x2?=9三7，不符合題意,

600020

故選項(xiàng)c錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：

密位制42-50對(duì)應(yīng)的角的弧度制為毛型x27=—,符合題意，

600012

故選項(xiàng)D正確；

綜上所述，選項(xiàng)BD正確，

故選：BD.

2

11.己知點(diǎn)A,8分別是雙曲線C：Lr—產(chǎn)=1的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸是雙曲線C的右支上位

4

于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，記以、P8的斜率分別為匕、k2,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.雙曲線C的離心率為五B.雙曲線C的焦點(diǎn)到其漸近線的距

2

離為1

C.k】k,為定值-D.存在點(diǎn)P,使得k]+k,=L

4-2

【答案】ABC

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，求出°=有，得到離心率；B選項(xiàng)，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，得到

焦點(diǎn)到漸近線的距離；C選項(xiàng)，設(shè)P（辦〃），表達(dá)出匕=/一,心=」一，結(jié)合

7714-2m-2

21

〃2=1求出"產(chǎn)屋D選項(xiàng)，設(shè)m>0,n>0,由漸近線方程得到

2

->2,結(jié)合工—“2=1得到匕+左,=*>1.

n42n

【詳解】A選項(xiàng)，由題意得：a=2,b=L故c==斥1=舟

故離心率為￡=更，A正確；

a2

B選項(xiàng)，雙曲線C的焦點(diǎn)為（土石,0）,漸近線的方程為2y±x=0,

|±>/5|

故焦點(diǎn)到漸近線的距離為d=^^=l，B正確；

V4+1

22

C選項(xiàng)，由題意得：4（—2,0）,8（2,0）,設(shè)尸（犯”）,則—〃2=1,+1=7,

！//〃7〃2----1i

故-----,卜=-----,..nnnA1C正確;

m+2m-2g=----F—7=2~7=7

m+2m-2m-4m-44

2

D選項(xiàng)，設(shè)P(人”)，m>0,n>0,3__〃2=1,>一4=4〃2,

因?yàn)闈u近線的方程為2y±x=0,故里>〃，即”>2,

2"

〃+mn-2n+mn+2n_2mn_2mn_m

使得&+kD錯(cuò)誤;

2m+2m-2irr-4in2—44/?22n

故選：ABC

12.已知/(x)=2f+l,g(x)=4-國(guó)，若方程

|/(x)-g(x)|一〃x)—g(x)+6zx+4a+2=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則滿足上述條件的

。值可以為()

1八3

A.—1B.—C.-D.1

55

【答案】BC

【解析】

【分析】通過(guò)分類(lèi)討論去絕對(duì)值，得出(a+2)x+4a-6=0(x>l),

(a-2)x+4a-6=0(x<-1),與—4x~+av+4a=0(國(guó)<1),再根據(jù)根的數(shù)量確定。的

取值范圍，即可對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.

【詳解】當(dāng)/(x)?g(x)時(shí)，即2/+1K4-兇，解得忖>1,

當(dāng)時(shí)，即2d+l>4-國(guó)，解得N>1,

則當(dāng)W>1時(shí)，|/(x)—g(x)|=/(x)-g(x),

此時(shí)方程|/(x)-g(x)|-/(x)-g(x)+ar+4a+2=0,

即-2g(x)+依+4Q+2=(),

即2國(guó)+公+4a-6=0,

此時(shí)若x〉l則(。+2卜+4。-6=0(%>1)①,

此時(shí)若xv-l則(Q—2)x+4Q—6=0(xv—l).②，

當(dāng)|x|wi時(shí),|/(x)-g(x)|=g(x)-/(X),

此時(shí)方程|/(x)-g(x)|—/(x)-g(x)+<^+4a+2=0,

即~2/（x）+cix+4a+2=0,

即Tx?+ax+4a=0（|x|w1）③，

其中方程①與②最多各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，方程③最多有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

原方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

..?方程①與②各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，方程③有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，

對(duì)于方程7/+以+44=0（國(guó)41）有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可以等價(jià)為：

△=/+64a>0

—1<一<14

<8解得0<。4一，

5a-4405

3?-4<0

4

對(duì)于選項(xiàng)A：0<〃4二取不到-1,

故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)。=、時(shí)，方程①的根為>1,方程②的根為一入<-1,符合題意，

5711T9

故選項(xiàng)B正確；

3121Q

對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)。=二時(shí)，方程①的根為石〉1,方程②的根為-亍<一1,符合題意，

故選項(xiàng)C正確：

.4

對(duì)于選項(xiàng)D：0<a4m取不到1,

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

綜上所述，選項(xiàng)BC正確，

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則該展開(kāi)式中含￡*的項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】-1458

【解析】

【分析】利用賦值法，令x=l,則［3x-4）的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和為2"，即可求得”;

再由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)求得含一項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】令x=l,貝1J3x--的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和為2"=64=26,則〃=6,

Ix)

其中通項(xiàng)J=C/(3X)6T［」］=C；36-r(-l)rA：6-2r.

令6—2廠=4,則廠=1,

則(=爆了.(—『％4=_1458_?,

故含/的項(xiàng)的系數(shù)為一1458.

故答案為：-1458.

14.設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為2,3,體積分別為匕，匕，若它們的側(cè)面積相

等，則，的值是.

2

【答案】-##2:3

【解析】

【分析】利用圓柱體的側(cè)面積和體積公式求解即可.

【詳解】設(shè)甲的高為乙,乙的高為〃2，

3

由題意可得2兀*2*4=271x3x7^,所以

2

所V以.7片1x(2)號(hào)'x/t幣2，

2

故答案為：j

15.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷

下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩

三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題：被3除余2且被5除余3的正整

數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛%｝，記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為Sn,則打土里

n

的最小值為.

【答案】—

2

【解析】

【分析】先由“兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成的新的等差數(shù)列的公差為兩個(gè)等差數(shù)列公差的最

小公倍數(shù)“得s.，再應(yīng)用基本不等式求得鼠剪的最小值.

n

【詳解】解：被3除余2且被5除余3的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個(gè)首

項(xiàng)為8,公差為15的等差數(shù)列{%},則S"=8"+"（7）X15號(hào)"g"

.S+3015/73014115〃30161

..----=—+—+->2J——x——+—=—

n2n2V2n22

當(dāng)且僅當(dāng)一=—,即〃=2時(shí)，等號(hào)成立，

2n

S+30帕曰,/士、[61

-----的最小值為一.

n2

故答案為：—.

2

16.拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)到直線x-y+l=0的距離為半，點(diǎn)M是。上

任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是圓。:（》一3）2+產(chǎn)=1上任意一點(diǎn)，則|MN|的最小值是.

【答案】姮-1

2

【解析】

【分析】根據(jù)焦點(diǎn)到直線的距離可構(gòu)造方程求得。，得到拋物線方程；由圓的方程可得圓心

和半徑；設(shè)“（『/）,利用兩點(diǎn)間距離公式可表示出|。河|,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求得；

由圓的幾何性質(zhì)可知所求最小值為10MlM—L

【詳解】由拋物線方程得：焦點(diǎn)為4,0,2+_5^2,解得：p=[,

12J2

???拋物線C:y2=x,設(shè)M（『,小

由圓的方程可知：圓心。（3,0）,半徑r=1，

:.\DM\^^（3-?2）2+（0-/）2=4-5產(chǎn)+9，

則當(dāng)*=2時(shí)，.=但―竺+9=".=叵—「=叵—1.

2IImin\422mm11

故答案為：姮—1.

2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

17.已知一ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a/,c,且(sinA+sin3)(sinA—sin8)=

(6sinA-sincjsinC.

(1)求角8的大??；

(2)若5c邊上的高為力一2c,求sinC.

jr

【答案】(1)B=-

6

(2)sinC=—

5

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理邊角互化即可求解；

(2)利用面積公式可得b=』c,再利用正弦定理邊角互化即可求解.

2

【小問(wèn)1詳解】

2

由題意可得sin?A-sin?B=A/3sinAsinC-sinC，

22r2

根據(jù)正弦定理可得a2-b2=Mac-c2.所以‘+"一"=V3,

ac

又根據(jù)余弦定理可得cosB=c-+/*=—，

2ac2

因?yàn)锽e(0,7r),所以8=：.

小問(wèn)2詳解】

因?yàn)镾AM=工°(〃-2。)='acsin8,即Z?=3c,

-222

521

由正弦定理可得sin3=—sinC,所以sinC=—sinB=—.

255

18.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和為S“，4s”=a“a,“1+l(〃GN)

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)/=%,求數(shù)列也｝的前10項(xiàng)和，其中國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如

[0.9]=0,[2.6]=2.

【答案】(1)%=2〃-1

（2）16

【解析】

【分析】（1）根據(jù)4,S“的關(guān)系求出數(shù)列的首項(xiàng)公差即可求解；（2）根據(jù)定義分別寫(xiě)出數(shù)列也“}

的前10項(xiàng)，求和即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)等差數(shù)列公差為d,

因?yàn)?s“=a,a,+]+l（“eN*）,所以當(dāng)“22時(shí)，4Sn_1=an_tan+1,

所以4S,-4sli_|=anan+l+1--1,所以4?！?anan+l-an,,an,

因?yàn)?>0,所以4用一勺_1=2d=4,所以。=2,

令〃=1得4q=14+1=4（4+2）+1整理得_2q+1=（）解得4=1,

所以=1+2（〃-1）=2〃-1.

【小問(wèn)2詳解】

,,「2〃-「

由Q）得以=§，

-2〃_1

所以勿=—^―的前10項(xiàng)和等于

135791113151719

+++++++++

5555555555

=0+0+1+1+1+2+2+3+3+3=16.

19.某校舉辦傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽，從該校參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，競(jìng)賽成績(jī)的頻

率分布表如下：

競(jìng)賽成績(jī)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻率0.080.240.360.200.12

（1）估計(jì)該校學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）已知樣本中競(jìng)賽成績(jī)?cè)赱50,60）的男生有2人，從樣本中競(jìng)賽成績(jī)?cè)赱50,60）的學(xué)生

中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查，記抽取的男生人數(shù)為X，求X的分布列及期望.

【答案】（1）75.4

3

（2）分布列見(jiàn)解析；期望E（X）=[

【解析】

【分析】（1）利用每組區(qū)間的中點(diǎn)值乘以該組的概率，加總和即可得到平均數(shù)的估計(jì)值；

（2）根據(jù)頻率分布表可求得樣本中競(jìng)賽成績(jī)?cè)冢?0,60）的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而確定X所有可能的

取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期

望公式可計(jì)算求得期望值.

【小問(wèn)1詳解】

平均數(shù)為55x0.08+65x0.24+75x0.36+85x0.20+95x0.12=75.4.

【小問(wèn)2詳解】

由題意知：樣本中競(jìng)賽成績(jī)?cè)冢?0,60）的共有100x0.08=8人，其中有男生2人，

則X所有可能的取值為0,1,2,

3

C20_二2：P(X;_CfC^=30=]5

：=0)=—|-=

.p(x7C；-56"141'C；5628

c]c263

p(x=z--.

73

5c"56-28，

.?.X的分布列為

X012

5153

p

142828

.??數(shù)學(xué)期望E（X）=0XR+lx竺+2x33

28284

20.如圖所示的幾何體中，底面48C。為直角梯形，ABUCD,ABYAD,四邊形

POCE為矩形，平面平面ABCC,F為必的中點(diǎn)，N為PC與DE的交點(diǎn)、,

（I）求證：FN//平面ABCD；

若G是線段CD上一點(diǎn)，平面P8C與平面EFG所成角的余弦值為亞，求3G的長(zhǎng).

(2)

6

【答案】（1）證明見(jiàn)解析;

yn^_4

9

【解析】

【分析】（1）連接AC，證明FN//AC，利用線面平行的判定定理即得;

（2）利用坐標(biāo)法，根據(jù)面面角的向量求法即得.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)樗倪呅蜳D"為矩形，則N為PC的中點(diǎn)，連接AC,

在AP4c中，F(xiàn),N分別為B4,PC的中點(diǎn)，

則有F7V//AC,而直線FNZ平面A8CO,47匚平面48。。，

所以FN//平面ABCD；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)槠矫鍼OCEJ?平面ABC。，DP工DC,平面POCEc平面ABCD=CD,

DPu平面PDCE,

所以￡）P_L平面A8CD，又ABI/CD,43_L/W,故。C_LAD,

以。為原點(diǎn)，分別以D4,DC,。尸所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則P(0,0,V2),A(l,0,0),5(1,1,0),C(0,2,0),￡(0,2,72),F(^,0,-^)，

設(shè)G(01,0),?0,2],

所以依=(□,-&),BC=(-1,1,0),FE=-；，2，H，GE=(0,2-r,V2),

m-PB=x+y-y[2z=0

設(shè)平面P8C的法向量為加（x,y,z）,則，

m-BC=-x+y=0

令x=l,得m=也），

"1"3A

in?FE=——。+28H-----c=（）

設(shè)平面石FG的法向量為〃=（a力,c）,則j22

n?GE=（2-i）b+6c=。

令b=,得〃=+f—2）,

/\m-n|2A/2/-+＞/2|76

所DJcos(m,n)=?-j—j—r=1=—

I4hl2.J("+2及『+(&『+("2)26’

整理可得9/+8,一11=0，

解得廣迤二1或t=(舍去)，

99

即OG的長(zhǎng)為"話二4.

9

21.設(shè)橢圓。：1+l=1(。＞匕＞0)的左焦點(diǎn)為凡上頂點(diǎn)為P,離心率為孝，。是坐

標(biāo)原點(diǎn)，且|。斗|松|=正.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，分別與C交于A,B,M,N四點(diǎn)，求四邊形

AMBN面積的取值范圍.

2

【答案】（1）—+y2=l

2-

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，結(jié)合離心率及橢圓a*,c的關(guān)系列出方程即可得到結(jié)果；

(2)當(dāng)小4中有一條斜率不存在時(shí)，SAMBN=；X6X2叵=2；當(dāng)小4的斜率都存

在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)尸(一1,0)的兩條互相垂直的直線小x^ky-l,直線小x^-y~\,聯(lián)

K

x=ky-\

立<X2i求出|AB|與|MN|,所以S=代入整理成關(guān)于左的式子，求式

—+y2=1

2，

子的值域即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)橢圓C的焦距為2c,則￡=也，所以。=缶

a2

因?yàn)椤?=匕2+。2,所以》=c,

又|0斗,打=夜，|。尸|=力,但H=a,所以皿=夜，即C=1

所以a=V2,b=I

所以上+y2=l

2

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)4，，2中有一條斜率不存在時(shí)，

設(shè)直線4方程為m-1,此時(shí)直線4與x軸重合,

即=Q,\MN\=2及,所以SAMBN=