2022高中數(shù)學(xué)必修1-5知識(shí)點(diǎn)

高一數(shù)學(xué)必修1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

函數(shù)

映射定義：設(shè)4B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,

在集合8中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)外->8為從集合A到集合8的一個(gè)映射

傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個(gè)變量x,外并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，

按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)。那么），就出的函數(shù)。記作y=/（x）.

（近代定義：函數(shù)是從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射。

定義域

函數(shù)及其表示《函數(shù)的三要素，值域

對(duì)應(yīng)法則

解析法

列表法

｛圖象法

傳統(tǒng)定義：在區(qū)間力］上，若助，如/（司）</（12），則/（%）在5］上遞增是

的泄杜J遞增區(qū)間；如/（陽）>/（彳2），則,（X）在L，應(yīng)上遞施⑸是的遞減區(qū)間。

單調(diào)玨導(dǎo)數(shù)定義：在區(qū)間伍例上，^/（.r）>0,則在口句上遞增［a/］是遞增區(qū)間：如〃x）vO

則/（x）在，例上遞減,口,可是的遞減區(qū)間。

最大值：設(shè)函數(shù)產(chǎn)/（%）的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的xe/,都有

函數(shù)的基本性質(zhì)扁信J（2）存在可白，使得/*（xo）=M。則稱M是函數(shù)產(chǎn)/*）的最大值

圓目最小值：設(shè)函數(shù)產(chǎn)/⑺的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)N滿足：⑴對(duì)于任意的都有7（x）2M

（2）存在對(duì)口，使得/■（■￥（））=M則稱N是函數(shù)y=/（x）的最小值

1（1）〃-X）=-/（X）,X€定義域D則/'（X）叫做奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

奇偶性（2）〃-X）=/（X）,X€定義域。，則f（x）叫做偶函數(shù)，其圖象關(guān)于）軸對(duì)稱。

奇偶函數(shù)自定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

周期性：在函數(shù)f（x）的定義域上恒有/*+7）=/（4）（丁工0的常數(shù)）則“X）叫做周期函數(shù)，丁為周期；

拜勺最小正值叫做/'（X）的最小正周期，簡稱周期

（1）描點(diǎn)連線法：列表、描點(diǎn)、連線

向左平移a個(gè)單位：H=y內(nèi)一a=x=.y=/（x+a）

平移變換，向右平移a個(gè)單位：>'i=y,x\+a=x^=>y=f（x-a）

向」二平移匕個(gè)單位：x\=x,y］+b=y=>y^b=f（x）

向下平移萬個(gè)單位：x\=x,3'j-b=y=>y+b=f（x）

橫坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)可縮短（當(dāng)卬>1時(shí)）或伸長（當(dāng)0<31時(shí)）

到原來的1/w倍（縱坐標(biāo)不變），即.q=wx=y=f（wx）

伸縮變換<

縱坐標(biāo)變換：把各，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為伸長（A>1）或縮短（O<A<1）到原來的A倍

（橫坐標(biāo)不變），即）i=y/Anyn/a）

函數(shù)圖象的畫法

（2）變換法?關(guān)于點(diǎn)（X。，即）對(duì)稱:｛制翁）=｛；昌『；=2y0-y=f（2.x0-x'）

關(guān)于直線『）對(duì)稱和『陽一忙:卻r=y=〃2%-x）

對(duì)稱變換,

關(guān)于直線尸九對(duì)稱:［需=2/屋九一產(chǎn)Wx）

關(guān)于直線）對(duì)稱R=>y=廠】（x）

附：

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于

零；4、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中

7T

k;r+—(k&Z);余切函數(shù)y=cotx中；6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，

應(yīng)依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法：3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法：5、不等式法：6、單調(diào)性法；7、

直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2,換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若/(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則/(x)+g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為

增(減)函數(shù)

2、若/(x)為增(減)函數(shù)，則一為減(增)函數(shù)

3、若/(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則y=/[g(x)]是增函數(shù)；若/(x)與g(x)的單

調(diào)性不同,則y=/[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作

函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果一個(gè)奇函數(shù)在x=0處有定義，則/(0)=0,如果一個(gè)函數(shù)y=/(x)既是

奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則/(x)=0(反之不成立)

2、兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù)；之積(商)為偶函數(shù)。

3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。

4、兩個(gè)函數(shù)y=/(〃)和a=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那

么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)/(%)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則/(%)可以表示為

/(x)=［/(x)+［/(x)-/(-%)］,該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)

和一個(gè)偶函數(shù)的和。

零點(diǎn)：對(duì)于函數(shù)y=f(xX我們把使/.*)=0的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)。

定理：如果函數(shù)丫=/(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有/(。)?f(b)<0,

零點(diǎn)與根的關(guān)系V那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［。，口內(nèi)有零點(diǎn)。即存在ce(mb),使得/.(c)=0,這個(gè)c也是方

程f(x)=0的根。(反之不成立)

關(guān)系：方程/'(x)=。有實(shí)數(shù)根=函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)=函數(shù)y=八%)的圖象與x軸有交點(diǎn)

函數(shù)與方程(1)確定區(qū)間驗(yàn)證f(“)?f(b)<0,給定精確度￡；

(2)求區(qū)間(a,6)的中點(diǎn)c;

函數(shù)的應(yīng)用<

(3)計(jì)算〃c)；

二分法求方程的近似解〈①若/(c)=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn):

②若/(a)?/(c)<0,則令〃=c(此時(shí)零點(diǎn)I。e(a,b))；

③茍'(c)-f(b)<0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn),e(c,b)>；

(4)判斷是否達(dá)到精確度於即若\a-IA<￡,則得到零點(diǎn)的近似值a(或幻；否則重復(fù)2

幾類不同的增長函數(shù)模型

函數(shù)模型及其應(yīng)用用已知函數(shù)模型解決問題

建立.實(shí)際問題的函數(shù)模型

根式:“7,〃為根指數(shù)，a為被開方數(shù)［%77F

分?jǐn)?shù)指數(shù)將

指數(shù)的運(yùn)算J="〃+Ss>O?,sw。)

指數(shù)函數(shù)一性質(zhì)<=aFg>o,〃，seQ)

=cJhs>O,A>>O,

舊除一例」定義：一般地把函數(shù)，=a>Q旦々ki)iu|做指數(shù)函數(shù)。

指數(shù)函數(shù)<_

［性質(zhì)：見表1

'對(duì)數(shù)：x=loga及，。為底數(shù)，N為真數(shù)

log(A4-TV)=log.M+log.M

基本初等函數(shù)V6z

.M

log。Ml-IogN\

對(duì)數(shù)的運(yùn)算，6Z

性質(zhì)<

對(duì)數(shù)函數(shù)1。琶4Mnnlog^M；(a>O.aK1,M>O,TV>O)

換1氐公式：1。區(qū)，Z?=1°=<(a,c>O工La,c#1,。>O)

log,a

定義：—.般土也才巴函數(shù)y=>O且ak1)11”《故對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)

性偵：見表1

定義：一舟殳地，函數(shù)y做幕函數(shù)，x是自變量，a是幡數(shù)。

將函數(shù)

性偵：見表2

1

/

P為奇數(shù)

\Q,D

q為偶數(shù)/Q,1)

■

A

P為偶數(shù)

\(1.1)

HJ)、偶函數(shù)

4為奇數(shù)----1----1-—---:----1-

c-t1)\y

第一象限過定點(diǎn)

減函數(shù)增函數(shù)

性質(zhì)(0,1)

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

一、直線與方程

(1)直線的傾斜角

定義：X軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與X軸平行

或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°Wa<180°

（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常

用k表示。即&=tana。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)ae[（T,90）時(shí)，k>0；當(dāng)ae（90°,180°）時(shí)，2<0；當(dāng)a=90°時(shí)，k不存

在。

②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：k=為一、（/wx,）

注意下面四點(diǎn)：（1）當(dāng)項(xiàng)=尤2時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；

⑵k與Pi、P2的順序無關(guān)；（3）以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求

得；

（4）求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

（3）直線方程

①點(diǎn)斜式：y-y=左（無一內(nèi)）直線斜率攵，且過點(diǎn)（再j）

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0,直線的方程是產(chǎn)yi。

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因/

上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于所以它的方程是齊心。

②斜截式：y=kx+b,直線斜率為左直線在y軸上的截距為6

③兩點(diǎn)式：―——=-^——（西工/,%.%）直線兩點(diǎn)（西,）1）,（x2,y2）

為一%

④截矩式：-+^=1

ab

其中直線/與x軸交于點(diǎn)（a,0）,與y軸交于點(diǎn)（0,6）,即/與x軸、y軸的截距分別為a,b。

⑤一般式：Ax+By+C=0（A,8不全為0）

注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：

平行于x軸的直線：y=b（6為常數(shù)）；平行于y軸的直線：x=a（a為常數(shù)）；

（5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

（-）平行直線系

平行于已知直線4/+綜），+孰=0（4,凡是不全為o的常數(shù)）的直線系：

4%+綜丫+。=0（c為常數(shù)）

（二）過定點(diǎn)的直線系

（i）斜率為攵的直線系：=k（x-x0）,直線過定點(diǎn)（%,%）；

（ii）過兩條直線4:A,x+^y+C,=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程

為

,

（Ax+51^+C1）+2（V+^J+G）=0（九為參數(shù)），其中直線4不在直線系中。

（6）兩直線平行與垂直

當(dāng)4:y=k]X+仄,Z2:y=叢工+4時(shí)，

Z11112<=>k[—hhw%;Z]_Ll2<=>——1

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

（7）兩條直線的交點(diǎn)

/i：4x+4y+G=012:A2x+B2y+C2=0相交

交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組[A/+用y+C=0的一組解。

[A2X+B2y+C2=0

方程組無解。/"〃2；方程組有無數(shù)解<=>/］與4重合

(8)兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)4(與,,)，3(々,必)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，

22

則|AB|=7(x2-x,)+(y2-y,)

(9)點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)P(x0,%)到直線4:Ar+By+C=0的距離_|^o+Byo+C|

YIA2+B2

(10)兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。

二、圓的方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的

半徑。

2、圓的方程

(1)標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y—0)2=/,圓心(。,匕)，半徑為r；

(2)一般方程x2+y2+Dx+Ey+F

當(dāng)+“2-4/>0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為半徑為,=E?)4F

I212)2

當(dāng)+七2-4/=0時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)。2+石2-4b<0時(shí)，方程不表示任何圖

形。

(3)求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

需求出a,b,r:若利用一般方程，需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。

3、直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：

⑴設(shè)直線/:Ax+8y+C=O,圓C:(x_ay+(y_?2=戶,圓心C(a,b)到/的距離

為\Aa+Bh+c\,則有d>ro/與目離：J=r<=>/與dfl切；d<ro/與Ct目交

A2+B2

(2)設(shè)直線/:Ar+5y+C=0,圓C:(x—a)2+(y-6『=六，先將方程聯(lián)立消元，得到

一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為A,則有

A<0o/與C相離；八二。0/與C相切：A>0o/與C相交

注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式XT。+?o=/去解直線與圓相切的問題，其中

(%0，y0)表示切點(diǎn)坐標(biāo)，I?表示半徑。

(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：

①圓X2+y2=,，圓上一點(diǎn)為(Xo,yo),則過此點(diǎn)的切線方程為XTo+y%=/(課本命題).

?^(x-a)2+(y-b)2-r,圓上一點(diǎn)為(xO,yo),則過此點(diǎn)的切線方程為由■必x-aj+伙)-切伊勿=r2

(課本命題的推廣).

4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。

2221

設(shè)圓C1:(x-at)'+(y-白丁=r,C2:(x—a2)+(y—b2)=R

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差)，%圓心距(4)之間的大小比較來確定。

當(dāng)d>R+r時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；

當(dāng)1=尺+r時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當(dāng)R—r<d<R+r時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線：

當(dāng)"=7?—r時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線;

當(dāng)d<R-r時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=0時(shí)，為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

（1）棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共

邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱ABCOE—A,aC'DZ'或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱

AD

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且

相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

（2）棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何

體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐P—A’8'C'DZ'

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到

截面距離與高的比的平方。

（3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，微面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)P—A'B'C'OZ'

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾

何體

幾何特征：①底面是全等的圓：②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖

是一個(gè)矩形。

（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何

體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

（6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，裁面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。

（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、

俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度;

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長，h為高，％為斜高，1為母線)

S直棱柱側(cè)面積一S圓柱側(cè)=S正棱錐他面積=3/'S圓錐側(cè)面積—

c

S正樓價(jià)何面積=5g+2)”S圓臺(tái)麗積=(r+R)用

S圓柱表=2療(r+/)S圓錐表=w(r+/)S圓臺(tái)表=/(廣+/7+&+7?一)

(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式

V柱=S〃=Sh=7Tr-h%=gs/z%雌=；"%

(4)球體的表面積和體積公式：V球=91犬3；S球面=4乃R)

4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

(1)平面

①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；

②平面的表示：通常用希臘字母a、。、丫表示，如平面a(通常寫在一個(gè)銳角內(nèi))；

也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示，如平面BC。

③點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)4在平面a內(nèi)，記作Aea；點(diǎn)A不在平面a內(nèi)，記作A定。

點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線/上，記作：AS/；點(diǎn)A在直線/外，記作

直線與平面的關(guān)系：直線I在平面a內(nèi)，記作/ua；直線/不在平面a內(nèi)，記作a。

(2)公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面

內(nèi)。

(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線)

應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號(hào)語言表示公理1:A&l,B&l,A&a,B&a^>laa

(3)公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

推論：一直線和直線夕I—點(diǎn)確定一平面：兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一

平面。

公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)

(4)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直

線

符號(hào)：平面a和B相交，交線是a,記作aflB=a。

符號(hào)語言：PeAC\B=>Ar\B^l,Pel

公理3的作用：

①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。

②它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。

③它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。

（5）公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行

（6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線

②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線

@異面直線所成角：直線a、Z?是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)0,分別引直線/〃a,b'

//h,則把直線優(yōu)和，所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和％所成的角。兩條異面直線

所成角的范圍是（0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線

互相垂直。

說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理

（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無關(guān)。

②求異面直線所成角步驟：

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)

選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

（7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。

（8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).

直線不在平面內(nèi)爭交一一只有一個(gè)公共點(diǎn).

（或直線在平面外）（平行一一沒有公共點(diǎn).

三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：auaafla=Aa〃a

（9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行——沒有公共點(diǎn)；a〃B

相交----有一條公共直線。aD（3=b

5、空間中的平行問題

（1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行。

線線平行=線面平行

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，

那么這條直線和交線平行。線面平行二線線平行

（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)

兩個(gè)平面平行的判定定理

（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

（線面平行T面面平行），

（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。

（線線平行"T面面平行），

（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行T線面平

行）

（2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行T線線平行）

7、空間中的垂直問題

（1）線線、面面、線面垂直的定義

①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。

②線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個(gè)平面垂

直。

③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組

成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個(gè)平面垂直。

（2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理

①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。

性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。

性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一

個(gè)平面。

9、空間角問題

(1)直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。

②兩條相交直線所成的南：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)0,分別作與兩條異面直線a,h平行的直線

a',b',形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所

成的角。

(2)直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90°。

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的筵魚，叫做這條

直線和這個(gè)平面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一色_二證,且土算”。

在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵理于薜戈王二J包葡的垂線，

在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：(1)斜線上一點(diǎn)到面的垂線；(2)過斜線上的一

點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二

面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射

線，這兩條射線所成的南叫二面角的平面南。

③直二面角：平面角是直。的二面角叫直二面痢。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平

面垂直，那么所成的二面角為直二面能

④求二面角的方法

定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角

垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為

二面角的平面角

7、空間直角坐標(biāo)系

(1)定義：如圖，O3CD-DA8C是單位正方體.以A為原點(diǎn)，

分別以0D,0A,0B的方向?yàn)檎较?建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。

這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

1)0叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2)x軸，y軸，z軸叫做坐標(biāo)軸.3)過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐

標(biāo)面。

(2)右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指

向?yàn)閤軸正方向，食指指向?yàn)閥軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間

的相位置。

(3)任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組

(x,y,z)叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作M(x,y,z)(x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，

y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo))

222

(4)空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式：d=yj(x2—X,)+(y2—jj)+(z2—zt)

高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

§1算法初步

O秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對(duì)于一個(gè)n

次多項(xiàng)式，只要作n次乘法和n次加法即可。表達(dá)式如下：

anx"++...+a1=((((??%+an_f)x+an_2)x+...)x+4)x+%

例題：秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式

3X6+4X5+5X4+6X3+7X2+8X+1,當(dāng)x=0.4時(shí)，

需要做幾次加法和乘步運(yùn)算？答案：6,6

即:(((((3x+4卜+5)x+6)x+7)尤+8)x+1

?理解算法的含義：一般而言，對(duì)于一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，

其意義具有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說明

書是空調(diào)使用的算法…(algorithm)

1.描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語言(本書指偽代碼).

2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步豚總是有限的，不能無休止的進(jìn)行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可

以是一個(gè)或多個(gè)。沒有輸出的算法是無意義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機(jī)器在

一定時(shí)間內(nèi)可以完成，在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，關(guān)系運(yùn)算等②

控制結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

?流程圖：(flowchart):是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及

程序結(jié)構(gòu)的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫流程圖的時(shí)候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣

2.拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇

到判斷框時(shí)，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫好大致流

程，然后檢查這個(gè)條件是否正確，再考慮是否取等號(hào)的問題，這時(shí)候也就可以有幾種書

寫方法了。

3.在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，

一起終結(jié)到結(jié)束框。------------------1________________

-：1_

?算法結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)：TH

直到型循環(huán)?當(dāng)型循

I.順序結(jié)構(gòu)(sequencestructure):是一種最簡單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、

控制轉(zhuǎn)移和重復(fù)執(zhí)行的操作，一個(gè)順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行

的。

II.選擇結(jié)構(gòu)(selectionstructure):或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時(shí)主要

是注意臨界條件的確定。它有一個(gè)入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語句，不

能同時(shí)執(zhí)行，其中的A,B兩語句可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在

某條件成立時(shí)，執(zhí)行某語句，至于不成立時(shí)，不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句。

III.循環(huán)結(jié)構(gòu)(cyclestructure):它用來解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)操作問題，分直到型(until)

和當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(shí)(即不

知道循環(huán)次數(shù)時(shí))用當(dāng)型循環(huán)。

?基本算法語句：本書中指的是偽代碼(pseudocode),且是使用BASIC

語言編寫的,是介于自然語言和機(jī)器語言之間的文字和符號(hào)，是表達(dá)算法

的簡單而實(shí)用的好方法。偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書寫清楚，易于理

解即可，但也要注意符號(hào)要相對(duì)統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語句中可

以用x=y，也可以用x—y;表示兩變量相乘時(shí)可以用“*"，也可以用“x”

I.賦值語句(assignmentstatement):用<—表示，如：x<—y,表示將y的值

賦給x,其中x是一個(gè)變量，y是一個(gè)與x同類型的變量或者表達(dá)式.

一般格式：“變量一表達(dá)式”，有時(shí)在偽代碼的書寫時(shí)也可以用“x=y”,

但此時(shí)的“=”不是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的等號(hào)，而應(yīng)理解為一個(gè)賦值號(hào)。

注：1.賦值號(hào)左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式。

“="具有計(jì)算功能。如：3=a,b+6=a,都是錯(cuò)誤的，而a=3*5-1,a

=2a+3

都是正確的。2.一個(gè)賦值語句一次只能給一個(gè)變量賦值。如：a=b=c=2,a,

b,

c=2都是錯(cuò)誤的，而a=3是正確的.

例題：將x和y的值交換

P<r-X

p—x

V

x<—y同樣的如果交換三個(gè)變量x,y,z的值：

y<T-Z

y~pz〃

II.輸入語句(inputstatement):Reada,b表示輸入的數(shù)一次送給a