第六節(jié)　雙曲線

1．雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的

等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的

，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的

．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)

時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)

時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)

時(shí)，P點(diǎn)不存在．距離的差的絕對(duì)值焦點(diǎn)焦距2a<|F1F2|2a＝|F1F2|2a>|F1F2|2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)續(xù)表5．(人教A版選擇性必修第一冊(cè)P127·T6改編)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,1)，且對(duì)稱(chēng)軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____________．層級(jí)一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時(shí)間)基礎(chǔ)點(diǎn)(一)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．已知點(diǎn)F1(－3,0)和F2(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之差為4，則點(diǎn)P的軌跡方程為

(

)[一“點(diǎn)”就過(guò)]雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法[一“點(diǎn)”就過(guò)]研究雙曲線幾何性質(zhì)的步驟(1)將所給方程正確化成雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式．(2)根據(jù)方程判斷出雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上．(3)準(zhǔn)確求出a，b，進(jìn)而求出雙曲線的其他有關(guān)問(wèn)題．[方法技巧](1)①抓住“焦點(diǎn)三角形PF1F2”中的數(shù)量關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵；②利用定義求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，要分清是差的絕對(duì)值為常數(shù)，還是差為常數(shù)，即是雙曲線還是雙曲線的一支．(2)利用雙曲線定義求方程，要注意三點(diǎn)：①距離之差的絕對(duì)值；②2a<|F1F2|；③焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的位置．解析：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，則由雙曲線的定義，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以當(dāng)|PF1|＋|PA|最小時(shí)滿足|PF|＋|PA|最?。呻p曲線的圖象，可知當(dāng)點(diǎn)A，P，F(xiàn)1共線時(shí)，滿足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5，故所求的最小值為9.答案：9[方法技巧]求雙曲線的方程時(shí)，將已知條件中的雙曲線的幾何性質(zhì)和幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合c2＝a2＋b2，列出未知參數(shù)的方程，解方程后即可求出雙曲線方程．[方法技巧]解與雙曲線有關(guān)范圍問(wèn)題的方法幾何法如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性質(zhì)來(lái)求解，特別是用雙曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求解代數(shù)法若題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，將雙曲線的范圍(或最值)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)等函數(shù)的范圍(或最值)問(wèn)題，然后利用配方法、判別式法、基本不等式法、函數(shù)的單調(diào)性及三角函數(shù)的有界性等求解2．(忽視雙曲線定義的條件)已知點(diǎn)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當(dāng)a為3和5時(shí)，點(diǎn)P的軌跡分別是

(

)A．雙曲線和一條直線B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條直線D．雙曲線的一支和一條射線解析：依題意得|F1F2|＝10，當(dāng)a＝3時(shí)，2a＝6＜|F1F2|，故點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支；當(dāng)a＝5時(shí)，2a＝10＝|F1F2|，故點(diǎn)P的軌跡為一條射線．答案：D

6．(借助數(shù)學(xué)文化)古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，只可惜對(duì)這一定義歐幾里得沒(méi)有給出證明．經(jīng)過(guò)了500年，到了3世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明．他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線：當(dāng)0＜e＜1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e＝1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)e＞1時(shí)，軌跡為雙曲線．現(xiàn)有方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(x－2y＋3)2表示的曲線是雙曲線，則m的取值范圍為