多元函數(shù)微分法應用極值與最值

一、多元函數(shù)的極值

定義:假設函數(shù)那么稱函數(shù)在該點取得極大值例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內有(極小值).1.提示:

由題設例1.函數(shù)(D)根據(jù)條件無法判斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點.那么()的某個鄰域內連續(xù),且A(2003考研)2.說明:

使偏導數(shù)都為0的點稱為駐點

.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點不一定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取極值.且在該點取得極值,那么有存在故3.定理1(必要條件)函數(shù)偏導數(shù),且在該點取得極值,那么有存在時,具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),令那么:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.假設函數(shù)且4.1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內找駐點.即解方程組第二步利用充分條件判別駐點是否為極值點.2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法二、多元函數(shù)的極值的一般步驟5.設拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步找目標函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問題在條件求駐點.6.三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉化7.方法2拉格朗日乘數(shù)法.分析：如方法1所述,那么問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極故極值點必滿足記例如,值問題,故有8.引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點必滿足那么極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.9.推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.設解方程組可得到條件極值的可疑點.例如,

求函數(shù)下的極值.在條件10.例2.求函數(shù)解:

第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數(shù)11.在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;12.例4.解:設水箱長,寬分別為x,ym,那么高為那么水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內應存在,的有蓋長方體水箱,問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.13.例3.要設計一個容量為那么問題為求x,y,令解方程組解:

設x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱外表積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體開口水箱,試問14.得唯一駐點由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的2倍時，所用材料最省.因此,當高為15.例4.求旋轉拋物面與平面之間的最短距離.解:設為拋物面上任一點，那么P的距離為問題歸結為約束條件:目標函數(shù):作拉氏函數(shù)到平面16.令解此方程組得唯一駐點由實際意義最小值存在,故17.平面上兩定點A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點C,使△ABC

面積S△最大.解答提示:設C

點坐標為(x,y),那么例5.18.設拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應面積而比較可知,點C與E重合時,三角形面積最大.點擊圖中任意點動畫開始或暫停19.例6.

設均可微,且在約束條件