2024版高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點(diǎn)考法講解：點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

高考

數(shù)學(xué)立體幾何點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系基礎(chǔ)篇考點(diǎn)一點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1.四個(gè)基本事實(shí)基本事實(shí)1:過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.用途:①確定

一個(gè)平面;②判斷兩個(gè)平面是否重合;③證明點(diǎn)、線共面.基本事實(shí)2:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)

平面內(nèi).用途:證明“點(diǎn)在面內(nèi)”或“線在面內(nèi)”.基本事實(shí)3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一

條過該點(diǎn)的公共直線.用途:①證明“三點(diǎn)共線”“三線共點(diǎn)”;②確定兩

平面的交線.基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線平行.用途:判斷直線平行.2.三個(gè)推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.3.空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系

相交關(guān)系

獨(dú)有關(guān)系

4.等角定理:如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等

或互補(bǔ).考點(diǎn)二異面直線所成的角1.定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a'∥a,b'∥b,把a(bǔ)'

與b'所成的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).2.異面直線所成角的范圍:

.注意:空間兩直線垂直有兩種情況:相交垂直和異面垂直.綜合篇考法一點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用1.證明點(diǎn)共線問題的方法1)基本事實(shí)法:先找出兩個(gè)平面,然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共

點(diǎn),再根據(jù)基本事實(shí)3證明這些點(diǎn)都在交線上.2)同一法:選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.2.證明線共點(diǎn)問題的方法:先證兩條直線交于一點(diǎn),再證明第三條直線經(jīng)

過該點(diǎn).3.證明點(diǎn)、直線共面問題的方法1)納入平面法:先確定一個(gè)平面,再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi).2)輔助平面法:先證明部分點(diǎn)、線確定平面α,再證明其余元素確定平面β,

最后證明平面α,β重合.例1

(2021遼寧丹東質(zhì)量測試二,6)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F

分別為C1D1,B1C1的中點(diǎn),O,M分別為BD,EF的中點(diǎn),則下列說法錯(cuò)誤的是

(

)

A.四點(diǎn)B,D,E,F在同一平面內(nèi)B.三條直線BF,DE,CC1有公共點(diǎn)C.直線A1C與直線OF不是異面直線D.直線A1C上存在點(diǎn)N,使M,N,O三點(diǎn)共線解析如圖所示,連接B1D1,

則B1D1∥BD,B1D1∥EF,所以BD∥EF,所以四點(diǎn)B,D,E,F在同一平面內(nèi),故A

正確;延長BF,DE,則BF,DE相交于點(diǎn)P,又BF?平面BCC1B1,DE?平面DD1C1C,

則P∈平面BCC1B1,P∈平面DD1C1C,又平面BCC1B1∩平面DD1C1C=CC1,所

以P∈CC1,即三條直線BF,DE,CC1有公共點(diǎn)P,故B正確;因?yàn)锳1C為長方體的體對角線,所以直線A1C與直線OF不可能在同一平面內(nèi),所以直線A1C與直線OF是異面直線,故C錯(cuò)誤;A1,O,C,C1均在平面AA1C1C內(nèi),連接OM,則OM與直線A1C相交,所以直線A1C

上存在點(diǎn)N,使M,N,O三點(diǎn)共線,故D正確.故選C.答案

C名師點(diǎn)睛1.證明三點(diǎn)共線的關(guān)鍵是“找兩個(gè)相交平面”;2.證明三線共點(diǎn)的步驟是先證明兩直線交于一點(diǎn),再證明該交點(diǎn)在第三

條直線上.考法二異面直線所成的角的求解方法1.定義法(平移法)具體步驟如下:

2.向量法設(shè)異面直線a,b的方向向量分別為a,b,則異面直線a,b所成角的余弦值等

于|cos<a,b>|=

.例2

(2018課標(biāo)Ⅱ,9,5分)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=

,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為

(

)A.

B.

C.

D.

解析解法一(平移法):如圖,將長方體ABCD-A1B1C1D1補(bǔ)成長方體ABCD-A2B2C2D2,使AA1=A1A2,連接B1C2,DC2,易知AD1∥B1C2,∴∠DB1C2或其補(bǔ)角為異面直線AD1與DB1所成的

角.易知B1C2=AD1=2,DB1=

=

,DC2=

=

=

.在△DB1C2中,cos∠DB1C2=

=

=-

,∴異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為

.解法二(向量法):以A1為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),則A(0,0,

),D1(0,1,0),D(0,1,

),B1(1,0,0),所以

=(0,1,-

),

=(1,-1,-

),所以cos<

,

>=

=

=

.則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為|cos<

,

>|=

,故選C.答案

C考法三空間幾何體的截面問題1.截面的定義:用一個(gè)平面去截空間幾何體,該平面與幾何體表面的交線

圍成的封閉的平面圖形叫做截面.2.作出幾何體的截面的常用方法:相交法,平行法.名師點(diǎn)睛空間幾何體的截面的作圖主要原理:兩個(gè)公理及兩個(gè)性質(zhì).兩個(gè)公理:(1)如

果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們相交于過此點(diǎn)的一條直線;

(2)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在

這個(gè)平面內(nèi).兩個(gè)性質(zhì):(1)如果一條直線平行于一個(gè)平面,經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)

平面相交,那么這條直線就和交線平行;(2)如果兩個(gè)平面平行,第三個(gè)平面

和它們相交,那么兩條交線平行.例3

(2022湖南株洲?？?9)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,設(shè)P為BC

的中點(diǎn),Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn),CQ=t(0<t≤2),過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方

體所得截面記為S.以下結(jié)論正確的有

.(填上所有正確結(jié)論的序

號)①S不可能是菱形;②S可能是五邊形;③t=1時(shí),S的面積為

;④t=

時(shí),S將棱C1D1截成長度比為2∶1的兩部分.解析①當(dāng)t=2時(shí),Q與C1重合,取A1D1的中點(diǎn)F,連接AF,C1F,C1P,AP,如圖a,

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知AF∥PC1,AF=PC1,且PC1=C1F=AF=AP,所以截面

APC1F為菱形,故①錯(cuò)誤.

對于②④,當(dāng)t=CQ=

時(shí),延長AP,交DC的延長線于O,連接OQ并延長,交C1D1于R,在A1D1上截取A1F=

,連接AF,FR,PQ,由于tan∠A1FA=tan∠QPC=

,易知AF∥PQ,結(jié)合A,P,O,Q,R共面可知APQRF為截面S,如圖b.

由點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),可得CO=CD=AB=2,又

=

=

,∴S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R=

,即S將棱C1D1截成長度比為2∶1的兩部分.故②④正確.對于③,當(dāng)t=CQ=1時(shí),根據(jù)正方體的性質(zhì)可知PQ∥AD1,PQ=

AD1,且AP=D1Q,如圖c,S為等腰梯形,

可得PQ=

,AD1=2

,等腰梯形的高為