余弦定理及應(yīng)用 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

6.4.3余弦定理第六章平面向量及其應(yīng)用在直角三角形這種特殊的三角形中，已知直角和兩邊可以求第三邊，已知三邊可以證明是否是直角。在一般三角形中邊長(zhǎng)和角度有什么關(guān)系呢？復(fù)習(xí)引入bca創(chuàng)設(shè)情境

武廣高鐵的路線規(guī)劃要經(jīng)過一座小山丘，就需要挖隧道，從而涉及到一個(gè)問題，就是要測(cè)量出山腳的長(zhǎng)度.而兩山腳之間的距離是沒有辦法直接測(cè)量的，那要怎樣才能知道山腳的長(zhǎng)度呢？ABC500m120°實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題在△ABC中，已知AC=500m，BC=300m，C=120°，求AB.300mbac=？從特殊到一般：已知三角形的兩邊及其夾角,求第三邊.即：已知a、b及C,求c.素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.了解余弦定理的推導(dǎo)過程2.掌握余弦定理的幾種變形公式及應(yīng)用3.能利用余弦定理求解三角形的邊、角等問題1.數(shù)學(xué)運(yùn)算2.數(shù)學(xué)抽象3.邏輯推理學(xué)習(xí)目標(biāo)

bc=？a分析：因?yàn)樯婕暗氖侨切蔚膬蛇呴L(zhǎng)（a和b）和它們的夾角(C)，所以我們可以考慮用向量的數(shù)量積公式來研究.

在△ABC中，三個(gè)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,怎樣用a、b和C表示c？

①把幾何元素用向量表示：②向量如何轉(zhuǎn)化成數(shù)量？等式兩邊同時(shí)平方：③向量式化成幾何式：cba三角形中有別的數(shù)量關(guān)系嗎？能否用a、c和角B表示b？探究1：在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，怎樣用a，b和角C表示c？

cba

③向量式化成幾何式：①把幾何元素用向量表示：②向量轉(zhuǎn)化成數(shù)量：這三個(gè)式子有什么共同特點(diǎn)嗎？

1、余弦定理bca思考：你能用其它方法證明余弦定理嗎？比如坐標(biāo)法，用b、c邊和角A表示出a邊？余弦定理三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.即余弦定理1坐標(biāo)法

已知三邊求任意一個(gè)角(SSS型)2、余弦定理的推論

bca=?已知兩邊和夾角，求第三邊(SAS型)問題：余弦定理可以解決三角形的哪類問題？

bcabca解：由余弦定理，得應(yīng)用知識(shí)c2=a2+b2－2abcosC

=3002+5002－2×300×500×cos120°

=490000所以

c=700(m)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題例1在△ABC中，已知a=300m，b=500m，C=120°，求c．ABC500m120°300mbac=？從特殊到一般：已知三角形的兩邊及其夾角,求第三邊.即：已知a、b及C,求c.(SAS型)典例分析題型2已知三邊解三角形(SSS型)解：由余弦定理得

例2在△ABC中，a=5，b=2，c=，求角C.

b=2

a=5

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關(guān)系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系．你能說說這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎？余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例．3、余弦定理與勾股定理的關(guān)系在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，則cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，這便是勾股定理.bca

c2＝a2＋b2AaBCbcAcbAbc=探究3：當(dāng)角C為直角時(shí)，有c2=a2+b2，當(dāng)角C為銳角時(shí)，這三者的關(guān)系是什么？鈍角呢？推論：當(dāng)C為銳角時(shí)，c2

a2+b2當(dāng)C為鈍角時(shí)，c2

a2+b2當(dāng)C為直角時(shí)，c2

a2+b2

><鞏固練習(xí)C在△ABC中，a=7，b=5，c=3，判斷△ABC的形狀為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

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余弦定理文字表述三角形中任何一邊的平方，等于

減去這兩邊與它們的

的兩倍.公式表達(dá)a2＝

，b2＝

，c2＝

.應(yīng)用判斷三角形的形狀：c2＝a2＋b2?C為

；c2>a2＋b2?C為

；c2<a2＋b2?C為

．解三角形：（1）已知三條邊，求

；

（2）已知兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角其他兩邊的平方的和夾角的余弦的積bca直角鈍角銳角三角作業(yè)：《課時(shí)作業(yè)本》