2022年江蘇省常熟市高考數(shù)學一模試卷及答案解析

2022年江蘇省常熟市高考數(shù)學一模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={x*-2x-3<0},貝ijACB=（）

A.{-2,-1,0}B.{2}C.{0,1}D.{0,1,2}

2.（5分）已知i是虛數(shù)單位，且復數(shù)2=舞缶6/?）為純虛數(shù)，則。=（）

22

A.一不B.-C.-6D.6

33

3.（5分）設(shè)a,b,c,"是非零實數(shù)，則"ad=bc"是"a,b,c,4成等比數(shù)列”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.（5分）若則下列不等式中正確的是（）

1I

A.（1—Q）3>（1—Q）2B.log（1-°）（1+〃）>0

C.（1-a）3>（1+a）2D.（1-a）1+0>1

5.（5分）若直線ax-4y+2=0與直線2x+5）+c=0垂直，垂足為則a-Hc=（）

A.-6B.4C.-10D.-4

6.（5分）用一平面截圓柱，得到如圖所示的幾何體，截面橢圓的長軸兩端點到底面的距離

分別為3和5,圓柱的底面直徑為4,則該幾何體的體積為（）

7.（5分）已知圓/+，=/過雙曲線版■—京=1（。>0,Z;>0）的右焦點凡且圓與雙曲

線的漸近線在的一、四象限的交點分別為A、B,若四邊形OAFB為菱形，則雙曲線的離

心率為（）

A.V2B.2C.2V2D.4

8.（5分）若函數(shù)f（x）=sin（3%+芻在區(qū)間［0,n）內(nèi)有且只有兩個極值點，則正數(shù)3的取

第1頁共21頁

值范圍是（）

A.[|，|]B.[|,|）C,弓，曾D.第

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）已知圓C：-4x+2=0,點P（a,b）是圓C上的動點，以下結(jié)論

正確的是（）

A.圓C關(guān)于直線x+3y-2=0對稱

B.直線y=x-3與圓C相交所得弦長為歷

C.—^7的最小值為-1

Q—4

D.j+廿的最大值為2+企

（多選）10.（5分）已知矩形A8C￡>,AB=V2,AD=2,將沿矩形的對角線8。所

在直線進行翻折，在翻折過程中，以下說法正確的是（）

A.存在某個位置，使得ACLBO

B.存在某個位置，使得

276

C.四面體ABCO的體積最大值為飛-

D.四面體ABCD的外接球表面積為6TT

（多選）11.（5分）網(wǎng)絡(luò)流行語“內(nèi)卷”，是指一類文化模式達到某種最終形態(tài)后，既沒辦

法穩(wěn)定下來，也不能轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌男螒B(tài)，只能不斷地在內(nèi)部變得更加復雜的現(xiàn)象數(shù)學中的

螺旋線可以形象地展示“內(nèi)卷”這個詞.螺旋線這個詞來源于希臘文，原意是“旋卷”

或“纏卷”，如圖所示的陰影部分就是一個美麗的旋卷性型的圖案，它的畫法是：正方形

ABCD的邊長為4,取正方形ABCD各邊的四等分點E,F,G,”，作第二個正方形EFGH,

然后再取正方形EFGH各邊的四等分點M,N,P,。，作第三個正方形MNPQ,按此方

法繼續(xù)下去，就可以得到下圖.設(shè)正方形ABCO的邊長為“1，后續(xù)各正方形的邊長依次

為“2,。3,…，an,???；如圖陰影部分，設(shè)直角三角形AE”面積為歷，后續(xù)各直角三角

形面積依次為歷，為，…，也“….下列說法正確的是（）

第2頁共21頁

A.正方形MNPQ的面積為77

16

7io

B.a?=4X(——)n1

4

C.使不等式與〉!成立的正整數(shù)”的最大值為4

一

D.數(shù)列｛尻｝的前〃項和5〃V4

(多選)12.(5分)已知定義在R上的函數(shù)/(%)="1+sin2x-51-s譏2%|,則()

A./(-x)=f(x)

B.f(x+分=f(x)

C.f(x)的值域[0,2]

D.f(%)22cosx的解集為g+2/cTT,岑+2/CTT],keZ

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知等差數(shù)列｛即｝的前〃項和為S=，若改=1,56=12,則“8=.

%2y2

14.(5分)已知4(1,V3),尸是橢圓C：$+三~=1的左焦點，點P是橢圓C上的動點,

則PA+PF的最小值為.

15.(5分)已知平行四邊形4/￡＞中,幾?6=3,點P滿足A?而=4,則而.而=.

16.(5分)已知正方體ABCO-AiBCiDi的棱長為3,點P在棱481上運動，點。在棱

BC上運動，且PQ與DDi所成角為30°.若線段PQ的中點為M,則M的軌跡長度

為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)如圖，點A是單位圓。與x軸正半軸的交點，點B是圓。上第一象限內(nèi)的動

71

點，將點3繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)]至點C,記NA08=e.

第3頁共21頁

34

(1)若點8的坐標為(g,-),求點C的坐標；

(2)若/(0)=BC-OA,求/(。)的單調(diào)遞增區(qū)間.

18.(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線E：y2=2px(p>0)的準線經(jīng)過點尸(-

1,2).

(1)直線0P與拋物線E的另一個交點為Q,求拋物線E在點。處的切線方程；

(2)對(1)中的Q,設(shè)M為拋物線E上的點，滿足向M?Q%=7,求點M的坐標.

19.(12分)如圖，在四棱錐P-ABC。中，雨，平面ABC。，AD//BC,AB=BC=CD=\,

V3

A￡>=2,直線8c與平面PC。所成角的正弦值為匚.

4

(1)求證：平面尸C￡>_L平面抄1C；

(2)求平面以B與平面PCO所成銳二面角的余弦值.

20.(12分)已知數(shù)列｛如｝滿足“1=1,即+I=卜"+1':為奇數(shù),_____,〃CN*.

12a”n為偶數(shù)

從①與=。2小1+2,②d=42"+1-a2”.I,這兩個條件中任選一個填在橫線上，并完成下面

問題.

(1)寫出加,歷,并求數(shù)列｛尻｝的通項公式;

(2)求數(shù)列｛斯｝的前W項和S”.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=ax+lnx+\(aGR),g(x)=x(e^+l).

(1)若y=g(x)的圖象在x=0處的切線/與y=f(x)的圖象相切，求實數(shù)a的值;

第4頁共21頁

(2)若不等式/(x)&g(x)對任意的x6(0,+8)恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

_X2V2

22.(12分)在平面直角坐標系中，已知橢圓C：—+—=\(.a>b>0))的上頂點B,

左、右焦點分別為乃(-c,0)、尸2(c,0),△QBE是周長為4+4四的等腰直角三角

形.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)過點尸(-1,-1),且互相垂直的直線/1，立分別交橢圓C于"、N兩點及S、T

兩點.

①若直線/1過左焦點Fi，求四邊形MSNT的面積;

|PMHPN|

②求?的最大值.

|PS||PT|

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2022年江蘇省常熟市高考數(shù)學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有--

項是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合4={-2,-I,0,1,2},5={4^-2%-3<0},則ACl8=()

A.{-2,-1,0}B.{2}C.{0,1}D.{0,1,2}

【解答】解：??,集合A={-2,-1,0,1,2),

B={xp-2x-3<0}={x|-

.?.AC8={0,1,2).

故選：D.

2.(5分)已知i是虛數(shù)單位，且復數(shù)2=署(￡1€/?)為純虛數(shù)，則”=()

22

A.—亍B.—C.-6D.6

33

【解答】解：Z=警=(洸;*;)=6一°+,+3a)i為純虛數(shù),

所以2+3aW0且6-4=0,即a=6.

故選：D.

3.(5分)設(shè)a,b,c,d是非零實數(shù)，貝IJ“血=兒”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：若a，b,c,d成等比數(shù)列，則“d=bc,

反之數(shù)列-1,-1,1,1.滿足-1X1=-1X1,

但數(shù)列-1,-1,1,1不是等比數(shù)列，

即“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：B.

4.(5分)若0<a<l,則下列不等式中正確的是()

11

A.(l-a)3>(l-a)2B.log(i.a)(1+a)>0

C.(1-a)3>(1+a)2D.(1-a)l+a>l

1

【解答】解：：0Va〈l,；.OV1-a〈l,1Va+1V2,；.y=(1-儲是減函數(shù)二(1一爐

第6頁共21頁

>(1-a)2,故A對，

因為y=1og(1-〃)"是減函數(shù).'.log(1-。)<1+d)<log(I-。)1=0,故B錯,

Vy=(I-。)”是減函數(shù)且y=(1+〃)]是增函數(shù)，，(1-a)3<(1-a)°=1<(1+a)

2故C錯，

Vy=（1-a）”是減函數(shù)，I.（1-a）1+d<l=（1-6（）°故。錯.

故選：A.

5.（5分）若直線以-4），+2=0與直線2￥+5）葉（?=0垂直，垂足為（1"）,WJa-b+c=（）

A.-6B.4C.-10D.-4

【解答】解：,直線?-4y+2=0與直線2x+5y+c=0垂直，

：.2a+5X（-4）=0,

解得〃=10,

???垂足為（1,b）,

?fl0—4b+2=0

??l2+5b+c=0'

解得b=3,c=-17,

???〃->c=I0-3-17=-10.

故選：C

6.（5分）用一平面截圓柱，得到如圖所示的兒何體，截面橢圓的長軸兩端點到底面的距離

分別為3和5,圓柱的底面直徑為4,則該幾何體的體積為（）

【解答】解：截面橢圓的長軸兩端點到底面的距離分別為3和5,

所以將兩個相同的幾何體可以拼接成一個底面直徑為4,高為8的圓柱,

所以幾何體的體積V=|XTTX22X8=16TT,

故選：A.

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%"v'

7.（5分）已知圓%過雙曲線?-瓦=1（“>（）,b>0）的右焦點尸，且圓與雙曲

線的漸近線在的一、四象限的交點分別為A、B,若四邊形OAFB為菱形，則雙曲線的離

心率為（）

A.V2B.2C.2V2D.4

【解答】解：由題意，直線的一條漸近線方程斜率為百，

8.（5分）若函數(shù)/（x）=sin（a）x+亨）在區(qū)間［0,n）內(nèi)有且只有兩個極值點，則正數(shù)3的取

值范圍是（）

A?廢,flB.停,1）C,電曾D..，第

【解答】解：??,函數(shù)f（x）=sin（3X+5在區(qū)間［0,n）內(nèi)有且只有兩個極值點，且當X

=0時，u)X0+w=w，

.37ryr57r

/.---<O)7l+77<

23T'

解得V3W今

故選：c.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）已知圓C：/+/-4x+2=0,點P（a,b）是圓C上的動點，以下結(jié)論

正確的是（）

A.圓C關(guān)于直線x+3y-2=0對稱

B.直線y=x-3與圓C相交所得弦長為加

C.一二的最小值為-1

D./+/的最大值為2+企

【解答】解：圓C：-4x+2=0可變形為（x-2）2+y=2,

所以圓心C（2,0）,半徑r=&,

第8頁共21頁

對于A,因為圓心C(2,0)在直線x+3y-2=0上,

所以圓C關(guān)于直線x+3y-2=0對稱，

故選項A正確；

對于8,點C(2,0)到y(tǒng)=x-3的距離為d=上竟=挈，

V2乙

所以弦長為1=2Vr2—d2=2J2一年=V6,

故選項8正確；

對于C,一二表示圓上的點到定點Q(4,0)的斜率，

a-4

設(shè)過定點Q(4,0)且與圓C相切的直線方程為y=&Cx-4),

則圓心C到切線的距離d=陪竺I=V2,解得仁士1,

庖

b

所以—7的最小值為-L

a-4

故選項C正確；

對于D,/+廿表示圓上的點到坐標原點距離的平方，

圓上的點到坐標原點距離的最大值為OC+r=2+夜，

所以cr+b1的最大值為(2+V2)2=6+4V2,

故選項D錯誤.

故選：ABC.

(多選)10.(5分)已知矩形ABC。，AB=近,AO=2,將△A3。沿矩形的對角線80所

在直線進行翻折，在翻折過程中，以下說法正確的是()

A.存在某個位置，使得ACLB。

B.存在某個位置，使得AB,8

C.四面體ABC。的體積最大值為

D.四面體48。的外接球表面積為6TT

【解答】解：如圖，AELBD,CFVBD,依題意，AB=V2,BC=2,AE=CF=竽，BE

=EF=FD=坐，

對于A：若存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直，則.?.8。，平面AEC,

從而BI)上EC,這與己知矛盾，排除4

第9頁共21頁

對于8：若存在某個位置，使得直線A8與直線。垂直，則8,平面A8C,平面A8C

_L平面BCD,

取BC中點M,連接ME,則...NAEM就是二面角4-8O-C的平面角，此

角顯然存在，即當A在底面上的射影位于BC的中點時，直線AB與直線CO垂直，故B

正確；

對于C：四面體的體積的最大值為平面ABC平面BCD時取得，最大值為=x

32

0x2x^=等，故C錯誤；

對于6四面體外接球的球心是8。的中點，所以BO為外接球的直徑，又BD=顯,所

以外接球的半徑為漁，表面積為4Tra=6Tr.故。正確；

2

故選：BD.

（多選）11.（5分）網(wǎng)絡(luò)流行語“內(nèi)卷”，是指一類文化模式達到某種最終形態(tài)后，既沒辦

法穩(wěn)定下來，也不能轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌男螒B(tài)，只能不斷地在內(nèi)部變得更加復雜的現(xiàn)象數(shù)學中的

螺旋線可以形象地展示“內(nèi)卷”這個詞.螺旋線這個詞來源于希臘文，原意是“旋卷”

或“纏卷”，如圖所示的陰影部分就是一個美麗的旋卷性型的圖案，它的畫法是：正方形

ABCD的邊長為4,取正方形ABCD各邊的四等分點E,F,G,"，作第二個正方形EFGH,

然后再取正方形MG/Z各邊的四等分點M,N,P,Q,作第三個正方形MNPQ,按此方

法繼續(xù)下去，就可以得到下圖.設(shè)正方形A8CD的邊長為⑶，后續(xù)各正方形的邊長依次

為“2,俏，…，an,如圖陰影部分，設(shè)直角三角形AE4面積為加，后續(xù)各直角三角

形面積依次為歷，為，…，bn,下列說法正確的是（）

第10頁共21頁

G

DC

25

A.正方形MNPQ的面積為77

16

B.斯=4Xnl

4

C.使不等式樂〉!成立的正整數(shù)n的最大值為4

4

D.數(shù)列｛仇｝的前〃項和S〃V4

【解答】解：由題可得。1=4,。2=居的)2+(%)2=魯1，43=12

（4a2）2+（4a2）2=

zVion,2:3-710

<-）2a\.....。"=1（4即-1）2+（4即_力2=丁即一1，

I-=乎，所以數(shù)列｛即｝是以4為首項，平為公比的等比數(shù)列，則即=4?(半產(chǎn)-1,

則，

an-l

99即2%田2

由題意可得SzsAE/尸SABCD-SEFGH,即加=//2,b2=,……,b,,=

"?尹4

于是依理尊2n-2

=夫Q|q廠】

4

Vio

對4：正方形MNP。的面積5=的2=[4乂(—)2]2=竽，故A不正確;

4

對3：由上述分析3正確;

“「，3,5、_i,3,15,75,375、2561,1875,1

對C：方=2?(就n1】，加=可為=訶，為=例，b^=1024>W24=4'b5=8192

所以為>〃成立的正整數(shù)〃的最大值為4,故C正確；

對。：4[l-(1)n]<4,故。正確.

故選：BCD.

(多選)12.(5分)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|V1+sin2x—V1—sin2x\,則()

A./(-x)=f(x)

B.,/(x+2)=f(x)

C./（x）的值域[0,2J

第11頁共21頁

D.f(x)22cosx的解集為岐+2々冗，萼+2左利，kEZ

【解答】解：對于4,/(-%)=\y/l+sin(-2x)-y/1—sin(-2x)|=|V1+sin2x—

y/1—sin2x\=/(%),故A正確；

對于B,/(%+芻)=|J1+si?i(2x+yr)—^/l-sin(2x+TT)|=|V1+sin2x—

Vl-sin2x\=/(%),故B正確；

對于C,由選項B可知，/(x)的周期為E不妨設(shè)xe[O,y],

2，

/(x)=|V1+sin2x—Vl—sin2x\=\y/(sinx4-cosx)2—yj(sinx—cosx)2|=||sirLr+cosx|

兀

oX<<一

(2sinx,-4

<

Hsinx-cosx||=-〃

7_r一

2cosx,4<x2

可得f(x)G[0,V2],故C錯誤；

JI37r

①當cosxWO時，即一+2kn<x<—+2krt,依Z時，

22

由于f(x)20恒成立，所以，(x)22cosx恒成立；

f(x)22cosx的解集為g+2/CTT,等+2k7r],kGZ

②當cosx>0時，即2E:VxV*+2/CTT或工-<X<2H+2kn,k￡Z,

由/(x)22cosx得，y2(x)，4cos2尤，

整理得2-2yleos?Qx)>4COS2X,

即Jcos2(2%)<1-2COS2X,

所以|cos2x|W-cos2x,

所以cos2xW0,

?一兀37r

所以一+2kn<2x<—+2kn,k6Z,

22

e/d兀37r

解得-4-/CTT<%<—4-kn,kEZ,

44

77,、37r

又2kli<x<3+2/CTT或—<x<2TT+2kli,

22

?，兀nj3TT7TT

所以一+2kn<x<—+2/CTT或—+2kn<x<—+2/CTT,kEZ,

4224

7T7n

綜合①②，可得不等式解集為L+2人兀，一+2/OT],左Z,故。錯誤;

44

故選：AB.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

第12頁共21頁

13.(5分)已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”若42=1,56=12,則圖=5.

【解答】解：由題意可得仇卡4d19,解得d=L

(6QI+15a=1233

i14

則。8=。1+71=可+手=5，

故答案為：5.

%2y2

14.(5分)已知4(1,V3),尸是橢圓C：萬+衛(wèi)~=1的左焦點，點尸是橢圓C上的動點，

則南+尸尸的最小值為4.

【解答】解：設(shè)點尸2為橢圓的右焦點，

22

：.PF+PF2=2a=6,\AF2\=J(2-l)+(0-V3)=2,

：.PA+PF=PA+f>-PFi，

當P、4、尸2三點共線時，B4-PF2最小值為-2,

即PA+PF^f>-2=4.

故答案為：4.

15.(5分)已知平行四邊形A8C。中,G?而=3,點P滿足易?無=4,則而?PD=7.

【解答】解：PB-PD=CPA+ABXPC+CD)CPA+ABXPC-DC)(PA+AB>

(PC-AB)=PA*PC+AB<-PA+PC-AB)=PA'PC+AB^AC-AB)=PA*PC+AB

?BC=PA'PC+AB'AD=4+3=7.

故答案為：7.

16.(5分)已知正方體ABC。-AIBICIQI的棱長為3,點尸在棱Ai8i上運動，點。在棱

8C上運動，且P。與。G所成角為30°.若線段PQ的中點為M,則M的軌跡長度為

V3

—n.

4-

【解答】解：以。為坐標原點，分別以DC,所在直線為x,y,z軸建立空間

直角坐標系，

過P作于點R,???QR〃OQi，PQ與。功所成的角為30°.

：.ZQPR=30Q,且△PRQ為直角三角形，

則|PQ|=2>/1

設(shè)尸(3,m,3),Q(小3,0),0W，〃，“W3,

第13頁共21頁

3

再設(shè)PQ的中點M(x,y,-),

Ax=y=B|Jn=2x-3,m=2y-3,

由|PQ|=J。一3"+(加一3)2+9=2遍,可得(〃-3)2+(加-3)2=3,

c2o733

即(x-3)+(y-3)2=?(-<x^3,”yW3),

可得M的軌跡為工圓弧，的軌跡的長度為工x如x*=47r.

44Z4

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）如圖，點A是單位圓。與x軸正半軸的交點，點8是圓。上第一象限內(nèi)的動

點，將點8繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn);至點C,記/AO8=&

34

（1）若點8的坐標為（g,-）.求點C的坐標；

（2）若y（e）=BC*OA,求了（。）的單調(diào)遞增區(qū)間.

【解答】解：⑴因為點B的坐標為(-,-),所以cos0=F，sin0=所以cos(0+60°)

5533

—"心八八久八。_z，八。_314y/3_4/3—3

cosucosou-sinSsinoO-q?5一■=",?—,

4

-2+焉,學=—?所以點C的坐標為（cos

sin(0+60°)=sin0cos6O°+cos0sin6O°5

4V3-33V3+4

(8+60°),sin(0+60°))=(------,------).

1010

第14頁共21頁

(2)由(1)知C(cos(0+60°),sin(0+60°)),B(cos。，sin。)，OA=(1,0),

BC=(cos(0+60°)-cos0,sin(0+60°)-sin0)=(-2sin(9+30°)sin30°,2cos

(0+30°)sin30°)=(-sin(0+30°),cos(0+30°)),

所以6?&=—sin(e+30°)*l+cos(0+3O°)*0=-sin(0+3O°)=-sin(0+1),

TCTTTC4TT

一+2始W畔+2始，一畔+2E，依Z,

26233

n47r

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是q+2E,—+2kn],kez.

18.(12分)在平面直角坐標系直為中，已知拋物線氏>2=2px(p>0)的準線經(jīng)過點P(-

1,2).

(1)直線OP與拋物線E的另一個交點為Q,求拋物線E在點。處的切線方程；

(2)對(1)中的Q,設(shè)M為拋物線E上的點，滿足局?誦=7,求點M的坐標.

【解答】解：(1)由已知可得—號=一1,p=2,所以拋物線方程為y2=4x,

直線”的方程為產(chǎn)g沅方解得后工，或

所以點。的坐標為(1,-2),

設(shè)拋物線E在點Q處的切線方程為(y+2)+1,

｛，工2+2)+I消去x整理得/-4〃?)，-8/n-4=0,

由A=16〃，+32m+16=0,可得加=-1,

所以切線方程為x+y+l=0.

y2—y2y2

(2)設(shè)M,卻)，PM=+1,yo-2),QM=-1,yo+2),

444

ttV4r

PM?QM=*+y()2-4=7,

所以(yo2-8)(>-O2+24)=0,解得加=±2北，

所以Af(2,2企)或M(2,-2V2).

19.(12分)如圖，在四棱錐P-ABC。中，%_L平面ABC。，AD//BC,AB=BC=CD=1,

V3

AD=2,直線BC與平面PCD所成角的正弦值為一.

4

(1)求證：平面尸C￡?J_平面布C；

(2)求平面以B與平面PCO所成銳二面角的余弦值.

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【解答】(1)證明：取AO的中點E,連接CE,

因為AO〃8C,AB=BC=CD=1,AO=2,

則四邊形ABCE為平行四邊形，

所以CE=A8=1=1A。，

則CD1AC,

因為B4_L平面ABC。，C￡>u平面ABC。，

貝I」CDLPA,

又以CAC=A,PA,ACu平面必C,

故C￡)_L平面PAC,

又CDu平面PCD,

故平面Pcr>_L平面處c；

(2)解：過點8垂直于點M,以點M為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示,

設(shè)以=機，機>0,

則B除0,0),C律,1,0),P(0,m),D(0,0),4(0,-1,0),

tt叵2->1

所以BC=(0,1,0),PC=(—竽，一去m),CD=(一竽，3,0),

設(shè)平面PCD的法向量為/=(x,y,z),

「二V33?

叫\(zhòng)n--PC=一f％一"+mz=0，

(九?CD=—+3y=0

令1=1,則y=V5,z=

故幾=(1,W，

第16頁共21頁

因為直線BC與平面PCD所成角的正弦值為一，

4

則|cos<BC,n>\=吁例=-]■=乎,

|BC||n|lx1+3+124

解得〃2=1，

所以p（o,—1），

故￡=(Lb，2①

因為旗=(修，0),PA=(0,0,-1),

設(shè)平面的法向量為茄=(a,b,c),

則卜=W+k=。，

(m-Pi4=-c=0

令〃=1,則b=-V3,

故m=(1,—V3/0),

所以|cos￡,/>1=犒="+3+：*訂+3=1

1

故平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為一.

4

。九+1,n為奇數(shù)

20.（12分）已知數(shù)列｛如｝滿足〃i=l,an+i=

2an,n為偶數(shù)

從①氏=〃2〃-1+2,②仇=。2〃+1-I，這兩個條件中任選一個填在橫線上，并完成下面

問題.

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（1）寫出歷，歷,并求數(shù)列｛兒｝的通項公式;

（2）求數(shù)列｛a“｝的前〃項和S”.

【解答】解：（1）若選①，

+1,n為奇數(shù)

**,數(shù)列｛斯｝滿足=1,

（2an,n為偶數(shù)

??hn+1=。2〃+1+2—2。2〃+2=2〃2〃-1+1+2—2(ci2n-1+1)+2—2(-1+2)—，

■:b\=ai+2=3,

???｛〃〃｝是首項為3,公比為2的等比數(shù)列，

?,?a=3?2〃-1,???加=3,歷=6.

若選②，

a+Ln為奇數(shù)

■:數(shù)列｛斯｝滿足a1=LCln+1=n

2an,n為偶數(shù)'

???尻=。2〃+1-42〃」=(3?2〃-2)-(3?2丁1-2)=3?2"-1

歷=6.

(2)。2，＞1=3?2”“-2,。2，1=。2"-1+1=。2"-1+1=3?2〃1-1,

。2〃-1+。2〃=3?2”-3,

當〃為偶數(shù)時，

=

Sn(。1+。2)+(。3+。4)+?+(即-1+?！?

=3?2-3+3?22-3+?+3?22-3

^6(1-22)n

-1-2，2

n3

=6-22--n—6.

當n為奇數(shù)時，

Sn=（。1+。2）+（。3+。4）+?+（如-2+?！?1）+斯

_n_-13_n—_1

=6?2?-2(〃-1)-6+3?2?一2

一一1313

=9.2丁一.一寧

九3V

6?22-產(chǎn)-6,XI為偶數(shù)

,數(shù)列｛斯｝的前項和

nSn=4九一1Q1Q

9.22—2n—2~fn為奇數(shù)

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=ax+lnx+l(tzGR),g(x)=x(e'+l).

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(1)若y=g(x)的圖象在無=0處的切線/與y=/G)的圖象相切，求實數(shù)〃的值；

(2)若不等式/(x)Wg(x)對任意的在(0,+8)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【解答】解：(1)由g(x)=x(，+1),得g'(x)=k'+1+X，，gr(0)=2,切點(0,

0),

所以切線/的方程為)，=2x,

11

設(shè)/與/(x)切于尸(xo，axo+lwco+1),f(x)=。+-，k=aT---,

xxo

所以卜+*=2,解得刈=1,a=\,

[ax0+lnx0+1=2x0

(2)由/(x)<g(x)得以(c'+l),所以〃由+?'nX--

又不等式/(%)Wg(x)對任意的尤(0,+8)恒成立,

一,xex^x-lnx-l

所以()mini

X

xex+x-lnx-lex+lnx+x-lnx-lx+Znx+l+x-Znx-1

-------------=----------------->-------------------=2,

xXX

當且僅當X+/HX=0時取等號，令cp(x)=x+lnxf

又叩(x)在(0,+8)上為單調(diào)遞增函數(shù)，且叩(1)=1-1<0,(p(1)=1>0,

1

所以存在唯一的耶€(￡1)使(P(即)=0,可取等號，

所以〃W2,即實數(shù)。的取值范圍為(-8,2].

X2V2

22.(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C