2021重慶八中-中考數(shù)學(xué)模擬試題含答案解析

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2021重慶八中-中考數(shù)學(xué)模擬試題含答案解析

（全卷共四個(gè)大題，滿分150分，考試時(shí)120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.試題的答案書寫在答跑卡上，不得在試卷上直接作答：

2.作答前認(rèn)真閱讀答瞿卡上的注意事項(xiàng)；

3.作圖（包括輔助線）請(qǐng)一律用2B鉛筆完成：

4.考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題和笥磔卡一并收回.

參考公式：拋物線y=ax"bx+c（a￥0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)（一，號(hào)婦），對(duì)稱軸為x==.

2a4a2a

一、選擇題（本大題12個(gè)小題，每小題4分，共48分）在每個(gè)小題的下面，都給出

了A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答

案所對(duì)應(yīng)的框涂黑.

1.下列四個(gè)數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

A.-1B.0C.y/8D.3.3

解：無限不循環(huán)小數(shù)即是無理數(shù)，故選C.

2.下面有4個(gè)汽車標(biāo)志圖案，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（）

3.在函數(shù)y=VTT號(hào)中，自變量x的取值范圍是（）

A.x>-5B.x>-5C.xr-5D.xWO

解：由x+5/解得x>-5,故選B.

4.如圖，以點(diǎn)0為位似中心，把AABC中放大到原來的2倍得到AAEC.以下說法中錯(cuò)

誤的是（）

A.AABC~AA,B,C,

B.點(diǎn)C,0.C三點(diǎn)在同一條直線上

C.AO：AA'=1：2

I).AB〃A'B'

解：AABC~AAEC,正確；點(diǎn)C,0.。三點(diǎn)在同一條直線上，正確：AO：0AF：2,

AO：AAf=l：3,C錯(cuò)誤：AB〃AB,正確.

5.估計(jì)夕+01的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在哪兩個(gè)數(shù)之間（）

A.5和6B.6和7C.7和8D.8和9

解：V7iV28=V7+2V7=3V7=V63.7=>/49<V63<V64=8.故選C.

6如圖，AB是00的直徑，MT切00于點(diǎn)T.若NMTA=50。，則NBOT的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.80°D.100°

解：Z0TM=90°,ZMTA=50°.Z.Z0TA=40°,OA=OT.Z0AT=Z0TA=40°.

ZB0T=Z0AT+Z0TA=80°,故選C.

7.下列命題正確的是（）

A.兩直線平行同位角互補(bǔ)

B.三角形的外心到三角形三條邊的距離相等

C.順次連接矩形四邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是菱形

D.有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

解：兩直線平行同位角相等，A錯(cuò)誤；三角形的外心到

三角形三頂點(diǎn)的距離相等，B錯(cuò)誤；順次連接矩形四邊中點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的每一邊都

等于對(duì)角線的一半，是菱形，正確：有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全

等，若兩邊且兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的三角形才全等，D錯(cuò)誤.故選C.

8.古代“繩索量羊”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托，折回索去量竿子，

卻比竿子短一托.”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5

尺；如果將繩索對(duì)半折后再去量竿，就比竿短5尺.設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，則符

合題意的方程組是（）

,x=y+5fx=y-5#=y+5nfx=y-5

''=y-5'=y+5'（2x=y-5'[2x=y+5

解：由繩索比竿長(zhǎng)5尺得x=y+5：由將繩索對(duì)半折后再去量竿，就比竿短5尺得

gx=y-5,故選A.

9.某游客乘坐“金碧皇宮號(hào)游船”在長(zhǎng)江和嘉陵江的交匯處A點(diǎn)，測(cè)得來福士最高

樓頂點(diǎn)F的仰角為45。.此時(shí)他頭頂正上方146

米的點(diǎn)B處有架航拍無人機(jī)測(cè)得來福士最高樓頂

點(diǎn)F的仰角為31。，游船朝碼頭方向行駛120米

到達(dá)碼頭C,沿度i=l:2的斜坡CD走到點(diǎn)D,再向

前走160米到達(dá)來福士樓底E,則來福士最高樓EF

的高度約為（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：sin31°

七0.52,cos31°?=0.87,tan31°^0.60）

9題圖

A.301.3米B.322.5米C.350.2米D.418.5米

解：如圖，延長(zhǎng)FE交AC延長(zhǎng)線于應(yīng)過B作BGXFE于G,過D作DH1AM于H

易證四邊形ABGM、四邊形EDHM均為矩形，，BG=AM,EM=DH,DE=HM=160,AB=GM=146

設(shè)HC=2a,則DH=EM=a,；.AM=BG=AC+HC+HM=AC+HC+DE=120+2a+160=280+2a

NFAC=45。，F(xiàn)M=AM=280+2a,FG=FM-GM=AM-AB=280+2a-146=134+2a

???tanZFBG=tan31°=盜=段券=0.6,解得a=，

BG280+2a2

EF=FM-EM=280+2a-a=280+a=280+y=322.5,故選B.

10.如果關(guān)于x的分式方程T+2=l-有整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組

(三>o

3的解集為x>4,那么符合條件的所有整數(shù)a的值之和是()

(X4-2<2(x—1)

A.7B.8C.4D.5

解：1Z^.+9=J_<^1Z^+2L^=__^+J_=0ox=^-(x#2=aWl,2-a#

x-22-xx-2x-2x-2x-2x-2x-22-a

0=>a#2),又：x為整數(shù)，，a=0,3,4號(hào)>O=x>a,x+2<2(x-l)=x>4,/.a<4,

故符合條件的所有整數(shù)a為0,3,4,和值為7,選A.

11.周末，小明騎自行車從家里出發(fā)去游玩.從家出發(fā)1小時(shí)后到達(dá)迪諾水鎮(zhèn),游玩

一段時(shí)間后按原速前往萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng).小明離家1小時(shí)50分

鐘后，媽媽駕車沿相同路線前往萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng).媽媽出發(fā)25

分鐘時(shí)，恰好在萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)門口追上小明.如圖是他們離

家的路程y(km)與小明離家時(shí)間x(h)的函數(shù)圖象，則下

列說法中正確的是()

A.小明在迪諾水鎮(zhèn)游玩lh后，經(jīng)過就到達(dá)萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)

B小明的速度是20km/h,媽媽的速度是60km/h

C.萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)離小明家26km

D.點(diǎn)C的坐標(biāo)為管,25)

解：A-B表示小明在迪諾水鎮(zhèn)游玩1小時(shí)，媽媽在小明

離家1小時(shí)50分出發(fā)，也就是媽媽出發(fā)10分鐘后，

小明才從迪諾水鎮(zhèn)出發(fā)，經(jīng)過25-10=15分鐘(為)到

達(dá)萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng),A錯(cuò)誤：小明速度1小時(shí)走了20km,速度

為20kin/h,游玩1小時(shí)后又走了20X-i=5kin到達(dá)萬(wàn)達(dá)

4

廣場(chǎng)，故萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)離小明家為20+5=25km,C錯(cuò)誤，媽

媽的速度為25+M60km/h,B正確：萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)離小明

6012題圖

家25km,C點(diǎn)縱坐標(biāo)為25,C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2+；4h,D錯(cuò)

44

誤，故選B.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，^ABO的頂點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，反比例函數(shù)yi（k<0.

x<0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、C,若AB=AO=CO,tanNBAO^,且2NC0B=NBA0,當(dāng)取心3時(shí)，

k的值為（）

A.-6B.-3C.-73D.一4：

43

解：過A分別作x軸、y軸垂線，垂足分別為點(diǎn)F、點(diǎn)E,易證四邊形AEOF為矩形,

.,.AD=OF,設(shè)AD長(zhǎng)a,貝UOF=a,VAB=A0,AF1BO,.*.BF=OF=a,0B=2a

80z

設(shè)NC0B=a,則NBA0=2a,VZABO=ZAOB---^2.-90°-a

/.ZBD0=180o-ZAB0-ZC0B=180°-(90°-a)-a=90°,即AB_LCO

設(shè)OD=3t,由tanNBA吟知AD=4t,在RtAODA由勾股定理易得AO=5t,.-.C0=A0=AB=5t

.*.CD=C0-0D=2t,BD=AB-AD=t

.?.SAM:：OD=2t：3t=2：3,.,.SAA0D=1

，SABM>:SA*(?=BD:AD=t：4t=l:4,.,.SAK?=^$?8三

45

123

??SAABO=SABOD+5^(?=^-+^=3

：A在反比例函數(shù)y上上，AE=a，且點(diǎn)A在第二象限，.??0E—>

x—a

Z.SMBO=|OBXAF=iOBX0E=iX2aX(5)=3,解得k=-3,故選B.

二、填空：（本大題6個(gè)小題，每小題4分，共24分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答

上答題卡中對(duì)應(yīng)的橫線上.

13,2021年第一季度，我市在改環(huán)境綠化方面投入資金達(dá)到4080000元，4080000元

用科學(xué)記數(shù)法表示為1

解：4080000=4080000=4.08X106.

14.-12+|V3-2|=.

解：原式=-1+2-仔1-代.

15.如圖，四邊形ABCD是矩形，以AB中點(diǎn)0為圓心,

AB為直徑畫圓，。。與CD相切于點(diǎn)E,已知AB=8,則

15題圖

陰影部分的面積為.（結(jié)果保留7T）

解：連?妾OE,：CD與00相切，.\OEJ_CD,又：四邊形ABCD是矩形，.?.四邊形0ADE,

四邊形OBCE均為正方形，；.S狼峭皿=S皿.+S琰moBCB^nXOA'OBXBCne+dn.

JOU

16.現(xiàn)有三張分別標(biāo)有數(shù)字-5、0,1的卡片，它們除數(shù)字不同外其余完全相同，把

卡片背面朝上洗勻，從中任意抽取一張，將上面的數(shù)字記為m,放回后從卡片中再任

意抽取一張，將上面的數(shù)字記為n,則一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過第三象限的概率

是

解：一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過第三象限的條件

是mWO且m>0或m<0且n<0

\-501

-5m=-5,n=-5m=-5,n=0m=-5,n=l

0m=0,n=-5m=0,n=0m=0,n=l

17題圖

1m=l,n=-5m=l,n=0m=l,n=l

一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過第三象限的概率是！

17.如圖，在菱形ABCD中，AB=5.tanD=^點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)（不與B,C重合），將四

邊形AECD沿直線AE翻折后，點(diǎn)C落在C處，點(diǎn)D落在D'處,C'D'與AB交于點(diǎn)F,

當(dāng)C'D'_LAB時(shí)，CE長(zhǎng)為

解：【構(gòu)建A型相似結(jié)合勾股定理、三角函數(shù)、代數(shù)法可得CE長(zhǎng)，合理添加輔助線

是本題關(guān)鍵】延長(zhǎng)EC交AB于H,過E作EG1AB于G,VC'D'XAB,.".CF/ZEG

...△HFC'~AHGE

:四邊形ABCD為菱形，AB=5.，AB=AD=BC=5,EC〃AD,ZB=ZD

由翻折的性質(zhì)知AD=AD，=5,C'D，=CD=5,ZD=ZD\CE=C'E,EH〃AD「.?.NHCF=ND，=ND,

VtanD^,.?.tanD，*",由勾股定理易知AF=3,DFM.，BF=2,FC=1

4DF'4

C，HC，F(xiàn),C，F(xiàn)xAD，lx55

VEH/7AD'.AACTH-ADTA,.,.-,.-.CH---

AD'D'FD'F44

設(shè)CE=t,則EH=CH+CE=CH+CE=^+t,BE=BC-CE=5-t

4

；sinB彌sinD=笫q?..EG=|BE=3等

：AHFC'~AHGE,.?.手罌,即」r?-，解得t丹，即CE的長(zhǎng)為？

EGEH3—tj+t77

18.重陽(yáng)佳節(jié)來臨之際，某糕點(diǎn)店對(duì)桂圓味、核桃味、綠豆味重陽(yáng)糕(分別記為A,B,

C)進(jìn)行混裝，推出了甲乙兩種盒裝重陽(yáng)糕.盒裝重陽(yáng)糕的成本是盒中所有A,B,C的

成本與盒裝包裝成本之和，每盒甲裝有6個(gè)A,2個(gè)B,2個(gè)C.每盒乙裝有2個(gè)A,4

個(gè)B,4個(gè)C.每盒甲中所有A,B,C的成本之和是1個(gè)A成本的15倍，每盒乙的盒裝

包裝成本是每盒甲的盒裝包裝成本的方倍，每盒乙的利潤(rùn)率為20%,每盒乙的售價(jià)比

每盒甲的售價(jià)高20%,當(dāng)該店銷售這兩種盒裝重陽(yáng)糕的總銷售額為31000元，總利

潤(rùn)率為24%時(shí)，銷售甲種盒裝重陽(yáng)糕的總利潤(rùn)是元.

解:

ABC重陽(yáng)糕成本包裝成本每盒總成本每盒售價(jià)

4

甲盒62215A=6A+9A(2B+2C)tt+15A=m-m

3

8

乙盒24420A=2A+18A(4B+4C)3gt+20A=1m-m

5

如上表,設(shè)A、B,C的成本分別為A、B、C.V6A+2B+2C=15A,/.2B+2O9A

故乙盒重陽(yáng)糕的成本為2A+4B+4c=2A+2(2B+2C)=20A

設(shè)甲盒包裝成本為t,則乙盒包裝成本為京，故甲盒總成本為t+15A,乙盒總成本為

gt+20A,令甲盒總成本t+15A=m,則乙盒總成本孑+20人3(t+15A)中1>

:每盒乙的利潤(rùn)率為20%,.?.乙盒單價(jià)為/X(1+20%)=1m

甲盒單價(jià)為(1+20%)=im

則甲盒每盒獲利為-mf,乙盒每盒獲利》-

設(shè)總銷售額31000元且獲利24%時(shí)出售甲盒a盒，乙盒b盒

則有*a++ib=31000,化簡(jiǎn)舶na+|mb=7750,

(|ma+^mb)-?(ma+nnb)=24%,記得b=^a,代入^ma+|mb=7750,解得ma=7500,

故甲盒總獲利為為a=2500元.

三、解答題：(本大題7個(gè)小題，每小題10分，共70分)解答時(shí)每小題必須給出必

要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形(包括輔助線)，請(qǐng)將解答過程書寫在答

題卡中對(duì)應(yīng)的位置上.

19.計(jì)算：(1)(3+x)(3-x)-x(2-x)；(2)(a+3—鋁)+上宇

解(1)原式=9-x?-2x+x2=9-2x

(2)原式=(二一組)二,"2)&-2)_2("2)xa-3_a

?a^3a-3”(a-2)(a-2)a-2

20.如圖，AABC是等邊三角形，點(diǎn)E是AB的

中點(diǎn)，延長(zhǎng)CB至D,使BD^BC.

(1)用尺規(guī)作圖的方法，過E點(diǎn)作EF_LDC,垂

足是點(diǎn)F：(不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)求證：DF=CF.

解：(1)圖略，作法如下：以E點(diǎn)為圓心，大于E到CD垂直距離為半徑畫弧交直線

CD于M、N兩點(diǎn)，再分別以M、N為圓心，大于MN長(zhǎng)為半徑畫弧，到達(dá)兩交點(diǎn)，連接

兩交點(diǎn)直線(線段MN的中垂線)交CD于F,則EF_LCD.

(2)證明：:△ABC是等邊三角形，.\AB=BC=AC.ZABC=ZACB=60°,

是AB中點(diǎn)，.,.AE=BE=iAB=iBC.NBCE=NACE=|zACB=30。(三線合一)，

VBD^BC,；.BD=BE,."BDE=NBED,又：NBDE+NBED=NABC=60。，

Z.ZBDE=|ZABC=300=ZBCE,；.ADEC為等腰三角形，又：EF_LDC,

，DF=CF（三線合一）

21.為了解七年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，我校全體七年級(jí)同學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)速算與巧算

水平測(cè)試，數(shù)學(xué)組陳老師隨機(jī)抽取20名男生和20名女生的測(cè)試成績(jī)（滿分100分）

進(jìn)行整理和分析（成績(jī)共分成五組：A.50<x<60.B.0<x<70,C.70<x<80,D.80<x<90.

（D收集、整理數(shù)據(jù)

20名男生的數(shù)學(xué)成績(jī)分別為:76,77,95,88,50,89,89,97,99,93,97,89,

65,87,68,89,78,88,98,88

女生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)贑組和D組分別為：73,74,74,74,74,76,83,88,89

（ID分析數(shù)據(jù)：兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)如表所示：

成績(jī)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

男生8588.5b

女生81.8a74

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）①補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖：②填空：a=,b=

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為七年級(jí)學(xué)生是男生的數(shù)學(xué)計(jì)算成績(jī)更好還是女生的數(shù)學(xué)計(jì)

算成績(jī)更好？判斷并說明理由(一條理由即可).

(3)如果我校七年級(jí)有男生900名，女生600名，請(qǐng)估計(jì)七年級(jí)數(shù)學(xué)計(jì)算成績(jī)不低于

80分的學(xué)生人數(shù).

解(1)①補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖，D組人數(shù)為20-6-3-2-1=8人；②女生A、B組

各有2人，C、D組共有9人，E組有7人，其中位數(shù)由低到高第10名與第11名就

是C、D組數(shù)據(jù)中第6與第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即(76+83)4-2=79.5,故a=79.5：

男生眾數(shù)為89,頻數(shù)最多有4名，b=89；

(2)七年級(jí)學(xué)生中男生的數(shù)學(xué)計(jì)算成績(jī)更好，因?yàn)槟猩钠骄鶖?shù)為85,高于女生的

平均數(shù)81.8：男生中位數(shù)為88.5,高于女生的中位數(shù)79.5：男生眾數(shù)為89,高于

女生的眾數(shù)74.(選取其中一條即可，本題選平均數(shù)來比較更佳)

(3)20名男生中不低于80分的人數(shù)有：8+6=14人，20名女生中不低于80分的人

數(shù)有3+7=10人，故七年級(jí)數(shù)學(xué)計(jì)算成績(jī)不低于80分的學(xué)生人數(shù)為：

算X900喘X600=930(人).

22.在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析

函數(shù)特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程，己知函數(shù)尸高弓，結(jié)合己有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，完成

下列各小題.

(1)請(qǐng)?jiān)诒砀裰锌瞻滋钊肭‘?dāng)?shù)臄?shù)據(jù)：

13

X???-3-2-1023456???

22

11175817

y???-133???

"32T23T

(2)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，在所給的平面直角坐標(biāo)系中補(bǔ)全函數(shù)丫=4弓的圖象：

(3)根據(jù)函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：:

(4)結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式組丫=2+：4白+3的解集為:

|X-1|22

U

□C

A

4

oa

1

一f

5-5-11—!1-10；j45e

—1

Q

Q

o

A

-6

解：(1)完善表格:

13

X???-3-2-1023456???

22

1117195817

y???-1233???

-3223

(2)繪圖

(3)-2.4<x<0.4B￡X>1.4.

【流氓解法：如果有時(shí)間，圖上不好判斷交點(diǎn)時(shí)，不妨解兩個(gè)方程求出交點(diǎn)：當(dāng)x

2

<1時(shí),二一弓=gx+3變形和化簡(jiǎn)為X+2X-1=0,儲(chǔ)xt=-V2-1^-2.4,x2=V2-

|x-l|22

1^0.4；當(dāng)x>l時(shí)，二一值=^x+3變形和化簡(jiǎn)為X2+2X-5=0,解得XF—遍一

|x-II22

1七一3.4(舍去),X2=V6-1??1.4]

23.農(nóng)歷五月初五是中國(guó)民間傳統(tǒng)節(jié)日端午節(jié)，又稱端陽(yáng)節(jié)，也是紀(jì)念詩(shī)人屈原的節(jié)

日.劃龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中國(guó)自古傳承，至今不輟.某

蛋糕店一直銷售的是白水粽，端午節(jié)臨近又推出了紅豆粽，其中紅豆粽的銷售單價(jià)

是白水粽的1.25倍,4月份，紅豆粽和白水粽共銷售150千克紅豆粽的銷售額是1200

元，白水粽的銷售額為1440元.

(1)求紅豆粽、白水粽的銷售單價(jià)各是多少？

(2)為迎接端午節(jié)到來、該蛋糕店在5月推出“粽享會(huì)員”活動(dòng)，對(duì)所有的粽子均可

享受a%的折扣，非“粽享會(huì)員”需要按照原價(jià)購(gòu)買，就紅豆粽而言，5月銷量比4

月銷量增加了a%,其中通過“粽享會(huì)員”購(gòu)買的銷量占5月紅豆粽銷量的三而5月

紅豆粽的銷售總額比4月紅豆粽銷售額提高了2a%,求a的值.

解：(1)設(shè)白水粽的銷售單價(jià)為n元/千克，則紅豆粽的銷售單價(jià)為L(zhǎng)25n元/千克，

依題意有：

竿+21竺=150,解得n=16,1.25n=20

1.25nn

答：紅豆粽、白水粽的銷售單價(jià)各是20元/千克、16元/千克.

(2)令a%=m,則a=100m,依題意有：

—X(1+m)X-X20X(l-m)+—X(1+m)(1--)X20=1200X(1+j)

20620612

化簡(jiǎn)得：lOm?！猰=0,解得叫=0,m2=0.1

故a=100m=10.

答:a的值為10.

24.定義：一個(gè)三位數(shù)，若百位數(shù)字與十位數(shù)字的和能被個(gè)位數(shù)字整除，稱為“個(gè)位

倍數(shù)”.例如153,(1+5)4-3=2,則153為“個(gè)位倍數(shù)”.一個(gè)三位數(shù)若百位數(shù)字與個(gè)

位數(shù)字的和能被十位數(shù)字除，稱為“十位倍數(shù)”,例如123,(1+3)4-2=2,則123為

“十位倍數(shù)”.一個(gè)三位數(shù)，若十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和能被百位數(shù)字整除，稱為

“百位倍數(shù)”.例如699,(9+9)4-6=3,則699為“百位倍數(shù)”.

(1)判斷246是否同時(shí)是“個(gè)位倍數(shù)”，“十位倍數(shù)”“百位倍數(shù)”？并說明理由：

(2)對(duì)于一個(gè)三位數(shù)n=100a+10b+c(lWa,b,cW9,且a,b,c均為整數(shù))，規(guī)定F(n)

也.若一個(gè)三位數(shù)m=300+10x+y(2Wx《8,2WyW6,且x,y均為整數(shù))，m既是“百

C

位整數(shù)”，又是“十位整數(shù)”，求出所有F(m)的值.

解：(1)72+4=64-6=1,2+6=84-4=2,4+6=10+2=5

.?.246同時(shí)是“個(gè)位倍數(shù)”，“十位倍數(shù)”“百位倍數(shù)”.

(2)由三位數(shù)m=300+10x+y(2WxW8,2〈yW6,且x,y均為整數(shù))知m的百位數(shù)字

是3,十位數(shù)字是x,個(gè)位數(shù)字是y

Vm是“十位整數(shù)”，...3+y是x的倍數(shù)

fx=2(x=2fx=3fx=3fx=41x=5fx=6fx=7fx=8

|y=3'|y=5'|y=3'=6'|y=5'|y=2'|y=3'|y=4'ly=5

Vm是“百位整數(shù)”，...x+y是3的倍數(shù)，結(jié)合2WxW8,2WyW6可解得：

[x=2,x=31x=3]x=4fx=4pc=5pc=6fx=6fx=7fx=7

ly=4'ly=3'ly=6,ly=2'ly=5(|y=4ly=3'|y=6'|y=2>ty=5

fx=8

'ty=4

???ni既是“百位整數(shù)”，又是“十位整數(shù)”，,x、y取值組合有：

儼=3,x=3fx=4儼=6

ty=3，［y=6，(y=5f(y=3

當(dāng)仁MF(m)令#

當(dāng)仁MF(m)汴

或M時(shí),F(m)一

當(dāng)仁:時(shí)，F(xiàn)(m)=y=y=6

故F(m)的值有3、表y,6.

25.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax?+bx-2您(aNO)與x軸交于點(diǎn)A

(2,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,并且經(jīng)過點(diǎn)D(5,譽(yù)).

4

(1)求該拋物線的解析式：

(2)如圖1,點(diǎn)M是拋物線上第四象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AC,CM,BM,當(dāng)四邊形ACMB

面積最大時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo)以及SuiMYcm的最大值;

(3)如圖2,將拋物線沿射線BC方向平移，平移后拋物線經(jīng)過線段BC的中點(diǎn)，記

點(diǎn)B平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為瓦，點(diǎn)C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G，點(diǎn)Q是平移后新拋物線對(duì)

稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P是原拋物線上一點(diǎn),若以B”C1(P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖2

圖1

解（1）【將A點(diǎn)與D點(diǎn)坐標(biāo)代入即可解得a、b的值】將A點(diǎn)（-2,0）、D點(diǎn)（5,

苧）分別代入拋物線得：

4

（4a-2b-2V2=0

{r-7A/2

^25a+5b-2V2=—

解得:a=^,b=一、

42

故拋物線的解析式為：Y#-—

4鼻2-

（2）【設(shè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，繼而求出用該參數(shù)表示的四邊形ACMB面積的代數(shù)

式，得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)的新二次函數(shù)，利用新二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值】

【第一步：先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)稱軸求A點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)；或令y=0解方程

得到B點(diǎn)坐標(biāo)，繼而求出直線BC的解析式（鉛錘法求面積需要直線BC解析式）】

由拋物線：-當(dāng)-迎知其對(duì)稱軸為x=-?=l

422a

；A點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=l對(duì)稱，A點(diǎn)坐標(biāo)（一2.0）,.,.B點(diǎn)坐標(biāo)（4,0）

由拋物線解析式y(tǒng)=?x2-乎x-迎易知C點(diǎn)坐標(biāo)（0,-V2）

42

直線BC的解析式為y斗x-V2

【第二步：設(shè)參數(shù)t表示動(dòng)點(diǎn)M橫縱坐標(biāo)，然后對(duì)四邊形ACMB進(jìn)行分割三個(gè)三角形

進(jìn)行面積計(jì)算：分割成SAMC+SAOBC+SAOB,SAMC與SAOK為定值，只需用鉛錘法求出SAOB,

需要過M作y軸平行線及用到直線BC解析式；連接0M,分割成SAMc+SAoc?+S4aH,SA0*c

為定值，SAO?與孔網(wǎng)的面積可直接用M點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)來計(jì)算，無需利用直線BC解析

式】

過M作y軸平行線交直線BC于E,設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)（t,^t2-^l-V2）（0<t<4），則E

42

點(diǎn)坐標(biāo)（t,^t-V2）,

4

.-.ME=^t-V2-（^t2-^t-V2）=-^t2+^t

44244

,**S四邊形ACMB二SAOAc+SAOBc+SADaq（OAXOC+OBXOC+OBXME）

（2XV2+4XV2+4X（-^t2+^t）］

244

=-^t2+等t+3近［此時(shí)可配方成頂點(diǎn)式關(guān)于t的二次函數(shù)或直接利用對(duì)稱軸判定

其最大值；配方成二-j（t-3）2+：顯然"彳I,時(shí)而最大值,2］

AS四邊形.是關(guān)于t的二次函數(shù)且二次項(xiàng)系數(shù)等于-乎VO

故當(dāng)t二—畀日時(shí),s四邊形Ao?有最大值當(dāng)盧，此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為（,,」；：2）.

【連接0M,非鉛錘法計(jì)算面積，不需要直線BC解析式】

,**S四邊形ACMB二SAQAC+SAOCM+SAOM（法［0AXOC+xj（XOC+OBX（―yj］

=4t2xV2+txV2+4X（-—t2+-^t+V2）］

242

=_9+竽t+3?

=_立（.孕+生！

2v2J8

顯然，當(dāng)tW時(shí)，S四邊形ACMB有最大值總欄,此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（?，_.

（3）【先求出氏點(diǎn)坐標(biāo)，即可知拋物線的平移方向及單位長(zhǎng)度，從而得知G坐標(biāo)、

新拋物線對(duì)稱軸，然后利用已知坐標(biāo)的G、Bi點(diǎn)連線C周作為平行四邊形的對(duì)角線或

邊進(jìn)行分類討論求出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)】

【第一步：先求出BC中點(diǎn)B,坐標(biāo)，從而知道新拋物線的平移方向及長(zhǎng)度，繼而得到

G坐標(biāo)、新拋物線對(duì)稱軸】

拋物線沿射線BC平移后過BC中點(diǎn)，即B點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Bi

由B點(diǎn)（4,0）、C點(diǎn)（0,-V2）易知BC中點(diǎn)4坐標(biāo)（2,-y）

故新拋物線由原拋物線向左平移2個(gè)單位，向下平移乎個(gè)單位所得

.??點(diǎn)C平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)C坐標(biāo)為（-2,-苧），新拋物線的對(duì)稱軸為x=-l

【第二步，設(shè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，以B.C,連線作為平行四邊形的對(duì)角線或邊進(jìn)行分

類討論，利用平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)相互平分的性質(zhì)求出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，這也是其

他特殊四邊形如菱形、矩形、正方形的存在性問題的解題通法】

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)（-1.m）,P點(diǎn)坐標(biāo)（n,竽產(chǎn)-^n-V2）

42

①當(dāng)以BC為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，有XBI+XC產(chǎn)x/Xp,即2-2=一1+必n=l,即P點(diǎn)坐標(biāo)（1,

50\

--------）

4

②當(dāng)以BC為平行四邊形邊，以BF對(duì)角線時(shí)，有XB^XFXQ+XCI,即2+n=-l-2,n=-5,

即P點(diǎn)坐標(biāo)（一5,竽）.

4

③當(dāng)以BC為平行四邊形邊,以CP對(duì)角線時(shí),,有XBI+X產(chǎn)Xp+Xc“即2-l=n-2,n=3,

即P點(diǎn)坐標(biāo)（3,-%.

4

綜上分析，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-平）、（-5.竽）、（3..

四、解答題：（本大題1個(gè)小題，8分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過程或推理

步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上.

26.在AABC中，NCAB的角平分線交BC于點(diǎn)I）,點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn).

（1）如圖1,若NCAB=90°,tanZC=1,AC=10.求AD的長(zhǎng)度.

（2