人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第二冊)同步培優(yōu)講義專題6.3 平面向量的運算（重難點題型精講）（教師版）

專題6.3平面向量的運算（重難點題型精講）1．向量的加法運算(1)向量加法的定義及兩個重要法則(2)多個向量相加為了得到有限個向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個向量的起點為起點，最后一個向量的終點為終點的向量，就是這些向量的和，如圖所示.2．向量加法的運算律(1)交換律：SKIPIF1<0；(2)結(jié)合律：SKIPIF1<0.3．向量的減法運算(1)相反向量我們規(guī)定，與向量SKIPIF1<0長度相等，方向相反的向量，叫做SKIPIF1<0的相反向量，記作SKIPIF1<0.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量減法的定義：向量SKIPIF1<0加上SKIPIF1<0的相反向量，叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的差，即SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(-SKIPIF1<0).求兩個向量差的運算叫做向量的減法.(3)向量減法的三角形法則如圖，已知向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，在平面內(nèi)任取一點O，作=SKIPIF1<0，=SKIPIF1<0，則=-=SKIPIF1<0-SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0-SKIPIF1<0可以表示為從向量SKIPIF1<0的終點指向向量SKIPIF1<0的終點的向量，這是向量減法的幾何意義.4．向量的數(shù)乘運算(1)向量的數(shù)乘的定義一般地，我們規(guī)定實數(shù)SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作SKIPIF1<0SKIPIF1<0，它的長度與方向規(guī)定如下：①SKIPIF1<0；

②當(dāng)SKIPIF1<0>0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的方向相同；當(dāng)SKIPIF1<0<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的方向相反.(2)向量的數(shù)乘的運算律設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為實數(shù)，那么①SKIPIF1<0(SKIPIF1<0SKIPIF1<0)=(SKIPIF1<0SKIPIF1<0)SKIPIF1<0；②(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0.

特別地，我們有(-SKIPIF1<0)SKIPIF1<0=-(SKIPIF1<0SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0(-SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0-SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0-SKIPIF1<0SKIPIF1<0.

(3)向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，以及任意實數(shù)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0(SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.5．向量共線定理(1)向量共線定理向量SKIPIF1<0(SKIPIF1<0≠0)與SKIPIF1<0共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0.

(2)向量共線定理的應(yīng)用——求參

一般地，解決向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0共線求參問題，可用兩個不共線向量(如SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)表示向量SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0(SKIPIF1<0≠0)，化成關(guān)于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0=-SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0不共線，則SKIPIF1<0解方程組即可.【題型1向量的加減法運算】【方法點撥】向量的加減法運算有如下方法：(1)利用相反向量統(tǒng)一成加法(相當(dāng)于向量求和)；(2)運用減法公式-=(正用或逆用均可)；(3)運用輔助點法，利用向量的定義將所有向量轉(zhuǎn)化為以其中一確定點為起點的向量，使問題轉(zhuǎn)化為有共同起點的向量問題.【例1】（2023春·北京豐臺·高一期末）AB?AD+A．BC B．CB C．BD D．DB【解題思路】根據(jù)向量的加法和減法運算即可求解.【解答過程】因為AB?故選：B.【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）化簡AC?BD+A．0 B．DA C．BC D．AB【解題思路】利用向量的線性運算直接求解.【解答過程】AC===BC故選：C.【變式1-2】（2022·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）在四邊形ABCD中，給出下列四個結(jié)論，其中一定正確的是（

）A．AB+BCC．AB+AD【解題思路】由向量加法的三角形法則可判斷AD，由向量減法的運算法則可判斷B，由向量加法的平行四邊形法則可判斷C.【解答過程】根據(jù)三角形法則可得AB+根據(jù)向量減法的運算法則可得AB?四邊形ABCD不一定是平行四邊形，所以不一定有AB+根據(jù)三角形法則可得BC+故選：D.【變式1-3】（2022春·廣西南寧·高二開學(xué)考試）下列化簡結(jié)果錯誤的是（

）A．AB+BCC．OA?OD【解題思路】根據(jù)向量加減法運算法則計算即可【解答過程】對A，原式=AC對B，原式=AB對C，原式=OA對D，原式=AB故選：D．【題型2三角形（平行四邊形）法則的應(yīng)用】【方法點撥】根據(jù)向量加減法的幾何意義，將對應(yīng)向量表示出來即可.【例2】（2022秋·四川·高三開學(xué)考試）如圖，向量b?a等于（A．e1?3e2 B．?4【解題思路】根據(jù)向量的減法法則可得選項．【解答過程】由向量的減法得b?故選：A．【變式2-1】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，向量a?b等于（A．?e1C．e1?3【解題思路】根據(jù)向量線性運算法則，結(jié)合圖像即可求解.【解答過程】a?b等于向量b的終點指向向量分解后易知a?故選：A.【變式2-2】（2022秋·安徽蕪湖·高一期中）如圖，向量e1，e2，a的起點與終點均在正方形網(wǎng)格的格點上，若a=λe1A．?4 B．?2 C．2 D．4【解題思路】根據(jù)圖象求得正確答案.【解答過程】由圖象可知a=故選：D.【變式2-3】（2022秋·湖南衡陽·高一期末）如圖，在7×5正方形網(wǎng)格中，向量a，b滿足a⊥b，則AB?A．2a+C．?3a+【解題思路】由向量加減法運算法則，得到所求向量為DC，再由向量減法的三角形法則，以及向量數(shù)乘運算，計算答案.【解答過程】由題意，得AB?故選：C.【題型3向量的線性運算】【方法點撥】向量的數(shù)乘運算類似于實數(shù)運算，遵循括號內(nèi)的運算優(yōu)先的原則，將相同的向量看作“同類項”進(jìn)行合并.要注意向量的數(shù)乘所得結(jié)果仍是向量，同時要在理解其幾何意義的基礎(chǔ)上，熟練運用運算律.【例3】（2022春·新疆喀什·高一階段練習(xí)）3a+bA．5a B．5b C．?5【解題思路】根據(jù)向量運算加減法的運算公式，即可求解.【解答過程】根據(jù)向量運算公式可知，3a故選：B.【變式3-1】（2022·高一課時練習(xí)）已知a=2e，b=?3e，c=6A．18e B．?3e C．20【解題思路】由向量的運算可得答案.【解答過程】3a故選：A.【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）32a?A．4a+3b B．4a【解題思路】由平面向量的線性運算方法即可求得答案.【解答過程】由題意，32故選：B.【變式3-3】（2022·高一課時練習(xí)）a+2b+2A．2a B．3a C．?【解題思路】利用向量的線性運算求解即可.【解答過程】依題意得：a+2故選：B.【題型4用已知向量表示相關(guān)向量】【方法點撥】用已知向量來表示其他向量是解向量相關(guān)問題的基礎(chǔ)，除了要利用向量的加、減、數(shù)乘運算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理、性質(zhì)，如三角形的中位線定理，相似三角形對應(yīng)邊成比例等，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量進(jìn)行求解.【例4】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，?ABCD中，AB=a，AD=b，點E是AC的三等分點(EC=1A．13a?23b【解題思路】根據(jù)向量的加法法則和減法法則進(jìn)行運算即可.【解答過程】DE故選：B.【變式4-1】（2022·高一課時練習(xí)）在四邊形ABCD中，設(shè)AB=a，AD=A．?a+C．a(chǎn)+b【解題思路】根據(jù)向量加法、減法的運算求得DC.【解答過程】DC=故選：D.【變式4-2】（2022·新疆·統(tǒng)考三模）如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于O，且OA=a，OB=b，則A．a(chǎn)+bC．b?a【解題思路】根據(jù)給定條件利用平面向量的減法運算列式作答.【解答過程】在平行四邊形ABCD中，依題意，OC=?OA=?所以BC=故選：D.【變式4-3】（2022秋·甘肅武威·高一期中）如圖，向量AB=a，AC=b，CD=A．a(chǎn)+b+c B．a(chǎn)【解題思路】利用向量加法和減法的三角形法則計算即可.【解答過程】BD=故選：C.【題型5向量共線定理的應(yīng)用】【方法點撥】向量共線的判定一般是用其判定定理，即SKIPIF1<0是一個非零向量，若存在唯一一個實數(shù)，使得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與非零向量SKIPIF1<0共線.解題過程中，需要把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而互相表示，由此判斷共線.【例5】（2022·高一課時練習(xí)）已知A，B，C為三個不共線的點，P為△ABC所在平面內(nèi)一點，若PA+PB=A．點P在△ABC內(nèi)部 B．點P在△ABC外部C．點P在直線AB上 D．點P在直線AC上【解題思路】由向量的運算可得CA=【解答過程】∵PA+∴PB?∴CB=即CA=故點P在邊AC所在的直線上.故選：D.【變式5-1】（2022·高一課時練習(xí)）P是△ABC所在平面內(nèi)一點，CB=λPA+PB，則A．△ABC內(nèi)部 B．在直線AC上C．在直線AB上 D．在直線BC上【解題思路】根據(jù)共線定理可知即PC與PA共線，從而可確定P點一定在AC邊所在直線上．【解答過程】∵∴PB∴?PC∴PC//PA，即PC∴P點一定在AC邊所在直線上.故選：B．【變式5-2】（2022春·湖南長沙·高二階段練習(xí)）已知a，b為不共線的非零向量，AB=a+5b，BC=?2A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線C．B，C，D三點共線 D．A，C，D三點共線【解題思路】根據(jù)給定條件，求出BD,【解答過程】a，b為不共線的非零向量，AB=a+5b，則BD=BC+因1?2≠58，則AB與BC不共線，A，因AB=BD，即AB→與BD→共線，且有公共點B，則A，因?23≠8?3，則BC與CD不共線，B，因?13≠13?3，則AC與CD不共線，A，故選：B.【變式5-3】（2022春·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：OP＝OA+λ(AB+AC),λ>0，則直線A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【解題思路】取線段BC的中點E，則AB+AC=2AE．動點P滿足：OP=【解答過程】取線段BC的中點E，則AB+動點P滿足：OP=OA+λ(則OP則AP=2λ則直線AP一定通過△ABC的重心．故選：C．【題型6向量線性運算在三角形中的運用】【方法點撥】結(jié)合具體條件，利用向量的線性運算，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.【例6】（2022春·北京大興·高三期末）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成.現(xiàn)仿照趙爽弦圖，用四個三角形和一個小平行四邊形構(gòu)成如下圖形，其中，E，F(xiàn)，G，H分別是DF，AG，BH，CE的中點，若AG=xAB+yAD，則A．25 B．4【解題思路】利用平面向量線性運算法則以及平面向量基本定理，將AG用AB,BC表示出來，求出x，【解