人教A版高中數(shù)學(選擇性必修三)同步培優(yōu)講義專題6.9 計數(shù)原理全章綜合測試卷（提高篇）（教師版）

第六章計數(shù)原理全章綜合測試卷（提高篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022春·江蘇南通·高二階段練習）若Am?12=6CmA．7 B．6 C．5 D．4【解題思路】根據組合數(shù)、排列數(shù)公式得到方程，解得即可.【解答過程】解：因為Am?12=6Cm解得m=4或m=?1（舍去）；故選：D.2．（5分）（2022秋·吉林四平·高二階段練習）給如圖所示的5塊區(qū)域A，B，C，D，E涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有公共邊的區(qū)域使用不同的顏色，現(xiàn)有紅、黃、藍、綠、橙5種顏色可供選擇，則不同的涂色方法有（

）A．120種 B．720種 C．840種 D．960種【解題思路】依次給區(qū)域A,B,D,C,E涂色，求出每一步的種數(shù)，由乘法分步原理即得解.【解答過程】解：A有5種顏色可選，B有4種顏色可選，D有3種顏色可選，C有4種顏色可選，E有4種顏色可選，故共有5×4×3×4×4＝960種不同的涂色方法．故選：D．3．（5分）（2022秋·浙江寧波·高二期中）x?2y2x?y5的展開式中的x3A．?200 B．?120 C．120 D．200【解題思路】由題意首先確定(2x?y)5展開式的通項公式，再采用分類討論法即可確定x【解答過程】(2x?y)5展開式的通項公式為T當r=3時，T4=25?3C53當r=2時，T3=25?2C52據此可得：x3y3故選：A.4．（5分）（2022·高二課時練習）某旅行社共有5名專業(yè)導游，其中3人會英語，3人會日語，若在同一天要接待3個不同的外國旅游團，其中有2個旅游團要安排會英語的導游，1個旅游團要安排會日語的導游，則不同的安排方法種數(shù)有（

）A．12 B．13 C．14 D．15【解題思路】分析可知有1名導游既會英語又會日語，記甲為既會英語又會日語的導游，按照甲是否被安排到需要會英語的旅游團可分為兩類，先確定甲所安排的旅行團，再確定其他團的人員，結合分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得結果.【解答過程】由題意知有1名導游既會英語又會日語，記甲為既會英語又會日語的導游，按照甲是否被安排到需要會英語的旅游團可分為兩類：第一類，甲被安排到需要會英語的旅游團，則可分兩步進行：第一步，從會英語的另外2人中選出1人，有2種選法，將選出的人和甲安排到2個需要會英語的旅游團，有2種安排方法，所以有2×2=4種安排方法；第二步，從會日語的另外2人中選出1人安排到需要會日語的旅游團，共2種選法.故此時共有4×2=8種安排方法；第二類，甲沒有被安排到需要會英語的旅游團，則可分兩步進行：第一步，將會英語的另外2人安排到需要會英語的旅游團，有2種安排方法；第二步，從會日語的3人（包括甲）中選出1人安排到需要會日語的旅游團，有3種選法.故此時共有2×3=6種選法．綜上，不同的安排方法種數(shù)為8+6=14．故選：C．5．（5分）（2022·貴州貴陽·模擬預測）2022年9月3日貴陽市新冠疫情暴發(fā)以來，某住宿制中學為做好疫情防控工作，組織6名教師組成志愿者小組，分配到高中三個年級教學樓樓門口配合醫(yī)生給學生做核酸.由于高三年級學生人數(shù)較多，要求高三教學樓志愿者人數(shù)均不少于另外兩棟教學樓志愿者人數(shù)，若每棟教學樓門至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1個樓門進行服務，則不同的分配方法種數(shù)為（

）A．240 B．150 C．690 D．180【解題思路】利用分類計數(shù)原理及排列組合的意義，對高三志愿者人數(shù)進行分類討論即可.【解答過程】第一種：當高三的志愿者有3人時，其他兩個年級有1個年級1人，有1個年級2人，則有C6第二種：當高三的志愿者有2人時，其他兩個年級也分別有2人，則有C6第三種：當高三的志愿者有4人時，其他兩個年級分別有1人，則有C6所以不同的分配方法有：120+90+30=240種，故選：A.6．（5分）（2022·高二課時練習）已知(1?2x)2021=aA．展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為2B．展開式中所有奇次項系數(shù)的和為3C．展開式中所有偶次項系數(shù)的和為3D．a【解題思路】根據給定條件，利用二項式定理及性質，結合賦值法逐項分析、計算判斷作答.【解答過程】對于A，二項式(1?2x)2021展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為2對于B，令f(x)=(1?2x)2021，則a0所以展開式中所有奇次項系數(shù)的和為f(1)?f(?1)2對于C，由選項B知，展開式中所有偶次項系數(shù)的和為f(1)+f(?1)2對于D，由選項B知，a0=f(0)=1，故選：B.7．（5分）（2022·全國·高三專題練習）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加2022年杭州亞運會志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，以下說法正確的是（

）A．每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為54B．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為AC．如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為(D．每人都安排一項工作，每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是C【解題思路】對于選項A，每人有4種安排法，故有45種；對于選項B，5名同學中有兩人工作相同，先選人再安排；對于選項C，先分組再安排；對于選項D【解答過程】解：①每人都安排一項工作的不同方法數(shù)為45，即選項A②每項工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為C52A③如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為：（C53C21④分兩種情況：第一種，安排一人當司機，從丙、丁、戊選一人當司機有C31,從余下四人中安排三個崗位故有C31C從余下三人中安排三個崗位A33，故有甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是C3即選項D正確，故選：D．8．（5分）（2022·全國·高三專題練習）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1，1，2，3，5，8，13，?，則下列選項不正確的是（

）A．在第9條斜線上，各數(shù)之和為55B．在第nn≥5C．在第n條斜線上，共有2n+1??1D．在第11條斜線上，最大的數(shù)是C【解題思路】根據從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，…，得到數(shù)列規(guī)律為an+an+1=【解答過程】從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，?，其規(guī)律是an所以第9條斜線上各數(shù)之和為13+21=34，故A錯誤；第1條斜線上的數(shù)：C0第2條斜線上的數(shù)：C1第3條斜線上的數(shù)：C2第4條斜線上的數(shù)：C3第5條斜線上的數(shù)：C4第6條斜線的數(shù)：C5……，依此規(guī)律，第n條斜線上的數(shù)為：Cn?1在第11條斜線上的數(shù)為C100,由上面的規(guī)律可知：n為奇數(shù)時，第n條斜線上共有n+12n為偶數(shù)時，第n條斜線上共有共有n2所以第n條斜線上共2n+1??1由上述每條斜線的變化規(guī)律可知：在第n(n?5)條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小，故B正確.故選：A.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2022春·廣東江門·高二期中）已知1?2x7=aA．各項二項式系數(shù)和為128 B．式子a1C．式子a1+a【解題思路】由二項式系數(shù)的性質可判斷A；用賦值法令x=1，x=?1，x=0可判斷BCD【解答過程】對于A：二項式1?2x7的各項二項式系數(shù)和為2對于BCD：令x=1，則1?27即a0令x=?1，則1+27即a0令x=0，則a0所以a1由a0解得a1+a故選：ACD.10．（5分）（2022春·江蘇連云港·高二期中）下列結論正確的是（

）A．k=0nB．多項式1+2x?xC．若(2x?1)10D．38【解題思路】利用二項式定理及二項式展開式各項系數(shù)和，依次判斷各項正誤.【解答過程】解：因為k=0n多項式1+2x?x6的展開式通項為：C6當r=3時，有C63?2x當r=4時，有C64?當r=5時，有C65?2x當r=6時，有C66?故展開式中x3的系數(shù)為?20+60=40(2x?1)10=a因為38=5?28，其展開式的通項公式為：Tr+1故選：ABD.11．（5分）（2022·全國·高三專題練習）如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網，其中A1，A2，A3，A4是道路網中位于一條對角線上的4個交匯處.今在道路網M，N處的甲?乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達N，A．甲從M到達N處的走法種數(shù)為120B．甲從M必須經過A3到達NC．甲，兩人能在A3D．甲，乙兩人能相遇的走法種數(shù)為164【解題思路】根據題意分析出甲從M到達N處，需要走6格，其中向上3格，向右3格，從而可得到從M到達N處的走法種數(shù)為C6若甲從M必須經過A3到達N處，可分兩步，甲從M到達A3，從A3若甲，乙兩人能在A3處相遇，先計算甲經過A3的走法種數(shù)，再計算乙經過A3根據題意可得出只能在A1，A2，A3【解答過程】對于A，需要走6格，其中向上3格，向右3格，所以從M到達N處的走法種數(shù)為C63=20對于B，甲從M到達A3，需要走3格，其中向上1格，向右2格，有C31=3種走法，從A3到達N，需要走3格，其中向上2格，向右1格，有C31=3種走法，所以甲從M必須經過對于C，甲經過A3的走法種數(shù)為C31×C31=9，乙經過A3對于D，甲，乙兩人沿著最短路徑行走，只能在A1，A2，A3，A4處相遇，若甲，乙兩人在A1處相遇，甲經過A1處，必須向上走3格，乙經過A1處，必須向左走3格，兩人在A1處相遇的走法有1種；若甲，乙兩人在A2或A3處相遇，各有81種走法；若甲，乙兩人在A4故選：BD.12．（5分）（2022春·重慶沙坪壩·高二階段練習）中國古代中“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，一天內連續(xù)安排六節(jié)課，則下列說法正確的是（

）A．某學生從中選3門學習，共有20種選法B．“禮”和“射”不相鄰，共有400種選法C．“樂”不能排在第一節(jié)，且“數(shù)”不能排在最后，共有504種選法D．“書”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”相鄰，共有108種選法【解題思路】對于A，從6個中選3個，則有C63種；對于B，利用插空法求解；對于C，分兩類求解，一是若“數(shù)”排在第一節(jié)，二是若“數(shù)”不排在第一節(jié)，也不排在最后一節(jié)；對于D，分三類，利用捆綁法，①若“書”排在第一節(jié)，且“射”和“御”相鄰，②若“書”排在第二節(jié)，且“射”和“御”相鄰，【解答過程】解：對于A，某學生從中選3門學習，共有C6故選項A正確；對于B，“禮”和“射”不相鄰，則有A4故選項B錯誤；對于C，①若“數(shù)”排在第一節(jié)，則排法有A5②若“數(shù)”不排在第一節(jié)，也不排在最后一節(jié)，則排法有C4所以“樂”不能排在第一節(jié)，且“數(shù)”不能排在最后，共有120+384＝504種選法，故選項C正確；對于D，①若“書”排在第一節(jié)，且“射”和“御”相鄰，則有4?A②若“書”排在第二節(jié)，且“射”和“御”相鄰，則有3A③若“書”排在第三節(jié)，且“射”和“御”相鄰，則有3A所以“書”必須排在前三節(jié)，且“射”和“御”相鄰，共有48+36+36＝120種選法，故選項D錯誤；故選：AC.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2022秋·上海浦東新·高三階段練習）(x?1【解題思路】根據二項式系數(shù)和得n=6，進而求出二項式展開式的通式公式，令3?32r=0【解答過程】因為(x所以2n=64，得所以題中二項式為(x?1令3?32r=0，得：r=2故答案為：15.14．（5分）（2022春·福建泉州·高二期末）如圖，用4種不同的顏色對圖中4個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂1種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有48種．【解題思路】利用分步計數(shù)原理，一個個按照順序去考慮涂色.【解答過程】按照分步計數(shù)原理，第一步：涂區(qū)域1，有4種方法；第二步：涂區(qū)域2，有3種方法；第三步：涂區(qū)域3，分兩類：（1）區(qū)域3與1同色，則區(qū)域4有2種方法；（2）區(qū)域3與1不同色，則區(qū)域3有2種方法，區(qū)域4有1種方法；所以不同的涂色種數(shù)有4×3×(1×2+2×1)=48種．故答案為：48.15．（5分）（2022·高二課時練習）某籃球隊有12名隊員，其中有6名隊員打前鋒，有4名隊員打后衛(wèi)，甲、乙兩名隊員既能打前鋒又能打后衛(wèi).若出場陣容為3名前鋒，2名后衛(wèi)，則不同的出場陣容共有636種．【解題思路】分三種情況討論：①甲、乙都不出場；②甲、乙只有一人出場；③甲、乙都出場.分別計算出每種情況下出場的陣容種數(shù)，利用分類加法計數(shù)原理即可得出結果.【解答過程】分以下三種情況討論：①甲、乙都不出場，則應從6名打前鋒的隊員中挑選3人，從4名打后衛(wèi)的隊員中挑選2人，此時，出場陣容種數(shù)為C6②甲、乙只有一人出場，若出場的這名隊員打前鋒，則應從6名打前鋒的隊員中挑選2人，從4名打后衛(wèi)的隊員中挑選2人；若出場的這名隊員打后衛(wèi)，則應從6名打前鋒的隊員中挑選3人，從4名打后衛(wèi)的隊員中挑選1人.此時，出場陣容種數(shù)為C2③甲、乙都出場，若這兩名隊員都打前鋒，則應從6名打前鋒的隊員中挑選1人，從4名打后衛(wèi)的隊員中挑選2人；若這兩名隊員都打后衛(wèi)，則應從6名打前鋒的隊員中挑選3人，從4名打后衛(wèi)的隊員中不用挑選；若這兩名隊員一人打前鋒、一人打后衛(wèi)，則應從6名打前鋒的隊員中挑選2人，從4名打后衛(wèi)的隊員中挑選1人，此時，出場陣容種數(shù)為C6綜上所述，由分類加法計數(shù)原理可知，共有120+340+176=636種不同的出場陣容.故答案為：636.16．（5分）（2022春·全國·高二專題練習）課本中，在形如a+bn=Cn0an+Cn1an?1b+…Cnran?rb【解題思路】根據1+x+x22015【解答過程】∵1+x+x2其中x2015D20150?C2015∵1+x+而二項式x3?12015因為2015不是3的倍數(shù)，所以x3?12015D20150?C2015故答案為0.四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2022春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期中）（1）計算：4A（2）已知1C5m【解題思路】（1）根據排列數(shù)的計算公式即可得解；（2）根據組合數(shù)的計算公式即可得解.【解答過程】（1）4=7×6×5×4×3（2）由1C5即m!(5?m)!5!可得1?(6?m)6=解得m=2或m=21，因為0≤m≤5，可得m=2，所以C618．（10分）（2023·全國·高二專題練習）由2、3、5、7組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，求：(1)這些數(shù)的數(shù)字和；(2)這些數(shù)的和．【解題思路】（1）根據分步乘法原理計算所有的四位數(shù)，進而可得這24個數(shù)的數(shù)字之和，（2）確定24個數(shù)中，每個數(shù)位上2，3，5，7出現(xiàn)的次數(shù)，進而可求這些數(shù)的和,【解答過程】（1）共可組成4×3×2×1＝24個四位數(shù)，這24個四位數(shù)的數(shù)字和為24×2+3+5+7（2）這24個四位數(shù)中，數(shù)字2在千位的有3×2×1＝6個，同樣，3、5、7在千位的各有6個．同理，2、3、5、7在百位、十位、個位各出現(xiàn)6次．所以所有數(shù)之和為2+3+5+719．（12分）（2023·全國·高三專題練習）如圖，一個正方形花圃被分成5份．(1)若給這5個部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有5種顏色不同的花，求有多少種不同的種植方法？(2)若向這5個部分放入7個不同的盆栽，要求每個部分都有盆栽，問有多少種不同的放法？【解題思路】（1）分種3、4、5種顏色的花，應用分步計數(shù)及組合排列數(shù)求種植方法數(shù)；（2）分{3,1,1,1,1}、{2,2,1,1,1}兩種分組，結合不平均分組、全排列求不同的放法.【解答過程】（1）當種5種顏色的花，作全排列，則有A5當種4種顏色的花，5種顏色選4種，{(A,E),(C,E),(B,C)}中選一組種同顏色的花，余下3種顏色作全排列，則有C5當種3種顏色的花，5種顏色選3種，D位置任選一種，余下2種顏色在{(A,E),(B,C)}分別種相同顏色，則有C5所以共有540種不同種植方法.（2）將7個盆栽有{3,1,1,1,1}、{2,2,1,1,1}兩種分組方式，以{3,1,1,1,1}分組，則C7以{2,2,1,1,1}分組，則C7所以共有16800種不同的放法.20．（12分）（2022春·山東菏澤·高二階段練習）6名同學(簡記為A、B、C、D、E、F)到甲、乙、丙三個場館做志愿者.(1)一天上午有16個相同的口罩全部發(fā)給這6名同學，每名同學至少發(fā)兩個口罩，則不同的發(fā)放方法種數(shù)？(2)每名同學只去一個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法種數(shù)？(3)每名同學只去一個場館，每個場館至少要去一名，且A、B兩人約定去同一個場館，C、D不想去一個場館，則滿足同學要求的不同的安排方法種數(shù)？【解題思路】（1）先讓每位同學拿一個口罩，余下10個用隔板法求解作答.（2）利用分步計數(shù)乘法原理從6人中依次取1人，2人，3人去甲、乙、丙三個場館列式計算作答.（3）按給定條件將6人分成3組，再分到三個場館列式計算作答.【解答過程】(1)16個相同的口罩，每位同學先拿一個，剩下的10個口罩排成一排有9個間隙，插入5塊板子分成6份，每一種分法所得6份給到6個人即可，所以不同的發(fā)放方法C9(2)求不同的安排方法分三步：6人中選一人去甲