等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用（學(xué)生版）

等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用一、等差數(shù)列的性質(zhì)探究探究點(diǎn)1從函數(shù)的角度探究在直角坐標(biāo)系中，畫出通項(xiàng)公式為an＝3n－5的數(shù)列的圖象，這個圖象有什么特點(diǎn)？(1)數(shù)列an＝3n－5為等差數(shù)列，其圖象的孤立的點(diǎn)在____上．(2)數(shù)列an＝3n－5的公差是直線y＝3x－5的________．梳理探究：(1)等差數(shù)列與一次函數(shù)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，當(dāng)d＝0時，an是關(guān)于n的常數(shù)函數(shù)；當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次函數(shù)．(2)公差d與斜率：等差數(shù)列{an}的圖象上的點(diǎn)(n，an)是分布在一條直線上的孤立的點(diǎn)，而這條直線的斜率即為公差d，即：(3)等差數(shù)列的單調(diào)性：等差數(shù)列{an}的公差為d，①當(dāng)d＞0時，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；②當(dāng)d＜0時，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；③當(dāng)d＝0時，數(shù)列{an}為常數(shù)列．探究點(diǎn)2從項(xiàng)與序號的關(guān)系探究思考并完成下列問題：(1)等差數(shù)列{an}中，an＝a1＋(n－1)d.那么an＝a2＋____d；an＝a3＋___d；an＝am＋__d.(m＜n)等差數(shù)列{an}中，a1＋an與a2＋an－1，a3＋an－2有什么關(guān)系？梳理探究：（1）兩項(xiàng)關(guān)系：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)（2）多項(xiàng)關(guān)系：設(shè){an}為等差數(shù)列，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)特別地，（1）設(shè){an}為等差數(shù)列，若m＋n＝2p，則有am＋an＝2ap.(m，n，p∈N*)（2）在有窮等差數(shù)列{an}中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…探究點(diǎn)3從等差數(shù)列“子數(shù)列”的性質(zhì)探究思考并完成下列問題：(1)將數(shù)列的前m項(xiàng)去掉，其余各項(xiàng)組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，首項(xiàng)、公差各是多少？取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個新的數(shù)列，這個新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，首項(xiàng)、公差各是多少？(3)取出數(shù)列中所有序號為7的倍數(shù)的項(xiàng)，組成一個新的數(shù)列呢？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出一個猜想嗎？梳理探究：1．若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有{pan＋qbn}是公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))。即等差數(shù)列的線性運(yùn)算所得到的數(shù)列依然等差。2．若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則有{an＋an＋k}也是等差數(shù)列(k為常數(shù),k∈N*)。即等差數(shù)列的“依次每k項(xiàng)的和”所得到的數(shù)列依然等差。二、等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例1已知三個數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個數(shù)．解：解題感悟：1.“對稱設(shè)項(xiàng)”技巧：三個數(shù)等差，設(shè)這三個數(shù)為a－d，a，a＋d；四個數(shù)等差，設(shè)這四個數(shù)為a3d，a－d，a＋d，a+3d；……先設(shè)中間項(xiàng)，奇數(shù)個項(xiàng)設(shè)中間一項(xiàng)為a，公差為d;偶數(shù)個項(xiàng)設(shè)中間兩項(xiàng)a－d，a＋d,公差為2d.2.等差數(shù)列單調(diào)性應(yīng)用：性質(zhì)1.（等差數(shù)列的單調(diào)性）等差數(shù)列{an}的公差為d，①d＞0{an}為遞增數(shù)列；②d＜0{an}為遞減數(shù)列；③d＝0{an}為常數(shù)列．從函數(shù)的角度看，等差數(shù)列的單調(diào)性是其中最重要的性質(zhì)，涉及等差數(shù)列“項(xiàng)”的變化、范圍、最值等問題一般可以考慮此性質(zhì)的應(yīng)用。例2在等差數(shù)列{an}中，an=m，am=n，且n≠m，求am+n.解題感悟：求等差數(shù)列中的特定項(xiàng)，有兩種方法：①基本量法：利用通項(xiàng)公式an=a1+(n1)d,解方程（組）求首項(xiàng)和公差，寫出特定項(xiàng)（此法具有一般性，有時運(yùn)算稍繁）；（任意給出兩項(xiàng)，使用此法可簡化運(yùn)算）自主練習(xí)：1.在等差數(shù)列{an}中，若a6＝10，a15＝1，求a21的值．例3(1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)在等差數(shù)列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．解一：解二：解三：解題感悟：涉及等差數(shù)列中的項(xiàng)與項(xiàng)的和，可考慮使用等差數(shù)列的“中項(xiàng)性質(zhì)”求解。性質(zhì)2.（中項(xiàng)性質(zhì)）設(shè){an}為等差數(shù)列，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)更一般的結(jié)論：在等差數(shù)列中，若“項(xiàng)數(shù)相同”且“序號之和相等”，則“項(xiàng)與項(xiàng)的和相等”。常用結(jié)論：設(shè){an}為等差數(shù)列，若m＋n＝2p，則有am＋an＝2ap.(m，n，p∈N*)自主練習(xí)：2.在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，那么a2＋a8等于多少？例4在等差數(shù)列{an}中，若a6＝10，a15＝1，求a21的值．注意：設(shè){an}為等差數(shù)列，am，an，ap是任意三項(xiàng)(m，n，p∈N*)，存在唯一λ∈Q，使得ap=λam+(1λ)an.解題感悟：構(gòu)造“子數(shù)列”，利用相應(yīng)性質(zhì)求解（如本題例3（2）解法三）性質(zhì)3.若數(shù)列{kn}是等差數(shù)列，則數(shù)列{akn}也是等差數(shù)列．即在等差數(shù)列中每隔相同的項(xiàng)選出一項(xiàng)，按原來的順序排成一列，仍然是一個等差數(shù)列．自主練習(xí)：3．在等差數(shù)列{an}中，若a5＝a，a10＝b，則a15＝______.4.在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，則a13＝()A．9B．12C．15D．185.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)從數(shù)列{an}中，依次取出偶數(shù)項(xiàng)，組成一個新數(shù)列{bn}，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．解：22b－a例5在等差數(shù)列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．解題感悟：按“依次每k項(xiàng)和”構(gòu)造新數(shù)列，利用相應(yīng)性質(zhì)求解性質(zhì)4．若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則有{an＋an＋k}也是等差數(shù)列(k為常數(shù),k∈N*)。即等差數(shù)列的“依次每k項(xiàng)的和”所得到的數(shù)列依然等差。按“依次每k項(xiàng)和”構(gòu)造新數(shù)列：①a1+a3,a3+a5,a5+a7,……；②a1+a4+a7,a2+a5+a8,……；③a2+2a4+3a6,a3+2a5+3a7,……指出②③的第3項(xiàng)：a3＋a6＋a9a4＋2a6＋3a8