人教A版高中數學(選擇性必修二)同步培優(yōu)講義專題4.7 等比數列的概念（重難點題型精講）（原卷版）

專題4.7等比數列的概念（重難點題型精講）1．等比數列的概念2．等比中項如果在a與b中間插入一個數G(G≠0)，使a,G,b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項.

若G是a與b的等比中項，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=ab，即G=SKIPIF1<0.3．等比數列的通項公式若等比數列{SKIPIF1<0}的首項為SKIPIF1<0，公比為q，則這個等比數列的通項公式是SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,q≠0).4．等比數列的通項公式與指數函數的關系等比數列{SKIPIF1<0}的通項公式SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0可以改寫為SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，當q>0且q≠1時，等比數列{SKIPIF1<0}的圖象是指數型函數y=SKIPIF1<0的圖象上一些孤立的點.5．等比數列的單調性已知等比數列{SKIPIF1<0}的首項為SKIPIF1<0，公比為q，則

(1)當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，等比數列{SKIPIF1<0}為遞增數列；

(2)當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，等比數列{SKIPIF1<0}為遞減數列；

(3)當q=1時，等比數列{SKIPIF1<0}為常數列(這個常數列中各項均不等于0)；

(4)當q<0時，等比數列{SKIPIF1<0}為擺動數列(它所有的奇數項同號，所有的偶數項也同號，但是奇數項與偶數項異號).6．等比數列的性質設{SKIPIF1<0}為等比數列，公比為q，則

(1)若m+n=p+q，m,n,p,qSKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.

(2)若m,n,p(m,n,pSKIPIF1<0)成等差數列，則SKIPIF1<0成等比數列.

(3)數列{SKIPIF1<0SKIPIF1<0}(SKIPIF1<0為不等于零的常數)仍是公比為q的等比數列；

數列{SKIPIF1<0}是公比為SKIPIF1<0的等比數列；

數列{SKIPIF1<0}是公比為SKIPIF1<0的等比數列；

若數列{SKIPIF1<0}是公比為q'的等比數列，則數列{SKIPIF1<0}是公比為q·q'的等比數列.

(4)在數列{SKIPIF1<0}中，每隔k(kSKIPIF1<0)項取出一項，按原來的順序排列，所得數列仍為等比數列，且公比為SKIPIF1<0.

(5)在數列{SKIPIF1<0}中，連續(xù)相鄰k項的和(或積)構成公比為SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)的等比數列.

(6)若數列{SKIPIF1<0}是各項都為正數的等比數列，則數列{SKIPIF1<0}(c>0且c≠1)是公差為SKIPIF1<0的等差數列.【題型1等比數列的基本量的求解】【方法點撥】根據所給條件，求解等比數列的基本量，即可得解.【例1】（2022·江西·高三階段練習（文））在等比數列an中，a2+a4=3，A．4 B．±4 C．2 D．±2【變式1-1】（2022·陜西·高二階段練習）已知等比數列an中，a2=116，aA．±4 B．±22 C．2【變式1-2】（2022·甘肅·高三階段練習（理））在等比數列an中，a2a4=64，aA．2 B．±2 C．2或43 D．【變式1-3】（2022·云南昆明·高二期末）在等比數列an中，a1+a3=2，A．2 B．3 C．13 D．【題型2等比中項】【方法點撥】根據題目條件，結合等比中項的定義，即可得解.【例2】（2022·黑龍江·高二期中）在等比數列an中，a1=18，q=2，則aA．±4 B．4 C．?2 D．?4【變式2-1】（2022·寧夏·高一期末）若等比數列的首項為4，公比為2，則數列中第2項與第4項的等比中項為（

）A．32 B．?16 C．±32 D．±16【變式2-2】（2022·廣東·高二期中）若數列2,a,8是等比數列，則實數a的值為（

）A．4 B．??4 C．【變式2-3】（2023·全國·高三專題練習）數列an為等比數列，a1=1，a5=4，命題p:a3=2，命題q:a3是A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【題型3等比數列的通項公式】【方法點撥】結合所給數列的遞推關系，分析數列之間的規(guī)律關系，轉化求解即可.【例3】（2022·湖南·高二期中）正項等比數列an滿足a1=2，a3=8A．2n?1 B．2n C．2【變式3-1】（2022·陜西·高二階段練習（文））在各項為正的遞增等比數列an?中，a1a2aA．2n+1? B．2C．3×2n?1? D．【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習）已知在等比數列an中，a3=4，前三項和S3=12A．an=C．an=4 D．a【變式3-3】（2022·山西太原·高三期末（理））等比數列{an}中，a3=8,A．an=C．an=2n或1【題型4等比數列的單調性】【方法點撥】判斷單調性的方法：①轉化為函數，借助函數的單調性，如基本初等函數的單調性等，研究數列的單調性.②利用定義判斷：作差比較法，即作差比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大??；作商比較法，即作商比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小，從而判斷出數列{SKIPIF1<0}的單調性.【例4】（2022·陜西·高二期中（理））數列an是等比數列，首項為a1，公比為q，則a1q?1<0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4-1】（2022·遼寧·高二期中）設等比數列an的首項為a1，公比為q，則anA．a1>0，q>1 B．aC．a1lg【變式4-2】（2022·河南·高二階段練習（理））已知等比數列{an}的公比為q．若{anA．q<?1 B．?1<q<0 C．0<q<1 D．q>1【變式4-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比數列an，下列選項能判斷an為遞增數列的是(A．a1>0，0<q<1 B．aC．a1<0，q=1 D．a【題型5等比數列的判定與證明】【方法點撥】只有定義法、遞推法(等比中項法)可用于證明等比數列，通項公式法與前n項和公式法只能用于小題中等比數列的判定；在用定義法與遞推法(等比中項法)證明等比數列時要注意SKIPIF1<0≠0.【例5】（2022·湖南省高二期中）在數列an中，a1=2(1)求證：an(2)求數列an【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）已知數列an滿足a1=1,an+1【變式5-2】（2022·福建省高三階段練習）已知數列an滿足an+1=12(1)求證：數列bn(2)若cn=?nb【變式5-3】（2022·全國·高三專題練習）在數列{an}中，已知各項都為正數的數列{(1)證明數列{a(2)若a1=15，【題型6等比數列性質的應用】【方法點撥】對于等比數列的運算問題，可觀察已知項和待求項的序號之間的關系，利用等比數列的性質進行求解，這樣可以減少運算量，提高運算速度.【例6】（2021·廣西·高二階段練習）在等比數列{an}中，已知a3aA．4 B．6 C．8 D．10【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習）己知在等