2023年中考數(shù)學壓軸題03 二次函數(shù)與等腰直角三角形問題【含答案】

專題3二次函數(shù)與等腰直角三角形問題

方法揭秘.

二次函數(shù)與等腰直角三角形的相結(jié)合的綜合問題，是中考數(shù)學壓軸題中比較常見的一種，涉及到的知識點

有：等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、斜邊的中線、全等三角形與相似三角形、角平分線、方

程與函數(shù)模型、函數(shù)的基本性質(zhì)等。等腰直角三角形與二次函數(shù)綜合問題常見的有三種類型：兩定一動探

索直角三角形問題；一定兩動探索等腰直角三角形問題；三動探索等腰直角三角形問題；常見的思路中，

不管是哪種類型的等腰直角三角形三角形問題，分類討論的依據(jù)都是三個角分別為直角，解決的思路是通

過構(gòu)造K型全等或相似圖來列方程解決。

AC

在Rt^ACB和RtaBEF中，若NA=NEBF,則ZXACBSBFE,則一=

BFBEEF'

ACABBC,

若RtAACB和RtABEF是等腰直角三角形,則—=—=~~=1

BFBEEF

典例剖析.

【例1】(2022?棗莊)如圖①，已知拋物線經(jīng)過點”(0,3),B(1,0),過點/作4C〃x

軸交拋物線于點C,N/OB的平分線交線段ZC于點E,點尸是拋物線上的一個動點.

(1)求拋物線的關(guān)系式；

(2)若動點尸在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)尸E、PO,當△OPE面積最大時，求出尸點坐標；

(3)將拋物線L向上平移〃個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△(?/后內(nèi)(包括△〃￡；的邊界),

求h的取值范圍；

(4)如圖②，尸是拋物線的對稱軸/上的一點，在拋物線上是否存在點P,使4尸。尸成為以點尸為直角頂

點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

圖①圖②

【例2】(2022?東營)如圖，拋物線、=°/+瓜-3(aWO)與x軸交于點4(-1,0),點、B(3,0),與y

軸交于點C.

(1)求拋物線的表達式：

(2)在對稱軸上找一點0，使△/C0的周長最小，求點0的坐標；

(3)點尸是拋物線對稱軸上的一點，點"是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，當△PA/5是以P8為腰的等腰

直角三角形時，請直接寫出所有點”的坐標.

【例3】(2022?吉林)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=/+bx+c(6,c是常數(shù))經(jīng)過點4(1,0),

點8(0,3).點尸在此拋物線上，其橫坐標為小

(1)求此拋物線的解析式.

(2)當點P在x軸上方時，結(jié)合圖象，直接寫出〃?的取值范圍.

(3)若此拋物線在點尸左側(cè)部分(包括點尸)的最低點的縱坐標為2-〃?.

①求〃，的值.

②以以為邊作等腰直角三角形以。，當點。在此拋物線的對稱軸上時，直接寫出點。的坐標.

1.(2022?石獅市模擬)已知拋物線2ax+a+2與工軸交于B兩點、(4在8的左側(cè))，與y軸正半

軸交于點C,點尸為該拋物線在第一象限內(nèi)的點.當點P為該拋物線頂點時，△/8P為等腰直角三角形.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)過點P作軸于點￡,交△N8P的外接圓于點。，求點。的縱坐標；

(3)直線/P,8尸分別與v軸交于M,N兩點，求孚的值.

CM

2.(2022?福建模擬)如圖，已知拋物線yuo?+bx+c與x軸相交于/,8兩點，點C(2,-4)在拋物線上,

且△/8C是等腰直角三角形.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點。(2,0)的直線與拋物線交于點N,試問：以線段MN為直徑的圓是否過定點？證明你的

3.（2022?碑林區(qū)校級四模）在平面直角坐標系xQy中，拋物線y=-『+mx+〃與x軸交于點/,B。在8

的左側(cè)）.

（1）若拋物線的對稱軸為直線x=-3,48=4.求拋物線的表達式；

（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點O,且與x軸正半軸交于點C,記平移后的拋物線頂

點為尸，若△OCP是等腰直角三角形，求點尸的坐標.

y4

-3-

-4-

-5-

4.（2021秋?福清市期末）已知拋物線、="2+加-2經(jīng)過（2,2）,且頂點在夕軸上.

（1）求拋物線解析式；

（2）直線y=Ax+c與拋物線交于4,8兩點.

①點尸在拋物線上，當A=0,且△/B尸為等腰直角三角形時，求c的值；

②設(shè)直線^=履+。交x軸于點M（機，0）,線段N8的垂直平分線交y軸于點N,當c=l,機>6時，求點

N縱坐標〃的取值范圍.

5.（2022?集美區(qū)二模）在平面直角坐標系中，拋物線T：y=a（x+4）（x-機）與x軸交于48兩點，

m>-3,點3在點A的右側(cè)，拋物線T的頂點為記為P.

（1）求點Z和點8的坐標；（用含用的代數(shù)式表示）

（2）若°=m+3,且△/B尸為等腰直角三角形，求拋物線7的解析式；

（3）將拋物線7進行平移得到拋物線7,拋物線7與x軸交于點B,C（4,0）,拋物線「的頂點記為。.若

0<a<l,且點C在點8的右側(cè)，是否存在直線/P與C0垂直的情形？若存在，求，"的取值范圍；若不

存在，請說明理由.

6.（2022?城廂區(qū)模擬）拋物線-（w+3）x+3機與x軸交于/、8兩點，與夕軸交于點C（不與點。

重合）.

（1）若點/在x軸的負半軸上，且△O8C為等腰直角三角形.

①求拋物線的解析式；

②在拋物線上是否存在一點。，使得點。為△88的外心，若存在，請求出點。的坐標，若不存在，請

說明理由.

(2)點P在拋物線對稱軸上，且點尸的縱坐標為-9,將直線PC向下平移"個單位長度得到

直線P'C,若直線尸,C與拋物線有且只有一個交點，求△/8C面積的取值范圍.

7.(2022?將樂縣模擬)拋物線尸爾+bx+c與直線尸-■有唯一的公共點4與直線產(chǎn)卷交于點8,C

(C在5的右側(cè))，且△N5C是等腰直角三角形.過C作x軸的垂線，垂足為。(3,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)直線y=2x與拋物線的交點為P,Q,且尸在0的左側(cè).

(i)求尸，0兩點的坐標；

(ii)設(shè)直線y=2x+/?(加＞0)與拋物線的交點為"，N,求證：直線PM,QN,8交于一點.

8.(2022?贛州模擬)如圖，二次函數(shù)二=/+瓜-3(xW3)的圖象過點/(-1,0),B(3,0),C(0,c),

記為L.將L沿直線x=3翻折得到“部分拋物線”K,點A,C的對應點分別為點4,C.

(1)求a,b,c的值；

(2)畫出“部分拋物線”K的圖象，并求出它的解析式；

(3)某同學把L和“部分拋物線”K看作一個整體，記為圖形“％”，若直線^=機和圖形“少”只有兩個

交點、M,N(點M在點N的左側(cè)).

①直接寫出w的取值范圍；

②若△A/NB為等腰直角三角形，求m的值.

9.(2022?瓊海二模)如圖1,拋物線卜=??+隊+3與x軸交于點/(3,0)、8(-1,0),與y軸交于點C,

點尸為x軸上方拋物線上的動點，點尸為y軸上的動點，連接我，PF,AF.

(1)求該拋物線所對應的函數(shù)解析式；

(2)如圖1,當點尸的坐標為(0,-4),求出此時△NEP面積的最大值：

(3)如圖2,是否存在點尸，使得是以N尸為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點尸的坐標;

若不存在，請說明理由.

10.(2022?虹口區(qū)二模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線卜="2+以+6與x軸交于點/(-2,0)

和點8(6,0),與y軸交于點C,頂點為。，聯(lián)結(jié)8c交拋物線的對稱軸/于點￡

(1)求拋物線的表達式：

(2)聯(lián)結(jié)8、BD,點尸是射線。E上的一點，如果SAPOB=SM7?5，求點尸的坐標；

(3)點M是線段8E上的一點，點N是對稱軸/右側(cè)拋物線上的一點，如果是以￡以為腰的等腰直

11.(2022?順城區(qū)模擬)如圖，拋物線y=-N+fec+c與x軸交于點/和8(5,0),與夕軸交于點C(0,5).

(1)求拋物線的解析式;

(2)拋物線的對稱軸與x軸交于點M,與8c交于點尸，點。是對稱軸上一點，當點。關(guān)于直線8c的對

稱點E在拋物線上時，求點E的坐標；

(3)點尸在拋物線的對稱軸上，點。在直線8c上方的拋物線上，是否存在以O(shè),P,。為頂點的三角形

是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

12.(2022?襄城區(qū)模擬)拋物線y=x2-(加+3)x+3加與x軸交于/、8兩點，與夕軸交于點C.

(1)如圖1,若點/在x軸的負半軸上，△O8C為等腰直角三角形，求拋物線的解析式；

(2)在(1)的條件下，點。(-2,5)是拋物線上一點，點W為直線8C下方拋物線上一動點，令四邊

形BDCM的面積為S,求S的最大值及此時點M的坐標；

(3)若點P是拋物線對稱軸上一點，且點尸的縱坐標為-9,作直線PC,將直線PC向下平移〃(n>0)

個單位長度得到直線P'C,若直線PC與拋物線有且僅有一個交點.

①直接寫出〃關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；

②直接寫出當時機的取值范圍.

圖1備用圖

13.(2022?山西二模)綜合與探究

如圖，拋物線產(chǎn)?jfx+c與x軸交于1,8兩點(點N在點8的左側(cè))，與y軸交于點C,且4,8兩點

的坐標分別是4(-2,0),B(8,0).點P是拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為"?，過點尸作直線/

_Lx軸，交直線NC于點G,交直線BC于點H.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及點C的坐標.

(2)如果點。是拋物線的頂點，點P在點C和點。之間運動時，試判斷在拋物線的對稱軸上是否存在一

點N,使得△NG4是等腰直角三角形，若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)試探究在拋物線的對稱軸上是否存在點。，使得以點P,Q,B,C為頂點的四邊形是平行四邊形，若

存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

14.(2022?長沙模擬)已知拋物線G：+〃與x軸于/,兩點，與y軸交于點C,△ABC為等腰直

角三角形，且"=-1.

(1)求拋物線Ci的解析式；

(2)將Ci向上平移一個單位得到C2,點A/、N為拋物線C2上的兩個動點，O為坐標原點，且NMCW=90°,

連接點M、N,過點。作于點E.求點￡到夕軸距離的最大值：

(3)如圖，若點尸的坐標為(0,-2),直線/分別交線段/尸，8尸(不含端點)于G,，兩點.若直線/

與拋物線。有且只有一個公共點，設(shè)點G的橫坐標為b,點，的橫坐標為a,則a-b是定值嗎？若是，請

求出其定值，若不是，請說明理由.

15.(2022?永川區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標系中，己知拋物線y=a?+4x+c與直線相交于點/(0,

1)和點B(3,4).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)C為直線48上方的拋物線上一點，連接4C,BC,以/C,8c為鄰邊作平行四邊形/C8P,求四

邊形NC8尸面積的最大值；

(3)將該拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線y=a]x2+blX+Cl(alW°)，平移后的拋物線與原拋物

線相交于點。，是否存在點E使得是以/。為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點E的坐標;

若不存在，請說明理由.

16.(2022?興城市一模)如圖，拋物線y=-^x2+bx+c與x軸交于點4和點8(5,0),與y軸交于點C(0,

5

-3),連接/C,8C,點E是對稱軸上的一個動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當MBCE=21/BC時，求點E的坐標；

(3)在拋物線上是否存在點P,使ABPE是以8E為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點P的

坐標；若不存在，請說明理由.

17.(2021?昆明模擬)已知拋物線：y=ax2-2ax+c(a>0)過點(-1,0)與(0,-3).直線y=x-6交

x軸、y軸分別于點AB.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點尸是拋物線上的任意一點.連接口，P8,使得△R18的面積最小，求△現(xiàn)8的面積最小時，P

的橫坐標；

(3)作直線x=f分別與拋物線y=ax2-2ax+c(a>0)和直線y=x-6交于點E,凡點C是拋物線對稱軸

上的任意點，若4CE尸是以點E或點尸為直角頂點的等腰直角三角形，求點C的縱坐標.

18(2021?新泰市一模)如圖，拋物線夕=4/+樂+2交x軸于點/(-3,0)和點8(1,0),交y軸于點C.已

知點。的坐標為(-1,0),點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接4尸、PC、CD.

(1)求這個拋物線的表達式.

(2)點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形/DC尸面積的最大值.

(3)①點"在平面內(nèi)，當是以CM為斜邊的等腰直角三角形時，求出滿足條件的所有點"的坐

標；

②在①的條件下，點N在拋物線對稱軸上，當/MNC=45°時，求出滿足條件的所有點N的坐標.

19.(2021?廣安)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)夕=-/+bx+c的圖象與坐標軸相交于4、B、C三

點，其中4點坐標為(3,0),2點坐標為(-1,0),連接ZC、BC.動點P從點4出發(fā)，在線段NC上以

每秒白、單位長度向點C做勻速運動；同時，動點。從點8出發(fā)，在線段加上以每秒1個單位長度向點

/做勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，連接P。，設(shè)運動時間為f秒.

(1)求6、c的值.

(2)在尸、。運動的過程中，當f為何值時，四邊形8CP0的面積最小，最小值為多少？

(3)在線段AC上方的拋物線上是否存在點M,使△WP0是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在,

請求出點”的坐標；若不存在，請說明理由.

20.(2021?上海)已知拋物線yuH+c(〃/0)經(jīng)過點尸(3,0)、Q(1,4).

(1)求拋物線的解析式：

(2)若點/在直線尸0上，過點N作軸于點B,以Z8為斜邊在其左側(cè)作等腰直角三角形/8C.

①當。與“重合時，求C到拋物線對稱軸的距離；

②若C在拋物線上，求C的坐標.

典例剖析.

【例1】(2022?棗莊)如圖①，已知拋物線L：yuf+fcc+c經(jīng)過點4(0,3),B(1,0),過點/作ZC〃x

軸交拋物線于點C,N/O8的平分線交線段4c于點E,點尸是拋物線上的一個動點.

(1)求拋物線的關(guān)系式；

(2)若動點P在直線0￡下方的拋物線上，連結(jié)尸E、PO,當△OPE面積最大時，求出尸點坐標；

(3)將拋物線L向上平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△O/E內(nèi)(包括△OZE的邊界)，

求人的取值范圍；

(4)如圖②，尸是拋物線的對稱軸/上的一點，在拋物線上是否存在點P,使^P。尸成為以點P為直角頂

點的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

圖①圖②

【分析】(1)利用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式；

(2)過P作尸G〃y軸，交OE于點G,設(shè)尸(m,m2-4w+3),根據(jù)OE的解析式表示點G的坐標，表示

尸G的長，根據(jù)面積和可得aOPE的面積，利用二次函數(shù)的最值可得其最大值；

(3)求出原拋物線的對稱軸和頂點坐標以及對稱軸與OE的交點坐標、與工￡的交點坐標，用含〃的代數(shù)

式表示平移后的拋物線的頂點坐標，列出不等式組求出h的取值范圍；

(4)存在四種情況：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△。例尸絲△尸NF,根據(jù)10M=1尸2，列方程可得點

P的坐標：同理可得其他圖形中點尸的坐標.

【解析】(1)??,拋物線L：y=f+6x+c的圖象經(jīng)過點力(0,3),B(1,0),

.Jl+b+c=O,解得］b=-4,

Ic=3Ic=3

拋物線的解析式為：y=x2-4x+3；

(2)如圖，過尸作PG〃y軸，交OE于點G,

.?.//OE=45°,

...△ZO￡是等腰直角三角形，

J.AE=OA=3,

：.E(3,3),

?,?直線0E的解析式為：y=x,

:?G(m,w),

:?PG=m-(加2-4/W+3)=-m2+5ni-3,

s&OPE=SAOPG+S4EPG

^LpG-AE

2

=AX3X(-m2+5m-3)

2

=--(w2-5m+3)

2

=-2.(〃i-旦)2+21,

228

：一旦＜o,

2

當機=至?時，△OPE面積最大，

2

此時，p點坐標為(g,-3)；

24

(3)由y=f-4x+3=(x-2)2-1,得拋物線/的對稱軸為直線x=2,頂點為(2,-1),

拋物線L向上平移h個單位長度后頂點為F(2,-1+力).

設(shè)直線x=2交于點。M,交AE于點N,則￡(2,3),

?.?直線的解析式為：y=x,

：.M(2,2),

?點尸在△O/E內(nèi)(包括的邊界),

.?.2W-1+Y3,

解得3W/?W4：

(4)設(shè)尸("?，m2-4/?+3),分四種情況:

①當P在對稱軸的左邊，且在x軸下方時，如圖，過尸作MNLy軸，交y軸于交/于N,

：.NOMP=NPNF=90°,

「△OPE是等腰直角三角形,

：.OP=PF,NOPF=90°,

：.ZOPM+4NPF=ZPFN+ZNPF=90°,

，ZOPM=/PFN,

:./\OMP烏/\PNF（44S）,

：.OM=PN,

?:P（加，m2-4/w+3）,

則-謂+4〃?-3=2-陽，

解得：那=_5.技.（舍）或土返，

22

尸的坐標為（立返，上近?）；

22

②當尸在對稱軸的左邊，且在X軸上方時,

同理得：2-m=m2-4〃?+3,

解得：加尸夕'后（舍）或加2=’一75「

22

...P的坐標為（三應，遙+1）;

22

③當尸在對稱軸的右邊，且在X軸下方時,

如圖，過P作仞V_Lx軸于M過尸作尸例_LMV于A7,

同理得△ONP9APMF,

:.PN=FM,

貝!J-，”+4〃7-3=m-2,

解得：〃“=空叵或"2=生返（舍）；

22

P的坐標為（?巫，上恒）；

22

④當尸在對稱軸的右邊，且在X軸上方時，如圖,

同理得m2-4m+3=/%-2,

解得：〃?=旦2:叵或昱近_（舍），

22

尸的坐標為：（昱恒，娟+1）；

22

+1

綜上所述，點P的坐標是：（主逅，上逅）或（3-、底_,VJ）或（史返，上近_）或冷后,

2222222

反）.

2

E（1,-1）是。點（1,0）繞O點順時針旋轉(zhuǎn)45°并且OD縮小2倍得到，

易知直線DE即為對稱軸上的點繞O點順時針旋轉(zhuǎn)45°,且到O點距離縮小我倍的軌跡,

聯(lián)立直線DE和拋物線解析式得x2-4x+3=x-2,

解得xi=-5R5,工2二昱近一，

22

同理可得》3=空叵或欠4=主亞_；

22

綜上所述，點P的坐標是：(生近上后)或(生近，近±1.)或(老口叵，上后)或(豆近

2222222

反).

2

【例2】.(2022?東營)如圖，拋物線y=蘇+云-3(a/0)與x軸交于點/(-1,0),點B(3,0),與y

軸交于點C.

(1)求拋物線的表達式；

(2)在對稱軸上找一點0,使△/C0的周長最小，求點。的坐標；

(3)點尸是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，當是以P8為腰的等腰

直角三角形時，請直接寫出所有點M的坐標.

【分析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)連接C8交對稱軸于點。，當C、B、0三點共線時，△/C。的周長最小，求出直線8c的解析式，再

求。點坐標即可；

(3)分兩種情況討論：當NBPM=90°時，PM=PB,M點與/點重合，則0)；當/PBM=90°

時，PB=BM,過點5作x軸的垂線G",過點P作尸"J_GH交于“，過點用作MG_L〃G交于G,可證明

△BPHWAMBG(AAS),設(shè)。(1,7),則A/(3--2),求出W點坐標為(1--2).

【解析】(1)將點/(-1,0),點8(3,0)代入^=公2+云-3,

.fa-b-3=0

19a+3b-3=0

解得八口，

lb=-2

.".y=x2-2x-3；

(2)連接CB交對稱軸于點Q,

"：y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

，拋物線的對稱軸為直線x=l,

?.】、8關(guān)于對稱軸x=l對稱，

:.AQ=BQ,

：.AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ^AC+BC,

當C、B、0三點共線時，△4C0的周長最小，

VC(0,-3),B(3,0),

設(shè)直線BC的解析式為y=h+b,

.fb=-3

,13k+b=0'

解得F=1,

lb=-3

*.y=x-3,

：.Q(1,-2)；

(3)當N5PM=90°時，PM=PB,

???M點與4點重合，

：.M(-1,0)；

當NP6M=90°時，PB=BM,

過點8作工軸的垂線G”,過點P作PHLGH交于H,過點刊作MGJ_〃G交于G,

■:NPBM=90°,

:?/PBH+/MBG=9C,

?:/PBH+/BPH=90°,

：?4MBG=/BPH,

*：BP=BM,

:.△BPHQ/XMBGCAAS),

:.BH=MG,PH=BG=2,

設(shè)尸(1,/),則"(3-r,-2),

??--2=(3-z)2-2(3-r)-3,

解得f=2+&或t=1-五,

：.M（1-V2--2）或（5+&,-2）,

點在對稱軸的左側(cè)，

二〃點坐標為（I--2）；

綜上所述：M點的坐標為（1-我，-2）或（-1,0）.

【例3】（2022?吉林）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=/+bx+c（b,c是常數(shù)）經(jīng)過點”（1,0）,

點8（0,3）.點尸在此拋物線上，其橫坐標為

（1）求此拋物線的解析式.

（2）當點P在x軸上方時，結(jié)合圖象，直接寫出〃?的取值范圍.

（3）若此拋物線在點尸左側(cè)部分（包括點尸）的最低點的縱坐標為2-〃?.

①求機的值.

②以我為邊作等腰直角三角形為。，當點。在此拋物線的對稱軸上時，直接寫出點。的坐標.

【分析】（I）通過待定系數(shù)法求解.

（2）令y=0,求出拋物線與x軸交點坐標，結(jié)合圖象求解.

（3）①分類討論點P在拋物線對稱軸右側(cè)及左側(cè)兩種情況，分別求出頂點為最低點和點尸為最低點時m

的值.

②根據(jù)機的值，作出等腰直角三角形求解.

【解析】（1）將（1，0）,（0,3）代入y=x2+fer+c得［°=l+b+c,

I3=c

解得［b~4,

,c=3

J.y—x1-4x+3.

（2）令f-4x+3=0,

解得Xl=l,X2=3）

...拋物線與x軸交點坐標為（1,0）,（3,0）,

?.?拋物線開口向上，

1或切>3時，點尸在x軸上方.

（3）①；y=/-4x+3=（x-2）2-1,

拋物線頂點坐標為（2,-1）,對稱軸為直線x=2,

當m>2時，拋物線頂點為最低點，

/--1=2-,

解得"7=3,

當加W2時，點尸為最低點，

將代入、=/-4x+3得^=加2-4加+3,

/.IYT-4〃?+3=2-m,

解得加1=生叵（舍），加2=3口⑸.

22

'.m=3或機=殳乂5-.

2

②當m=3時，點P在x軸上，/尸=2,

???拋物線頂點坐標為（2,-1）,

二點0坐標為（2,-1）或（2,1）符合題意.

x軸于點尸，作。E_LP/于點E,

NQPE+N4PF=ZAPF+ZPAF=90°,

：.ZQPE=ZPAF,

又,：NQEP=/PFA=90°,QP=PA,

:.△QEP^APFA(N/S),

：.QE=PF,即2-〃?=機2-4〃?+3,

解得加1=38而（舍），他=3一遍

22

：.PF=2-3/位AF=PE=1-生2區(qū)，

22

：.EF=PF+PE=2-3-泥+1-^^-=疾,

22

，點。坐標為(2,V5).

綜上所述，點0坐標為（2,-1）或（2,1）或（2,y）.

滿分訓練.

1.（2022?石獅市模擬）已知拋物線y=ax2-2“x+a+2與x軸交于4B兩點（/在2的左側(cè)），與y軸正半

軸交于點C,點尸為該拋物線在第一象限內(nèi)的點.當點尸為該拋物線頂點時，△48P為等腰直角三角形.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）過點P作尸。_Lx軸于點E,交△Z8P的外接圓于點。，求點。的縱坐標；

（3）直線月P,8尸分別與y軸交于M,N兩點，求磔的值.

CM

【分析】（1）運用配方法將拋物線解析式化為頂點式，可得到頂點坐標，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得4

8兩點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求解；

（2）根據(jù)等腰直角三角形△/8P的外接圓可得為直徑，點E為圓心，即可得點。的縱坐標；

（3）利用待定系數(shù)法可得直線4P,8P的解析式，分別求出N兩點的坐標，由y=-12+戶3得。（0,

22

3）,求出CMCW的值，即可求解.

2

【解析】（1）,.）="2-2ax+a+2=a（x2-2x）+a+2—a（x-1）2+21

，拋物線的頂點P的坐標為（1,2）,

如圖：過點尸作軸于點￡,則E（l,0）,

尸為等腰直角三角形，

：.AE=BE=PE=^AB=2,

2

：.A(-1,0),B(3,0),

將8(3,0)代入y=a(x-1)2+2得，

。(3-1)2+2=0,解得〃=-工，

2

???該拋物線的解析式為y=-1(x-1)2+2=-』F+x+3；

222

(2)如圖:

為等腰直角三角形，POl_x軸于點E,

為直徑，點E為圓心，

?.?點P的坐標為(I,2),

:.PE=2,

：.DE=2,

：.D(1,-2),

...點。的縱坐標為-2；

(3)設(shè)直線/P的解析式為y=fcr+b,

?.?點(1,2),A(-1,0),

...「k+b=0,解得4=1,

lk+b=2\b=l

???直線AP的解析式為y=x+l,

令x=0,則歹=1,

：.M(0,1),

同理得直線BP的解析式為歹=-x+3,

令x=0,則y=3,

：.N(0,3),

,->=-/y2+x+3與y軸正半軸交于點C,

：.C(0,—),

2

.?.CM=3-1=工，CN=3-3=3,

2222

3_

.CN

**CM

7

2.(2022?福建模擬)如圖，已知拋物線y=af+bx+c與x軸相交于48兩點，點C(2,-4)在拋物線上,

且△Z8C是等腰直角三角形.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過點。(2,0)的直線與拋物線交于點M,N,試問：以線段MV為直徑的圓是否過定點？證明你的

【分析】(1)等腰直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，點的坐標，不難求出/、8兩點坐標，把點Z、8、C

代入二次函數(shù)解析式，解三元一次方程組就可得到函數(shù)解析式.

(2))通過設(shè)過點。(2,0)的直線解析式為y=A(x-2)=kx-2k,得到關(guān)于x、關(guān)于y的方程，利

用跟與系數(shù)的關(guān)系，再得到圓的解析式，待定系數(shù)法確定定點的x、y的值，確定定點的坐標.

【解析】連接ZC、BC,過點C作CP垂直于x軸于點尸.

在RtZ\C/8中，AC=BC,點C(2,-4),

:.CP=AP=PB=4,OP=2,

：.OA=AP-。尸=4-2=2,OB=OP+PB=4+2=6,

.?.點4(-2,0),點8(6,0),

把點N(-2,0),點8(6,0),點C(2,-4)代入函數(shù)解析式得

0=4a-2b+c

,0=36a+6b+c>

-4=4a+2b+c

1

解得《

b=_]，

c=-3

(2)設(shè)過點O(2,0)的直線MN解析式為歹=后(x-2)=kx?2k,

聯(lián)立直線與拋物線解析式得關(guān)于x的等式：kx-2人=12-X-3,

4

化簡得(k+l)x+2k-3=°，

X^I+XM-------(:1，-=4(%+1),XAtXM='2k]W=8,_12....①，

77

聯(lián)立直線與拋物線解析式得關(guān)于y的等式：、=工(工+2)2-(X+2)-3,

4kk

化簡得上?+(-1-1)y-4=0,

4k2-k

yM+yN=4k1,y^yN=-16M.......②，

線段MN的中點就是圓的圓心，

(XN+XM)—2(K+l),

2

代入直線方程得》。=2后，

.?.圓心坐標為(2什2,2"),

直徑”『(乂…黯+?巾/=7<xM+xN)2-43￡?^+<^+^2-4VN'

把①、②代入上式化簡整理得直徑MN=Q16k4+80k2+64,

設(shè)圓上某一點(x,y)到圓心的距離等于半徑迎，

2

R[x-（2k+2）]2+（y-2k2）2416k4+y2+64,

化簡整理得16F+12-8A=x2-4kx-4x+f-4丹=-4ylr-Akx+x2-4x+f,

圓過定點，所以與左值無關(guān)，看作是關(guān)于人的二次等式，

F、女的系數(shù)，常量對應相等，

得-8=-4x,

x=2,

16=-4y,

y--4,

由以上分析，所以以MN為直徑的圓過定點（2,-4）.

故答案為：以線段A/N為直徑的圓過定點（2,-4）.

3.（2022?碑林區(qū)校級四模）在平面直角坐標系xQy中，拋物線y=-苫2+儂+"與x軸交于點/,B在8

的左側(cè)）.

（1）若拋物線的對稱軸為直線x=-3,AB=4.求拋物線的表達式；

（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點O,且與x軸正半軸交于點C,記平移后的拋物線頂

點為P,若△OCP是等腰直角三角形，求點尸的坐標.

y八

5-

4-

3-

2-

1-

II[II11111r

-5-4-3-2-1012345力

—1-

—2-

-3-

—4-

—5一

【分析】(l)先根據(jù)拋物線的對稱性求出點4點8的坐標，再將點小點8的坐標代入y=-x2+mx+〃，

列方程組求出"?、n的值即可；

(2)設(shè)平移后的拋物線的表達式為,=-/+外，將點P的坐標用含b的式子表示，過該拋物線的頂點尸作

POLx軸于點。，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可列方程求出b的值及點P的坐標.

【解析】(1)???拋物線y=+妙+”與x軸交于/、8兩點，且拋物線的對稱軸為直線x=-3,

二點4與點8關(guān)于直線乂=-3對稱，

?點A在點B的左側(cè)，且48=4,

：.A(-5,0),5(-1,0),

把4(-5,0)-,B(-1.0)代入y=-x2+mx+n,

得J-25-5m+n=0

1-l-m+n=0

解得（m=-6,

ln=-5

拋物線的表達式為y=-/-6x-5.

（2）根據(jù)題意，平移后的拋物線經(jīng)過原點,

設(shè)平移后的拋物線的表達式為y=-F+bx,

當歹=0時，由-/+笈=0得xi=0,X2=b,

：.C⑶0）,

...該拋物線的對稱軸為直線X=Lb,

2

當》=工。時，y=-（—6）2+—b2=—b2,

2224

:.P（A/）,工序）；

24

如圖，作PDLx軸于點D,則OD=CD,

「△OCP是等腰直角三角形，

：.ZOPC=90°,

：.PD=1-OC=OD,

2

42

解得加=2,62=0(不符合題意，舍去),

：.P(1,1).

4.（2021秋?福清市期末）已知拋物線歹=加2+歷-2經(jīng)過（2,2）,且頂點在y軸上.

（1）求拋物線解析式；

（2）直線y=Ax+c與拋物線交于48兩點.

①點尸在拋物線上，當/=0,且△/B尸為等腰直角三角形時，求c的值；

②設(shè)直線夕=公葉。交x軸于點M（〃?，0）,線段Z8的垂直平分線交y軸于點N,當c=l,"?>6時，求點

N縱坐標N的取值范圍.

【分析】（1）由題意可知b=0，再將（2,2）代入y=a/+6x-2即可求解析式；

（2）①求出/（Vc+2-0）,B（-Vc+2>0），再由2[c+2+（c+2）2]=4（c+2）,即可求c；

（22

②由題意可得m=-工,/<0,再由機>6,可得-工<%<0,聯(lián)立Jy=X”,得到48的中點為（區(qū),X—+1）,

k6（y=kx+l22

設(shè)的線段垂直平分線所在直線解析式為了=心+6,與x軸的交點P（-斗，0）,與y軸的交點為N（0,

k

b）,由/PVO=N/MO,可得犬="?=-工，則有線段的垂直平分線為y=所以N點縱

kk22

坐標為〃=以3,即可求

22272

【解析】（1）???頂點在y軸上，

：.h=0,

?拋物線夕=以2+阮-2經(jīng)過（2,2）,

：.4a-2=2,

??a=1,

.'.y—x2-2；

（2）①當左=0時，y—c,

聯(lián)立p=c

ly=x2-2

-'-A川c+2,c）.B（-、c+2,c）,

?.?△/8P為等腰直角三角形，

：.P點在AB的垂直平分線上，

點在拋物線的頂點（0,-2）處，

*：AB=27C+2,4P=BP=dc+2+（c+2）2'

，2[c+2+（c+2）2]=4（c+2）,

?**c=0；

②..“l(fā),

.\y=kx+},

??m~~———，

k

由題意可知，kVO,

?.,心6,

，-l-<k<o,

6

f2

聯(lián)立『-1,

Ly=kx+1

Ax2-kx-2=0,

.?.%+見?=晨

：.AB的中點為（區(qū)，K^H）,

22

設(shè)48的線段垂直平分線所在直線解析式為歹=佇什b,

...與x軸的交點尸（-一搟一，0）,與y軸的交點為N（0,h）,

k

*；PN上AB,

:?/PNO=NAMO,

b

?廠_1

??-——>

bm

:?K=m=-—,

k

???y—一_?1^x+"O,

k

...線段"8的垂直平分線為>=-1+KL卜旦，

k22

.?.N點縱坐標為n———I--,

22

272

5.(2022?集美區(qū)二模)在平面直角坐標系xQy中，拋物線T：y=a(x+4)Cx-m)與x軸交于/,8兩點,

-3,點8在點力的右側(cè)，拋物線T的頂點為記為P.

(1)求點/和點8的坐標；(用含機的代數(shù)式表示)

(2)若。=〃什3,且△/8P為等腰直角三角形，求拋物線T的解析式；

(3)將拋物線7進行平移得到拋物線T,拋物線「與x軸交于點B,C(4,0),拋物線7的頂點記為Q.若

0<?<1,且點C在點8的右側(cè)，是否存在直線4P與C0垂直的情形？若存在，求機的取值范圍；若不

2一

存在，請說明理由.

【分析】(1)解方程(x+4)(x-ni)=0可求4、8點坐標；

(2)求出頂點Pdm-2,(-〃L3)(三畦)2),利用等腰直角三角形斜邊的中線等腰斜邊的一半，求出

22

m即可求解；

(3)分別求出直線/P與直線C。的解析式，通過聯(lián)立方程組求出這兩條直線的交點過點M作

軸交于M可得AAMNS^MCN,則(2"〃?2-8")2=(-m+4)(4+w),得到『=—,再由。的取

216-m2

值范圍確定加的范圍即可.

【解析】(1)令y=0,則(x+4)(x-TH)=0,

解得x=-4或工=防，

：.A(-4,0),B(〃?，0)；

(2)*.,a=w+3,

(zn+3)(x+4)(x-/H)=(m+3)(x2+4x-mx-4w),

：.P(上加-2,(-w-3)2),

22

為等腰直角三角形,

,.■48=m+4,

*.—AB=—(加+4)=(陽+3)(空里)2,

222

解得m=-2或m=-5,

V/w>-3,

:?m=-2,

二》=?+6工+8：

(3)存在直線Z尸與。。垂直的情形，理由如下:

**y=a(x+4)(x-zw),

：.P(L-2,-a(m+4)2),

24

由題意可知拋物線7的解析式為(x-w)(x-4),

：.Q(HLl,，--4)2),

~24

設(shè)直線AP的解析式為y=kx-^bi

'-4k+b=0

a(I4)2,

J4m-2)k+b=~f

z

解得卜發(fā)"+幻，