2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題28 以圓為載體的幾何綜合問題【含答案】

___________專題28以圓為載體的幾何綜合問題

典例剖析.

\________________X

【例1】（2022?河北?育華中學(xué)三模）如圖，在四邊形488中，ZA=ZB=90°,49=4,

8c=10,sinC=%以48為直徑作。O,把。。沿水平方向平移x個單位，得到。（7,A'B'

為直徑AB平移后的對應(yīng)線段.

備用圖

⑴當(dāng)x=0,且M為。。上一點時，求0M的最大值；

（2）當(dāng)夕與C重合時，設(shè)。。，與。相交于點N,求點N到48的距離；

（3）當(dāng)。O,與CD相切時，直接寫出x的值.

【例2】（2022?黑龍江哈爾濱?中考真題）已知CH是。。的直徑，點4,點8是。。上的兩

個點,連接。4。8，點。，點E分別是半徑。4。8的中點,連接CD,CE,BH,且440c=2乙CHB.

（1）如圖1,求證：4ODC=40EC；

（2）如圖2,延長CE交于點F,若CDJ.04,求證：FC=FH；

（3）如圖3,在（2）的條件下，點G是麗上一點，連接AG,BG,HG,OF,若AG-.BG=5:3,HG=2,

求OF的長.

【例3】（2022?黑龍江綏化?中考真題）如圖所示，在。。的內(nèi)接AAMN中，NM4N=90。,

AM=2AN,作ABJ.MN于點P,交。。于另一點5,C是詢上的一個動點（不與4M

重合），射線MC交線段B4的延長線于點O,分別連接4C和BC,BC交MN于點E.

D

(1)求證：△CAMCBD.

⑵若MN=10,MC=NC,求BC的長.

(3)在點C運動過程中，當(dāng)tanNMOB=：時，求箓的值.

【例4】(2022?湖北荊州?中考真題)如圖1,在矩形N8CO中，AB=4,/。=3,點。是邊

力8上一個動點(不與點力重合)，連接。。，將沿。。折疊，得到△OE。；再以。

為圓心，OA的長為半徑作半圓，交射線N8于G,連接/E并延長交射線BC于F,連接EG,

設(shè)OA—x.

DCDC

(1)求證：DE是半圓。的切線；

(2)當(dāng)點E落在8。上時，求x的值；

(3)當(dāng)點E落在8。下方時，設(shè)△/GE與△4E5面積的比值為y,確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系

式；

(4)亶談與此當(dāng)半圓。與△8。的邊有兩個交點時，x的取值范圍.

25.(2022?浙江溫州?中考真題)如圖1,4B為半圓。的直徑，C為BA延長線上一點，CD

切半圓于點。，BE1CD,交CD延長線于點E,交半圓于點凡已知BC=5,BE=3.點P,

。分別在線段上(不與端點重合)，且滿足黃=?.設(shè)BQ=x,CP=y.

(1)求半圓。的半徑.

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式.

(3)如圖2,過點P作PRJLCE于點七連結(jié)PQ,RQ.

①當(dāng)為直角三角形時，求x的值.

②作點尸關(guān)于QR的對稱點尸‘，當(dāng)點尸’落在上時，求累的值.

Dr

滿分訓(xùn)練.

一、解答題【共20題】

1.(2022?黑龍江?哈爾濱市蕭紅中學(xué)校模擬預(yù)測)如圖，在O0中，AD.BC是弦,

(2)如圖2,如果4D=BC,求證：/C是。0直徑；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點產(chǎn)在4C上，點E在N8上，AF=CD,BE=CF=4,連接

CE、BF交于點G,作HGLCE于點G,交BC干點、H,SAHCC=5,求。尸的長.

2.(2022?安徽哈肥市五十中學(xué)新校二模)如圖，△ABC為。。的內(nèi)接三角形，且力B為。。

的直徑，DE與。。相切于點。，交AB的延長線于點E,連接。。交BC于點凡連接力。、

CD,乙E=Z.ADC.

⑴求證：AD平分Z_B4C；

(2)若CF=2DF,AC=6,求。0的半徑r.

3.(2022?黑龍江?哈爾濱市第八十四中學(xué)校一模)如圖，△ABC內(nèi)接于為。。的直徑,

交BC于點E,且BE=CE.

(1)如圖1,求證：4)平分N84C；

(2)如圖2,點尸為弧CZ)上一點，連接/P交8c于點凡過點尸作。。的切線，交8c的

延長線于點G,點，是尸尸的中點，求證：GH1PF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接。尸，且=3NP4。，點火在CG上，連接DR,DR

交CH于點N,RN=RG,HN=2,DF=10,求DE的長.

4.(2022?北京市第十九中學(xué)三模)如圖，AABC中AB=4C,4D平分/B4C交BC于D,

以AD為直徑的。。交力8于點E,交AC于點F.

(1)求證：BD是。。切線；

(2)連接EF交OD與G、連接B。交EF于P,連接PC,若。0的半徑為5,OG=3,求GE

和PC的長.

5.(2022?上海?華東師范大學(xué)松江實驗中學(xué)三模)如圖1,在梯形ABCD中，乙4BC=90°/。||

BC.AB=4,BC=5,AD=2.動點P在邊BC上，過點P作PF||CD,與邊AB交于點F,過點

F作FEIIBC,與邊CD交于點E,設(shè)線段BP=x,PF=y.

(2)當(dāng)APFE是以PE為腰的等腰三角形時，求BP的值；

(3)如圖2,作APEF的外接圓。。，當(dāng)點P在運動過程中，外接圓00的圓心。落在△PEF

的內(nèi)部不包括邊上時，求出BP的取值范圍.

6.（2022?河北?石家莊市第四十四中學(xué)三模）如圖：在矩形4BCD中，AB=22,AD=16,

點。在線段DE上，其中DE=26,￡0=6；以O(shè)E為半徑作圓0交線段AB于點P,并將

線段OP繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得線段OQ（備注：若圓。與力B有兩個交點，規(guī)定位于點。

上方的交點為點P）

（1）特例探究：如圖1,當(dāng)點E在射線ZM上時，AP=,點Q到直線DE的距離是

變式研究：當(dāng)點E在AD上方時，

（2）如圖2,當(dāng)點。落在線段48上時，求點P、Q到直線OE的距離之比;

（3）當(dāng)圓。與BC邊相切時，求線段AP的長；

（4）若點。到AB的距離為3,直接寫出點Q到AD的距離.

7.（2022?湖南?長沙市華益中學(xué)三模）如圖，以AB為直徑作。。，點C是直徑AB上方半圓

上的動點，連接AC,BC,過點C作/4cB的平分線交。。于點。，過點D作AB的平行線

交C8的延長線于點E.

圖1

（1）當(dāng)Q4=C。時，求NE的大??；

（2）若。。的半徑為5,AC=8,求CO的長；

（3）如圖2,當(dāng)CD不過點。時，過點。作OMLCD交CD于點試判斷|丹薩|是否為定

值，若是，求出該值；若不是，請說明理由.

8.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖1是一張圓凳的造型，已知這張圓凳的上、下底面圓的

直徑都是30cm,高為42.9cm.它被平行于上、下底面的平面所截得的橫截面都是圓.小明

畫出了它的主視圖，是由上、下底面圓的直徑AB、CD以及公、的組成的軸對稱圖形，直

線，為對稱軸，點M、N分別是死、皿的中點，如圖2,他又畫出了祀所在的扇形并度量

出扇形的圓心角乙4EC=66。，發(fā)現(xiàn)并證明了點E在MN上.請你繼續(xù)完成MN長的計算.

參考數(shù)據(jù)：sin66°?—,cos66°?tan66°?sin33。弋匕cos33°?—,tan33°?—.

1054201320

從正面看

9.（2022?上海?中考真題）平行四邊形力BCD,若P為BC中點，力P交BC于點E,連接CE.

⑴若4E=CE,

①證明ABCD為菱形；

②若48=5,AE=3,求8。的長.

（2）以A為圓心，4E為半徑，B為圓心，BE為半徑作圓，兩圓另一交點記為點F,且

CE=^2AE.若F在直線CE上，求黨的值.

DC

10.（2022?廣東深圳?中考真題）一個玻璃球體近似半圓O,AB為直徑，半圓0上點C處有個

吊燈EF,EF//AB,CO1AB.EF的中點為D.OA=4.

OMB

圖①圖②

c

圖③

(1)如圖①，CM為一條拉線，M在。8上，0M=1.6,。尸=0.8,求CO的長度.

(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓。相切，H為切點、,M為。B上一點，為入射光線，NH為

反射光線，乙OHM=Z.OHN=45。,tan4cOH=。，求ON的長度.

4

(3)如圖③，M是線段0B上的動點，MH為入射光線，NH0M=5(T,HN為反射光線交圓。

于點N,在M從。運動到B的過程中，求N點的運動路徑長.

11.(2022?吉林長春?中考真題)如圖，在力BCD中，AB=4,AD=BDV13,點M為

邊48的中點，動點P從點N出發(fā)，沿折線40-。8以每秒個單位長度的速度向終點8

運動，連結(jié)PM.作點4關(guān)于直線PM的對稱點4,連結(jié)4P、A,M.設(shè)點尸的運動時間為f

(1)點D到邊AB的距離為：

(2)用含t的代數(shù)式表示線段DP的長；

(3)連結(jié)4D,當(dāng)線段4D最短時，求ADPA的面積；

(4)當(dāng)M、4、C三點共線時，直接寫出t的值.

12.(2022?江蘇常州?中考真題)(現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點。是圓心，直徑力B的

長是12cm,C是半圓弧上的一點(點C與點4、B不重合)，連接AC、BC.

AOBAOB

備用圖

(1)沿AC、8C剪下△力BC,貝IJAABC是三角形(填“銳角”、“直角”或“鈍角”)；

(2)分別取半圓弧上的點E、F和直徑AB上的點G、H.已知剪下的由這四個點順次連接構(gòu)

成的四邊形是一個邊長為6cm的菱形.請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個符合條件的菱形(保

留作圖痕跡，不要求寫作法)；

(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點C,一定存在線段力。上的點M、線

段BC上的點N和直徑48上的點P、Q,使得由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊

長為4cm的菱形.小明的猜想是否正確？請說明理由.

13.(2022?湖北恩施?中考真題)如圖，P為。。外一點，PA、尸8為。。的切線，切點分別

⑵若N/OE=30°,求證：AE=PE.

(3)若PE=4,CD=6,求CE的長.

14.(2022?浙江舟山?中考真題)如圖1.在正方形4BCD中，點F,，分別在邊4D,AB±,

(1)線段力C與FH垂直嗎？請說明理由.

(2)如圖2,過點Z,H,尸的圓交CF于點P,連結(jié)交4C于點K.求證：瞿=熬.

CHAC

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)點K是線段AC的中點時，求登的值.

rr

15.(2022?四川涼山?中考真題)如圖，已知半徑為5的(DM經(jīng)過x軸上一點C,與y軸交于

/、B兩點,連接/A/、AC,/C平分NO4W,NO+CO=6

(1)判斷0M與x軸的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)求48的長；

(3)連接B/W并延長交圓M于點。，連接C。，求直線C。的解析式.

16.(2021?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)如圖1,正方形/8C。的邊長為4,點尸在邊8c上，00

經(jīng)過4B,P三點.

(1)若8P=3,判斷邊。所在直線與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖2,￡■是CZ)的中點，。。交射線/E于點。，當(dāng)NP平分NEN8時，求tan/E/尸

的值.

17.(2022?湖南?炎陵縣教研室一模)如圖1,以ZU8C的邊48為直徑作。。，交/C于點E,

連接BE,BD平分NABE交AC于F,交。。于點。，且NBDE=NCBE.

(2)如圖2,延長交直線于點P,若P4=A0.

①求黑的值；

DE

②若OE=2,求。。的半徑長.

18.(2022?湖南?長沙市北雅中學(xué)模擬預(yù)測)如圖，4人3。內(nèi)接于0。，過。作力B的垂線,

垂足為￡,交。。于凡

(2)連CF交AB于過E作CF的平行線交BC于。，求證：BD=CD+AC；

(3)在(2)條件下，連力￡)交CF于N,若MN=CN,ED:CD=8:5,EF=9,求4N的長.

19.(2022?浙江寧波?一模)如圖1,在RS4BC中，AB=AC=4,AD1BC于。，E為AB邊

上的點，過4、D、￡三點的。。交AC于F,連接DE,DF.

⑴求證：AE=CF.

⑵若tan2DF=3,求。。的面積.

(3)如圖2,點P為曲上一動點，連接PD,PE,PF.

①若P為歷的中點，設(shè)AE為x,APDF的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)表達式；

②在點尸運動過程中，試探索PD，PE,PF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

20.(2022?廣東?佛山市華英學(xué)校三模)如圖，△48。內(nèi)接于。。，過點4作AF1BC于點

F,過點B作BE1AC于點E,交AF于點H,延長BE交。0于點D,連接AD,且NB4D=

乙AHD.

⑴求證：Z.ABC=3^DAC；

(2)過點A作AG||BD交。0于點G,連接BG、GD,GD交AB于點M,連接OM,求證：OM1

BD；

⑶在（2）的條件下，連接EF,若EF=3,4G=5,求。M的長.

典例剖析.

x._____________________________X

【例1】(2022?河北?育華中學(xué)三模)如圖，在四邊形488中,N/=N5=90。,4D=4,

BC=IO,sinC=p以48為直徑作。。，把。。沿水平方向平移x個單位，得到。O，，A'B'

為直徑N8平移后的對應(yīng)線段.

備用圖

(1)當(dāng)x=0,且M為。。上一點時，求。M的最大值；

(2)當(dāng)夕與C重合時，設(shè)。。，與8相交于點N,求點N到的距離;

(3)當(dāng)。。與CD相切時，直接寫出x的值.

【答案】(1)4立+4

(2蔗

⑶2或12.

【分析】(1)當(dāng)x=0,連接。。并延長交。。于點M,則此時。也的值最大，過點。作

LBC于E,易證四邊形是矩形，可得=AD=BE=4,解用△OEC求出OE

=8,CD=10,可得。。的半徑為4,利用勾股定理求出OZ),即可得到0M的最大值；

(2)當(dāng)B'與C重合時，。。'與CD相交于點N,則。0向右平移了10個單位長度，連接。。'，

則。。'=10,連接AN,過點N作入戶_LA'8'于點F,如圖，解RIAAB'N,求出A'N,B'N,

然后根據(jù)等積法求出NF即可解決問題：

(3)當(dāng)O。'與。。相切，在8的左邊時，設(shè)切點為P,如圖，則A'B'EC是矩形，AD.

CD、B'C都是。。'的切線，根據(jù)切線長定理可得4'D=PD,B'C=PC,求出2力=4-x,

B'C=10-x,根據(jù)CD=PD+PC=40+B'C列方程求出x即可；當(dāng)。。'與CO相切，在

。的右邊時，同理求解即可.

(1)

解：如圖，當(dāng)x=0,連接￡)0并延長交。。于點則此時。用的值最大，過點。作CE

LBC于E,

"：ZA=ZB=ZDEB=90°,

四邊形/8EO是矩形，

：.AB=DE,AD=BE=4,

：.EC=BC-BE=\0-4=6,

?.?在,△DEC中，sinC=^1=g,

設(shè)。E=4hCD=5k(A>0),

由勾股定理得：EC2+DE2=CD2.即62+(4k)2=(5/c)2,

整理得：4=4,

'：k>0,

:?k=2,

:?DE=4k=8,CD=5k=l。,

：.AB=DE=8f

：.OA=OB=4f

.,.G>D=V42+42=4V2,

：.DM=4^2+4,

即DM的最大值為4V2+4；

(2)

當(dāng)B'與。重合時，。0'與CD相交于點N,則。。向右平移了10個單位長度，連接。。',

則00'=10,連接。N，過點N作NFLA'B'于點F,如圖,則“NB'=90°,

在放△€■￡>￡t中，sinzCDE=^=7-coszCDf=^=7-

CD5CD5

9

：AB\\AB\\DEf

:.乙A'BN=乙CDE,

在Rt^ABN中，AB=AB=8,

sinZ-ABN==sinZ-CDE=7,cosZ-ABN==cosZ-CDE=7,

AB5AB5

：.A'N={AB'=Ix8=^,B'N=^A'B'=：x8=”，

OZ)OOOZ)

1t?1It

??S/8N="B.NF=^AN.BN,

?A/?_AN-B,N_TXT_96

AB825

/.點N到AB的距離為。。'-NF=10-卷=詈；

(3)

當(dāng)。?！cCO相切，在CO的左邊時，設(shè)切點為尸，如圖，貝IJ48ED是矩形，AD,CD、BC

都是。。’的切線，

：.A'D=PD,B'C=PC,

'：AA'=BB'=x,

?'?AD=4-%,BC=10—%,

*：CD=PD-VPC=AD+B'Cf

10=4—x+10-x,

解得：x=2；

當(dāng)OO'與。相切，在CO的右邊時，設(shè)切點為°,如圖，則AB8/是矩形，4。、CD、B'C

都是O。'的切線，

：.AD=QD,BC=QC,

=BB'=x,

.\AD=%—4,BC=x—10,

'：CD=QD+QC=AD+BCf

**?10=x—4+x—10,

解得：x=12；

綜上，當(dāng)(D。，與CQ相切時，X的值為2或12,

故答案為：2或12.

【點睛】本題主要考查了矩形的判定，解直角三角形，勾股定理，點與圓的位置關(guān)系，平移

的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)以及切線長定理等知識，熟練掌握直徑所對的圓周角是直

角，從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等是解題的關(guān)鍵.

【例2】(2022?黑龍江哈爾濱?中考真題)已知CH是。0的直徑，點/，點5是。。上的兩

個點，連接。4。&點。,點E分別是半徑04。8的中點，連接CD,CE,BH,R^AOC=2^CHB.

⑴如圖1,求證：NODC=NOEC；

(2)如圖2,延長CE交于點F,若CCJ.O4求證：FC=FH；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點G是麗上一點，連接AG,BG,HG,OF,若AG-.BG=5:3,HG=2,

求OF的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)0F=半

【分析】(1)根據(jù)S4s證明AC。。三ACOE即可得到結(jié)論；

(2)證明4H=乙ECO即可得出結(jié)論；

(3)先證明OF_LCH,連接4H,證明力H=設(shè)4G=5x,BG=3x,在4G上取點M,

使得4M=8G,連接MH,證明△MHG為等邊三角形，得MG=HG=2,根據(jù)4G=AM+MG

可求出x=1,得AG=5,BG=3,過點，作HN1MG于點N,求出HB=V19,再證HF=

20F,根據(jù)HB=3OF=可得結(jié)論.

(1)

如圖1.；點。，點E分別是半徑。4。8的中點

：.OD=-OA,OE—OB

22

VOA=OB,

：.0D=OE

■:乙BOC=2MHB,Z.AOC=2Z.CHB

，乙AOC=KBOC

*：OC=OC

：.△COD=△COE,

C.Z.CDO=乙CEO；

(2)

如圖2.VCD10/1,

:?乙CDO=90°

由(1)得4CEO=乙CDO=90°,

AsinzOCF=^=i

OC2

AzOCE=30°,

J.Z-COE=90°-Z,OCE=60°

11

VzW="OC=ix60°=30°

22

，乙H=cECO,

：.FC=FH

(3)

如圖3.\9C0=OH,FC=FH

：.0F1CH

:?乙FOH=90°

連接4H.^LAOC=^BOC=60°

：,/.AOH=乙BOH=120°,

：.AH=BHf/-AGH=60°

9：AG:BG=5:3

設(shè)AG=5%,

：.BG=3x

在AG上取點〃，使得4M=BG,連接MH

■:乙HAM=CHBG,

：.MH=GH,

：?>MHG為等邊三角形

：.MG=HG=2

*：AG=AM+MG,

5%=3x4-2

/.%=1,

：.AG=5

：.BG=AM=3,

過點，作HN1MG于點N

MN=-GM=-x2=1,HN=HG-sin60°=

22

???AN=MN+/M=4,

：.HB=HA=yjNA2+HN2=g

Vz.FO/7=90°,乙OHF=30。,

：.Z.OFH=60°

〈OB=OH,

：.^BHO=^OBH=30°f

：2F0B=408尸=30。

；.OF=BF,

在R￡△。尸”中，Z.OHF=30°,

：.HF=2OF

：.HB=BF+HF=3OF=V19,

：.OF=—.

3

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì),

等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形等知識，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是

解答本題的關(guān)鍵.

【例3】(2022?黑龍江綏化?中考真題)如圖所示，在。。的內(nèi)接AaMN中，4AMN=90。,

4M=24N,作481MN于點P,交。。于另一點3,C是病上的一個動點(不與/,M

重合)，射線MC交線段84的延長線于點。，分別連接AC和BC,BC交MN于點E.

(1)求證：△CMACBD.

(2)若MN=10,MC=NC,求BC的長.

(3)在點C運動過程中，當(dāng)tan4MOB=］時，求箓的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)3^10

(3)|

【分析】(1)利用圓周角定理得到/CK4=48C,再利用兩角分別相等即可證明相似；

(2)連接OC,先證明是直徑，再求出力尸和柳的長，接著證明ACOESABPE,利

用相似三角形的性質(zhì)求出0E和PE,再利用勾股定理求解即可；

(3)先過C點作CG_LA/M垂足為G,連接CM設(shè)出GM=3x,CG=4x,再利用三角

函數(shù)和勾股定理分別表示出和PG,最后利用相似三角形的性質(zhì)表示出EG,然后表示出

ME和NE,算出比值即可.

(1)

解：.：AB2MN,

：.ZAPM=90°f

：.NLH~/DMP=90。,

又???/OMP+NMiC=180。，NM4N=9。。,

：.ZDMP+ZCAM=90°f

：.ZCAM=ZD,

9

：ZCMA=ZABCf

△CMA~△CBD.

(2)

連接oc,

VzM/4/V=90°,

；.MN是直徑,

"：MN=10,

：.OM=ON=OC=5,

"JAM=2AN,且4M2+4屋=MW,

：.AN=2V5,AM=4V5,

9

-ShAMN=\AM-AN=\MN-APf

：.AP=4,

；.BP=AP=4f

：.NP=7AN?-AP2=2,

.??OP=5—2=3,

VMC=JVC,

：?OCLMN,

：.NCOE=90。，

,:ABtMN,

：./BPE=90。,

ZBPE=/COE,

又?：/BEP="EO,

???△COEBPE

,COOECE

?(——,

BPPEBE

由OE+PE=OP=3,

二吟5，PE=%4

：.CE=Voc2+OE2=J52+=|V10,

BE=VBP2+PE2=

.*.BC=|VTO+^^=3VTO.

D

(3)

過C點作CGLMM垂足為G,連接CM則NCGM=90。,

???NCMG+NGCM=90°,

〈MN是直徑，

???NMCN=90。，

???NCNM+/DMP=90。,

*/ND+NDMP=90。,

：.ND=/CNM=NGCM,

VtanzMDB=-,

4

3

AtanzC/VM=tanzGCM=

4

VtanzGCM=—

CG

???設(shè)6加=3心CG=4x,

：.CM=5x,

；?CN20x

25r

:.NM\

：,0M=ON=芋,

6

'：AM=2AN,且AM?+4解=MN2,

.>5V5..10V5

..AANz=——%,AAM=----x,

33

'.'S^AMN=^AM-AN=^MN-AP,

.?.4P=￥X=PB,

3

：.NP=-x,

3

.16511

..PnGr=-X——X=-X,

333

'//CGE=/BPE=90°,ZCEG=/BEP,

△CGE?△BPE,

.CG_GE_CE

??而一記一靛'

目n4xGECE

即ITT=—=—

aPEBE

3

：

.GE=2x,PE=-3x

：.ME=5x,NE=—,

3

：.ME:NE=3:2,

【點睛】本題考查了圓的相關(guān)知識、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識,

涉及到了動點問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，正確表示出各線段并找出它們的關(guān)系，本

題綜合性較強，屬于壓軸題.

【例4】（2022?湖北荊州?中考真題）如圖1,在矩形N8CD中，48=4,40=3,點。是邊

上一個動點（不與點/重合），連接O。，將△04。沿。。折疊，得到△0E。；再以。

為圓心，0A的長為半徑作半圓，交射線于G,連接ZE并延長交射線8c于F,連接￡G,

設(shè)OA=x.

DCD

(1)求證：OE是半圓。的切線；

(2)當(dāng)點E落在80上時，求x的值;

(3)當(dāng)點E落在8。下方時，設(shè)△/GE與△/尸8面積的比值為y,確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系

式；

(4)直談寫此當(dāng)半圓。與△88的邊有兩個交點時，x的取值范圍.

【答案】(1)見詳解

(2及3

9/3

⑶丫=而(。<5

(4)|<xW3或卷<xW4

【分析】(1)根據(jù)切線的判定定理求解即可；

(2)如圖，在RtAOEB,根據(jù)勾股定理列方程求解即可；

(3)先證AD4。sAAEG,求出NE,然后證明A4EG，A4BF,根據(jù)相似三角形面積比等于

相似比的平方即可求解；

(4)結(jié)合圖形，分情況討論即可求出x的取值范圍.

(1)

證明：在矩形中，4048=90。，

?：/\OED是△04。沿OD折疊得到的，

???乙OED=Z.DAB=90°,即0E1DE,

???DE是半圓。的切線；

(2)

解：???△OEO是△04。沿OD折疊得到的，

DE=AD=3,0A=0E=x,

???OB=AB-OA=4—x,

在RtLDAB中，DB=yjAD2+ABZ=V32+42=5,

???EB=DB-DE=5-3=2,

在RtAOEB中，OE2+EB2=OB2,

..x2+22=(4-x)2,解得x=|.

解：在Rt^DAO中，D。=yjAD2+AO2=V324-x2=V9+x2,

???△OE。是△OW沿OD折疊得到的，

???AE1OD,

??,AG是O。的直徑，

ZAEG=90°,BPAE1EG,

ODWEG,/.DAO=/.AEG=90°

Z.AOD=Z.EGA,

???LDAO?A4EG,

tDO_DA

??蕭一族

O

???/-AEG=Z.ABC=90,2LEAG=^BAFf

??.A4EG?A48尸,

???y=^(o<x<3

x

AxOGB

(4)

解：由(2)知，當(dāng)E在。8上時，x=|,

如圖，當(dāng)點E在OC上時，x=3,

...當(dāng)|<尤士3時，半圓。與△8C￡>的邊有兩個交點；

當(dāng)半圓。經(jīng)過點。時，半圓。與△88的邊有兩個交點,

連接0C,在RtAOBC中，OB=4-x,OC=x,BC=3,

-OB2+BC2=0C2,

■■(4-x)2+32=x2,解得X=

8

...當(dāng)=4x44時，半圓。與△28的邊有兩個交點；

O

綜上所述，當(dāng)半圓0與ABCD的邊有兩個交點時，X的取值范圍為：|<xW3或g<xW4.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱，勾股定理，切線的判定定理，相似三角形的判定

和性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的判定和性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【例5】(2022?浙江溫州?中考真題)如圖1,48為半圓。的直徑，C為B4延長線上一點，

CO切半圓于點。，BELCD,交CD延長線于點E,交半圓于點尸，已知BC=5,BE=3.點

P,。分別在線段48,BE上(不與端點重合)，且滿足蕓出.設(shè)BQ=x,CP=y.

bQ4

(1)求半圓。的半徑.

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式.

(3)如圖2,過點尸作PRJ.CE于點R,連結(jié)PQ,RQ.

①當(dāng)APQR為直角三角形時，求x的值.

②作點尸關(guān)于QR的對稱點/，當(dāng)點F’落在BC上時，求小的值.

DF

【答案】(喏

(2?=江+：

⑶巧或生鱷

【分析】(1)連接O。，設(shè)半徑為〃利用ACODsACBE,得器=段，代入計算即可；

(2)miECP=API-AC,用含x的代數(shù)式表示4P的長，再由(1)計算求/C的長即可；

(3)①顯然NPRQ<90。，所以分兩種情形，當(dāng)4RPQ=90。時，則四邊形滅尸0￡是矩形,

當(dāng)/P0?=9O。時，過點P作于點〃，則四邊形PHER是矩形，分別根據(jù)圖形可

得答案；

②連接4EQF',由對稱可知QF=QF'/F'QR=NEQR=45。，利用三角函數(shù)表示出BF'和

8尸的長度，從而解決問題.

(1)

解：如圖1,連結(jié)。D.設(shè)半圓。的半徑為人

,：CD切半圓。于點。，

：.OD1CD.

?；BE1CD,

：.OD||BE,

△CODs匕CBE,

co

?.■—OD=—，

BECB

即T

■-r=^,即半圓。的半徑是

oo

(2)

由(1)得：CA=CB-AB=5-2x—8=~4.

'：-=-,BQ=x,

BQ4’”

：.AP=-x.

4

,：CP=AP+AC,

?5,5

??y=z%+r

(3)

①顯然4PRQV90。，所以分兩種情況.

i)當(dāng))RPQ=90。時,如圖2.

：.Z.ERP=90°.

VzF=90°,

，四邊形RPQE為矩形，

：.PR=QE,

33

3-X+-

VP/?=PCsinC==44

ii）當(dāng)iPQR=90。時，過點P作PHIBE于點”，如圖3,

則四邊形PHER是矩形，

：.PH=REtEH=PR.

":CB=5,BE=3,

???CE=、52-32=4.

VC/?=CP-cosC=|y=x+l,

：.PH=RE=3—％=EQ,

：.Z-EQR=^ERQ=45°,

:?乙PQH=45°="PH,

：.HQ=HP=3-xf

由EH=PR得:(3-x)+(3—%)=：%+￡

?21

..X=-,

綜上所述，X的值是與端.

②如圖4,連結(jié)4F,QF',

":BELCE,PRLCE,

:.PR〃BE,

：./EQR=/PRQ,

■:BQ=x,CP=-%+-,

y44

EQ=3?x,

*：PR〃BE,

；?△CPRCBE,

?..~C~P~~CB~,

CRCE

5^5

即：斗=々

CR4

解得：CR=X+1,

:?ER=EC-CR=3-x,

即：EQ=ER

???NEQR=/ERQ=45。,

:'乙F'QR=乙EQR=45°

???NBQ尸=90。,

.A

/.QF=QF=BQ?tanB=-%.

??F8是半圓。的直徑，

???乙4FB=90。，

9

BF=AB?cosB=一，

4

?27

28

?CFBC-BFBC.3d19

??r=-------:—=7-1=-----1=—

BFBFBFx9

【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定

理，三角函數(shù)等知識，利用三角函數(shù)表示各線段的長并運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

滿分訓(xùn)練.

一、解答題【共20題】

1.(2022?黑龍江?哈爾濱市蕭紅中學(xué)校模擬預(yù)測)如圖，在。。中，AD、8c是弦,

⑴如圖1,求證：ADWBC；

(2)如圖2,如果求證：/C是。。直徑；

(3)如圖3,在(2)的條件下，點尸在4c上，點E在上，AF=CD,BE=CF=4,連接

CE、BF交于點G,作HG1CE于點G,交BC于點、H,ShHCG=5,求OF的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)1

【分析】(1)延長交8c于點E，證明40AD+N4EC=180°,即可證明4DIIBC；

(2)連接CD,先證四邊形是平行四邊形，推出48=4。，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形

對角和為180度，可得28=90。，即可證明NC是。0直徑：

(3)連接EH,延長BF交CD于點、T,連接E7,證明四邊形BETC是矩形，進而推出,

利用三角形面積公式求出HC=HE=5,推出BH=3,設(shè)AB=4F=x,利用勾股定理求出x,

即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，延長交BC于點E,

???44。。=44EC+N0CB,乙4。。-乙。CB=180。，

?"OTW+41EC+4OC8?4OCB=180。,

?"O4D+NA￡C=180。，

：.AD\\BC^

(2)證明：如圖2,連接力8,CD,

圖2

ADWBC,AD=BC,

四邊形ABCD是平行四邊形,

:?乙B=Z-D,

,：48+乙。=180。，

?"B=90。，

；./C是。。直徑；

(3)解：如圖3,連接E",延長BF交CD于點丁,連接ET,

圖3

四邊形是平行四邊形，NB=90。,

???四邊形力8co是矩形，

：.AB\\CDfAB=CD,

，乙ABF=cCTF,

AF=CD,AB=CD,

:.AB=AF9

/.4ABF=￡AFB,

乙AFB=cCFT,

，乙CFT=LCTF,

：.CF=CTf

CF=BE,

：.BE=CT,

??,BE\\CTf

???四邊形6ETC是平行四邊形，

ZEFC=9O°,

???四邊形6ETC是矩形，

：.CG=EG,

?/WG1CE,

:,HC=HE,

工SAECH=2SAHCG=1°=}CH?BE,

\aBE=4,

；.HC=HE=5,

：.BH=7EH2?BE2=7S2?42=3,

:?BC=BH+CH=8,

設(shè)4B=AF=x,則4c=無+4,

a222

\AB^-BC=ACt

???/+82=(X+4)2,

解得x=6,

???A8=6,AC=10,

：.0A=0C=5,

AOF=OC-CF=5-4=1.

【點睛】本題屬于圓的綜合題，主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，圓周

角定理，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識點，解題的關(guān)鍵是正確添加

輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，難度較大，多見于壓軸題.

2.(2022?安徽?合肥市五十中學(xué)新校二模)如圖，△ABC為。。的內(nèi)接三角形，且AB為。。

的直徑，DE與。。相切于點。，交力B的延長線于點E,連接。。交BC于點凡連接力。、

CD,乙E=Z.ADC.

⑴求證：4。平分的C；

(2)若CF=2DF,AC=6,求。0的半徑r.

【答案】(1)見解析

(2)5

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得到乙4BC=41DC,進而證明乙48c=4WC,得到BQIOE,

根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD_LDE,根據(jù)垂徑定理得到皿=而，根據(jù)圓周角定理證明結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形中位線定理求出OF,根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案.

【詳解】(1)由圓周角定理得：/.ABC=/.ADC,

??,乙E=乙4DC,

:.Z.ABC=Z.ADC

???BCWDE,

???DE與O。相切于點。，

???0D1DEt

???0D1BC,

BD=CD,

???乙BAD=/.CAD,

???AD平分N84C；

(2)???OD1BC,

???BF=FC,

???BO=0A,

???OF=-AC=3,

2

???DF=r-3,

:.BF=CF=2DF=2(r—3),

在RtABOF中，OB2=OF2+BF2,即i=32+(2r-6下,

解得:r1=5,「2=3(舍去)，

答：。。的半徑r為5.

【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過

切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?黑龍江?哈爾濱市第八十四中學(xué)校一模）如圖，A/IBC內(nèi)接于。。,4。為。。的直徑,

4D交BC于點、E,且BE=CE.

（2）如圖2,點P為弧。上一點，連接/P交8C于點F,過點尸作。。的切線，交8。的

延長線于點G,點〃是尸產(chǎn)的中點，求證：GH1PF；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接。尸，且4DFB=34P4。，點R在CG上，連接。R,DR

交C”于點N,RN=RG.HN=2.DF=10,求。E的長.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（I）根據(jù)垂徑定理得出。E1BC,則DE垂直平分8C,進而得到BD=CD,根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)求解即可；

（2）連接OP,PG是圓。的切線得出NOP4+4GPF=90。，根據(jù)垂徑定理得出DE1BC,

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、對頂角相等得出“FP+4E4F=90。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出

^EAF=/.OPA,進而得出4GPF=4GFP,根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)即可得解；

（3）連接PD,延長GH交。尸于點M,DR交AP于點T,根據(jù)題意推出點M是DF的中

點，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)推出PD=2MH,根據(jù)勾股定理得到PH=HF=4,根據(jù)平行

線的性質(zhì)推出zPD7=NHNr=N/MP,△HNTPDT,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及相似三

角形的性質(zhì)、勾股定理求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖1,連接BD,CD,

???4。為。。的直徑，AD交BC于點、E,且=

：.DE1BC,

：.DE垂直平分BC,

：.BD=CD,

■:DE1BC,

：.0D平分NB4C；

(2)證明：連接。P,

???PG是圓。的切線，

：.0P1PG,

?"OPG=90。，

即N0P4+NGPF=90。，

???4。為。。的直徑，AD交BC于點E,且BE=CE,

：.DE1BC,

?"AEF=90。，

：,^EAF^/-AFE=90°,

,?ZFE=4G”,

???NGFP+NEA尸=90°,

\'OA=OP,

：./.EAF=^LOPA,

：.AGPF=乙GFP,

:?PG=FG,

???點〃是PF的中點，

：.GHIPF；

(3)ft?：連接PD,延長GH交0產(chǎn)于點M,DR交力P于點T,

圖3

,：GH1.PF,4。為(DO的直徑，

：.Z.APD=A.MHF=90°,

：.MH\\DP,

;點，是PF的中點，

二點M是DF的中點，

：.DM=FM=-DF=5,

2

：.PD=2MHf

?：RN=RG,

?"NGR=乙RNG,

工乙DRE=乙NGR+乙RNG=2乙RGN,

*：AEF=LGHF=90°,(HFG=zAFE,

:?乙DAP=￡FGH,

工乙DRE=24