考點01 一元二次方程相關概念的6種常見考法歸類-解析版

考點01一元二次方程相關概念的6種常見考法歸類1，一元二次方程的判斷方法等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的方程，叫做一元二次方程。一個方程是一元二次方程需具備三個條件：(1)是整式方程；只含有一個未知數；(3)未知數的最高次數是2.2，一元二次方程的核心要點一元二次方程中的二次項、一次項、常數項和各項系數是針對一元二次方程的一般形式而言的，確定項的系數時要注意它們的符號。一元二次方程的根的應用一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值稱為一元二次方程的解。解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進行求解.單循環(huán)和雙循環(huán)類列方程的方法遞名片、發(fā)信息屬于雙循環(huán)問題，此類問題一般設有x人，則遞名片或發(fā)信息x(x-1)次；比賽、握手屬于單循環(huán)問題，此類問題一般設有x組（或人），則比賽12x(x-1)場或握手1考點1一元二次方程的概念和一般形式考點2利用概念求參數的值或取值范圍考點3利用方程的解求代數式的值考點4列方程-圖形面積類考點5列方程-單循環(huán)和雙循環(huán)類考點6列方程-數字問題考點1一元二次方程的概念和一般形式1．（2023春·安徽淮北·八年級統(tǒng)考期末）若關于x的一元二次方程的常數項是6，則一次項是（

）A． B． C．x D．1【答案】A【分析】根據可得，由此即可得．【詳解】解：由題意得：，解得，則一次項是，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是，其中，是二次項，是一次項，是常數項．2．（2022秋·河北滄州·九年級?？茧A段練習）把一元二次方程化成一般形式，結果正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據一元二次方程的一般性質（a，b，c為常數）解答即可．【詳解】解：，，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．3．（2020秋·廣東惠州·九年級?？计谥校┓匠袒癁橐话阈问胶笠淮雾椣禂岛统淀椃謩e是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】根據題意，將方程化為一般形式即可求解．一元二次方程的一般形式是：（是常數且）特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中叫二次項，叫一次項，是常數項．其中分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．【詳解】解：化為一般形式：，∴一次項系數和常數項分別是，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關鍵．4．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）將方程化成一般形式（二次項系數為正）后，它的一次項系數與常數項分別是（）A．3， B．， C．，5 D．3，5【答案】C【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常數且）．在一般形式中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．【詳解】解：將方程化成一般形式（二次項系數為正）后為，∴它的二次項系數是2，一次項系數是，常數項是5．故選：C．【點睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，要確定一次項系數和常數項，首先要把方程化成一般形式．考點2利用概念求參數的值或取值范圍5．（2023秋·全國·九年級專題練習）若關于的一元二次方程的一個根為，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】利用一元二次方程根的定義，確定出的值即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程的一個根為，∴且，解得：．故選：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義，一元二次方程的一般形式為為常數且，理解一元二次方程的定義是解題的關鍵．6．（2023秋·全國·九年級專題練習）關于的一元二次方程的常數項為0，則的值為（

）A．1 B．2 C．0或2 D．0【答案】B【分析】根據題意，得且，計算判斷即可．【詳解】因為關于的一元二次方程的常數項為0，所以且，解得．故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式即形如，其中c叫做常數項，正確理解定義是解題的關鍵．7．（2023春·山東泰安·八年級?？茧A段練習）若關于x的一元二次方程的常數項為0，則m＝（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】B【分析】根據一元二次方程成立的條件和常數項為0列出方程組，解方程組即可求解．【詳解】若關于x的一元二次方程的常數項為0，則，解得，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含義，熟練掌握知識點是解題的關鍵．8．（2022秋·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）若關于x的一元二次方程的常數項為0，則a的值等于（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】B【分析】根據一元二次方程的定義及常數項為0列出不等式和方程，求出a的值即可．【詳解】解：∵是關于x的一元二次方程，∴，解得：，又∵關于x的一元二次方程的常數項為0，∴，解得：，，綜上可得：．故選：B【點睛】本題考查了一元二次方程的定義和一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常數且），特別要注意的條件，這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中叫二次項，叫一次項，是常數項．其中分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．考點3利用方程的解求代數式的值9．（2022秋·江蘇淮安·九年級校考階段練習）若a為方程的解，則的值為（

）A．12 B．4 C．9 D．16【答案】B【分析】直接把代入方程中得到，由此代入中進行求解即可．【詳解】解：∵a為方程的解，∴，∴，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值是解題的關鍵．10．（2023秋·全國·九年級專題練習）若關于x的一元二次方程的解是，則的值是（）A．2022 B．2012 C．2019 D．2023【答案】D【分析】根據已知及一元二次方程解的概念可得，整體代入計算即可．【詳解】解：的一元二次方程的解是，，，．故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的解，解題的關鍵是學會利用整體代入的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．11．（2023秋·全國·九年級專題練習）在關于x的方程（）中，a，b，c滿足和，則方程的根是（）A．1，0 B．1， C．1， D．無法確定【答案】B【分析】能使方程等號成立的未知數的值叫做方程的解，據此分別令，，可求此一元二次方程的根，即可求解．【詳解】解：當時，，當時，，所以方程的根分別為1或．故選：B．【點睛】本題主要考查了方程的解的定義，一元二次方程的根，理解定義，找出滿足等式的未知數的值是解題的關鍵．12．（2023秋·全國·九年級專題練習）若關于x的一元二次方程的一個根是，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據一元二次方程解的定義，得出，然后再把轉化為，再把代入計算即可．【詳解】解：把代入方程，可得：，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解、求代數式的值，利用整體代入法求解是解本題的關鍵．一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．考點4列方程-圖形面積類13．（2023春·安徽滁州·八年級校考期中）如圖，把一塊長為，寬為的長方形硬紙板的四個角減去四個相同的小正方形，然后把硬紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒.若該無蓋紙盒的底面積為，設剪去的小正方形的邊長為，則可列方程為．

【答案】（方程形式不唯一）【分析】設剪去小正方形的邊長是，則紙盒底面的長為，寬為，根據長方形的面積公式結合紙盒的底面積是，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：設剪去小正方形的邊長是，則紙盒底面的長為，寬為，根據題意得：．故答案為：（方程形式不唯一）．【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．14．（2022秋·湖南永州·九年級統(tǒng)考期中）疫情期間，學校利用一段已有的圍墻（可利用的圍墻長度僅有5米）搭建一個矩形臨時隔離點，如圖所示，它的另外三邊所圍的總長度是10米，矩形隔離點的面積為12平方米，則的長度是米．

【答案】【分析】設米（），根據面積公式構建方程，求解即可．【詳解】解：設米（），根據題意，，解得（舍去）或．∴米．故答案為：4．【點睛】本題考查一元二次方程的應用，利用幾何圖形包含的等量關系構建方程是解題的關鍵．15．（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將一塊正方形空地劃出部分區(qū)域陰影部分進行綠化，綠化后一邊減少了，另一邊減少了，剩余面積為的矩形空地，則原正方形空地的邊長為．【答案】【分析】本題可設原正方形的邊長為，則剩余的空地長為，寬為，根據長方形的面積公式可列出方程，進而可求出原正方形的邊長．【詳解】解：設原正方形的邊長為，依題意有：，解得：，（不合題意，舍去），即：原正方形的邊長．故答案是：．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用．學生應熟記長方形的面積公式．另外求得剩余的空地的長和寬是解決本題的關鍵．16．（2023秋·湖南湘西·九年級統(tǒng)考期末）自從“雙減”政策實施以來，各中小學開展了豐富多彩的活動．某校擬舉辦一次書法作品展覽，要在每張長和寬分別為和的矩形相片周圍鑲上一圈等寬的彩紙．根據美學觀點，彩紙面積為相片面積的時較美觀．若所鑲彩紙的寬為，根據題意，列方程為．【答案】（答案不唯一）【分析】設所鑲彩紙的寬為，則大長方形的長和寬分別為、，再根據彩紙面積為相片面積的列出方程即可．【詳解】解：設所鑲彩紙的寬為，則大長方形的長和寬分別為、，由題意得，故答案為：．【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元二次方程，正確理解題意是解題的關鍵．考點5列方程-單循環(huán)和雙循環(huán)類17．（2023·全國·九年級專題練習）某學習小組的成員互贈新年賀卡，共用去90張賀卡，則該學習小組成員的人數是．【答案】10【分析】設該學習小組有x名成員，則小組內每名成員需送出張賀卡，由該小組互贈新年賀卡共90張，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．【詳解】解：設該學習小組有x名成員，則小組內每名成員需送出張賀卡，根據題意得：，解得：（不合題意，舍去），即該學習小組有10名成員．故答案為：10．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．18．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州市第十三中學?？计谥校┠硨W校組織籃球比賽，實行單循環(huán)制，共有36場比賽，則參加的隊數為．【答案】9【分析】設有個球隊參加比賽，那么第一個隊和其他隊打場球，第二個隊和其他隊打場，以此類推可以知道共打場，然后列出方程求解．【詳解】解：設邀請個球隊參加比賽，依題意得，即，，或（不合題意，舍去）．故答案為：9．【點睛】此題考查了一元二次方程的應用，該題和實際生活結合比較緊密，準確找到關鍵描述語，從而根據等量關系準確地列出方程是解決問題的關鍵．此題還要判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．19．（2023秋·廣東肇慶·九年級統(tǒng)考期末）在元旦慶祝活動中，每個參加活動的同學都給其余參加活動的同學各送1張賀卡，共送賀卡42張，設參加活動的同學有人，根據題意，可列方程是【答案】【分析】設參加活動的同學有人，從而可得每位同學贈送的賀卡張數為張，再根據“共送賀卡張”建立方程，然后解方程即可得．【詳解】設參加活動的同學有人，由題意得：．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應用，依據題意，正確建立方程是解題關鍵．20．（2022秋·河南開封·七年級開封市第二十七中學?？奸_學考試）某次聚會，每兩個人握手一次，總共握手次，那么有人參加聚會．【答案】【分析】設有x個人參加聚會，根據握手次數列方程求解即可得到答案．【詳解】解：設有x個人參加聚會，由題意可得，，解得：，（不符合題意舍去），故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程解決實際應用問題，解題的關鍵是找到等量關系式．考點6列方程-數字問題類21．（2023春·上海浦東新·八年級統(tǒng)考期末）有一個兩位數，如果個位上的數比十位上的數大1，并其十位上的數的平方比個位上的數也大1，那么這個兩位數是．【答案】23【分析】設十位上的數為x，則個位上的數位，十位上的數的平方比個位上的數也大1，再建立方程求出其解就可以得出結論．【詳解】解：設原兩位數的十位數字為x，根據題意得：∴，解得：，（不符合題意舍去）答：這個兩位數為23，故答案為23．【點睛】本題考查的是一元二次方程的應用，理解題意，確定相等關系是解本題的關鍵．22．（2023·全國·九年級專題練習）一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字的平方少9．如果把十位上的數字與個位上的數字對調，得到的兩位數比原來的兩位數小27，則原來的兩位數是【答案】74【分析】設這個兩位數的十位數字為a，個數數字為b，然后根據十位上的數字比個位上的數字的平方少9．如果把十位上的數字與個位上的數字對調，得到的兩位數比原來的兩位數小27列出方程求解即可．【詳解】解：設這個兩位數的十位數字為a，個數數字為b，由題意得，，整理得：，∴，即，解得或（舍去），∴，∴原來的兩位數是74，故答案為：74．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，正確理解題意找到等量關系列出方程是解題的關鍵．23．（2022秋·廣西欽州·九年級統(tǒng)考期中）兩個相鄰偶數，的積是，這兩個偶數的和為．【答案】【分析】根據題意，設，根據題意列出一元二次方程即可求解．【詳解】解：依題意，設