人教A版高中數學(選擇性必修一)同步培優(yōu)講義專題3.1 橢圓及其標準方程-重難點題型精講（教師版）

專題3.1橢圓及其標準方程-重難點題型精講1．橢圓的定義(1)定義：平面內與兩個定點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的距離的和等于常數(大于SKIPIF1<0)的點的軌跡叫作橢圓.這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距.

(2)橢圓定義的集合表示P={SKIPIF1<0,2a>SKIPIF1<0}.2．橢圓的標準方程橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系：3．橢圓方程的求解(1)用定義法求橢圓的標準方程

根據橢圓的定義，確定SKIPIF1<0的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.(2)用待定系數法求橢圓的標準方程

①如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，那么所求的橢圓一定是標準形式，就可以利用待定系數法求解.首先建立方程，然后依據題設條件，計算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點的位置，那么可用以下兩種方法來解決問題：一是分類討論，分別就焦點在x軸上和焦點在y軸上利用待定系數法設出橢圓的標準方程，再解答；二是用待定系數法設橢圓的一般方程為SKIPIF1<0=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.4．橢圓的焦點三角形(1)焦點三角形的概念

設M是橢圓上一點，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為橢圓的焦點，當點M,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0不在同一條直線上時，它們構成一個三角形——焦點三角形，如圖所示.(2)焦點三角形的常用公式

①焦點三角形的周長L=2a+2c.

②在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0.

③設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【題型1曲線方程與橢圓】【方法點撥】根據所給曲線方程表示橢圓，結合橢圓的標椎方程進行求解，即可得出所求.【例1】（2022·湖北·高三期末）已知曲線C:x24a+y23a+2A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據已知曲線的方程和橢圓的方程特點，結合充分條件和必要條件的判定即可【解答過程】若曲線C是橢圓，則有：4a>03a+2>0解得：a>0，且a≠2故“a>0”是“曲線C是橢圓”的必要不充分條件故選：C.【變式1-1】（2021·全國·高二專題練習）“1<m<5”是“方程x2m?1+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據橢圓的標準方程可得?1>0,5?m>0,m?1≠5?m,，解不等式組得出1<m<5且【解答過程】若方程表示橢圓，則有?1>0,因此1<m<5且m≠3，故“1<m<5”是“方程x2故選：B.【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習）已知方程x225?m+y2m+9=1A．?9<m<25 B．?8<m<25C．9<m<25 D．8<m<25【解題思路】由題知m+9>25?m>0，再解不等式即可.【解答過程】解：∵方程x225?m+∴m+9>25?m>0，解得：8<m<25．故選：D．【變式1-3】（2022·全國·高二課時練習）若方程x225?k+y2k?9=1A．9,25 B．?∞,9∪25,【解題思路】根據題意可得k?9>25?k>0，解之即可得解.【解答過程】解：因為方程x225?k+所以k?9>25?k>0，解得17<k<25，所以實數k的取值范圍為17,25.故選：C.【題型2橢圓的定義】【方法點撥】利用橢圓的定義解決涉及焦點相關問題的計算：一般地，遇到有關焦點問題時，首先應考慮用定義來解題，如題目中有橢圓上的點到兩焦點的距離可考慮用定義解題，另外，對定義的應用也應有深刻理解，知道何時應用、怎樣應用.【例2】（2023·全國·高三專題練習）點P為橢圓4x2+y2=16上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)A．13 B．1 C．7 D．5【解題思路】寫出橢圓的標準方程，由橢圓的定義得到PF【解答過程】橢圓方程為：x24+故PF故選：D.【變式2-1】（2022·全國·高二課時練習）設P為橢圓C:x216+y212=1上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)A．32 B．2 C．5【解題思路】先利用橢圓得到a=4，根據橢圓的定義可得到PF1+PF2=8【解答過程】解：由橢圓C:x216+y因為P為橢圓C:x216因為PF1?PF2=故選：B．【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C:x29+y23A．13 B．12 C．9 D．6【解題思路】根據橢圓方程求得a=3，再由橢圓的定義可得|MF【解答過程】解：由橢圓C:x29+y因為點M在C上，所以|MF所以|MF當且僅當|MF1|=|M故選：C．【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓x29+y22=1的左、右焦點分別為F1,A．30° B．60° C．120° D．150°【解題思路】根據橢圓方程求得F1F2=27，由橢圓的定義，得MF1+M【解答過程】解：由題意，橢圓方程x29+所以焦點F1又由橢圓的定義，可得MF1+MF在△F1M所以(27)2又由∠F1M故選:C．【題型3橢圓方程的求解】 【方法點撥】(1)用定義法求橢圓的標準方程根據橢圓的定義，確定SKIPIF1<0的值，結合焦點位置可寫出橢圓方程.(2)用待定系數法求橢圓的標準方程根據所給條件設出橢圓的標準方程，代入點，即可得解.【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的兩個焦點為F1(?5,0)，F(xiàn)2(5,0)，A．x27+y22【解題思路】首先設MF1=m，MF2【解答過程】設MF1=m，MF2=n，因為MF1⊥MF2，MF1?MF2=8，故選：C.【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是?22,0和22,0，且橢圓經過點A．x216C．x224【解題思路】根據橢圓的焦點可求c，根據經過點4,0，可得a，進而可求解b，即可得橢圓方程.【解答過程】因為焦點坐標為?22,0和22,0，所以c=22.橢圓經過點4,0，且焦點在x軸上，所以a=4故選:A.【變式3-2】（2022·寧夏二模（文））已知橢圓C的一個焦點F（0，-5），P為C上一點，滿足|OP|=|OF|,|PF|=4則橢圓C的標準方程為（）A．y215C．y212【解題思路】設出點P(m,n),根據題意列出等式即可求出點P.再將其帶入橢圓即可求出答案.【解答過程】由題意可知橢圓的焦點在y軸上，設橢圓為y2由題意知：設P(m,n).則{|OP|將P(m,n)代入橢圓：{所以橢圓C的標準方程為y2故選:B.【變式3-3】（2021·全國·高二課時練習）橢圓的焦點坐標為(﹣5，0)和(5，0），橢圓上一點與兩焦點的距離和是26，則橢圓的方程為（

）A．x2169+y2144＝1 B．x2144+y2【解題思路】由橢圓定義求得a，已知焦點坐標得c，再求出b可得橢圓方程．【解答過程】∵橢圓的焦點坐標為(﹣5，0)和(5，0)，橢圓上一點與兩焦點的距離和是26，∴橢圓的焦點在x軸上，c＝5，a＝13，∴b=a∴橢圓的方程為x2故選：A．【題型4動點軌跡方程的求法】【方法點撥】解橢圓有關的動點軌跡問題主要有以下兩種思路：(1)直接法：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達，我們只需把這種關系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程.(2)定義法：若動點的軌跡滿足已知曲線的定義，可先設定方程，再確定其中的基本量.【例4】（2021·全國·高二課時練習）已知A(0，－1)，B(0，1)兩點，△ABC的周長為6，則△ABC的頂點C的軌跡方程是（

）A．x24+B．y24+C．x24+D．y24+【解題思路】用定義法求出軌跡方程，把上下兩個頂點去掉.【解答過程】解析：因為2c＝|AB|＝2，所以c＝1，所以|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，所以頂點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(A，B，C不共線)．因此，頂點C的軌跡方程為y24+故選：B.【變式4-1】（2021·全國·高二課前預習）若動點Mx,y始終滿足關系式x2+(y+2)2A．x216+y212【解題思路】由等式x2【解答過程】因動點Mx,y滿足關系式x則該等式表示點Mx,y到兩個定點F1(0,?2),即動點M的軌跡是以F1,F2為焦點，長軸長2a=8的橢圓，于是短半軸長所以動點M的軌跡方程為x2故選：B.【變式4-2】（2022·江蘇·高二開學考試）已知圓C的方程為x?12+y2=16，B?1,0，A為圓C上任意一點，若點P為線段AB的垂直平分線與直線A．x216+y29【解題思路】由橢圓定義確定P點軌跡是橢圓，然后求出a,b，可得其方程．【解答過程】因為點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，所以PA=所以PB+PC=所以P點軌跡是以B,C為焦點，長軸長是4的橢圓．設其方程為x22a=4，a=2，c=1，則b=a所以P點軌跡方程是x2故選：C．【變式4-3】（2022·全國·高二專題練習）已知△ABC的周長等于10，BC=4，通過建立適當的平面直角坐標系，頂點A的軌跡方程可以是（

A．x29C．x236【解題思路】根據橢圓的定義進行求解即可.【解答過程】因為△ABC的周長等于10，BC=4所以AB+因此點A的軌跡是以B,C為焦點的橢圓，且A不在直線BC上，因此有2a=6,2c=4?a=3,c=2?b所以頂點A的軌跡方程可以是x2故選：A.【題型5橢圓中的焦點三角形問題】【方法點撥】①關于橢圓的焦點三角形問題，可結合橢圓的定義列出SKIPIF1<0=2a，利用這個關系式便可求出結果，因此回歸定義是求解橢圓的焦點三角形問題的常用方法.②在橢圓中，焦點三角形引出的問題很多，在處理這些問題時，經常利用定義結合正弦定理、余弦定理及勾股定理等來解決，還經常用到配方法、解方程及把SKIPIF1<0看成一個整體等.【例5】（2022·全國·高二課時練習）已知點P在橢圓x216+y24=1上，F(xiàn)1與A．43 B．63 C．8【解題思路】由橢圓的定義結合余弦定理解得PF【解答過程】由PF1+PFS△故選：A.【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）若F為橢圓C：x225+y216=1的右焦點，A，B為A．4 B．8 C．10 D．20【解題思路】設F1為橢圓C的左焦點，則由橢圓的定義可得：AF+BF+AB=2a?【解答過程】解：設F1為橢圓C則由橢圓的定義可得：AF=4a+AB當A,B,F1共線時，當A,B,F1不共線時，所以△ABF周長的最大值為20.故選：D.【變式5-2】（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓x24+y23=1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，過FA．2 B．4 C．6 D．8【解題思路】運用橢圓的定義進行求解即可.【解答過程】由x2因為M，N是橢圓的上的點，F(xiàn)1、F所以MF因此△F1MN故選：D.【變式5-3】（2022·全國·高二專題練習）設P為橢圓x225+y216=1上一點，F(xiàn)A．△PF1FC．△PF1F2為直角三角形 D．P，【解題思路】根據橢圓方程求出a,b,c，然后結合橢圓定義和已知條件求出|PF1|,|P【解答過程】由題意可知，a=5,b=4?c=a由橢圓的定義可知|PF1|+|P聯(lián)立方程解得|PF1|=8,|PF2故選：D.【題型6橢圓中的最值問題】【例6】（2022·全國·高二課時練習）已知F是橢圓C:x24+y23=1的左焦點，P為橢圓C上任意一點，點A．3 B．5 C．41 D．13【解題思路】由PQ+【解答過程】因為橢圓C:x所以a=2,b=3,c=1，則橢圓的右焦點為F'由橢圓的定義得：PQ+當點P在點P'所以PQ+故選：B.【變式6-1】（2022·全國·高二課時練習）F1，F(xiàn)2分別為橢圓x24+y23=1的左?A．4?102 B．2?102【解題思路】由橢圓方程得F1?1,0,F21,0，連接MF1，進而根據橢圓定義將問題轉化為【解答過程】解：由橢圓方程得F1如圖，連接MF1，由于所以MF所以MA+因為MA?MF所以?所以MA故選：A.【變式6-2】（2022·全國·高二課時練習）已知點P是橢圓x225+y216=1上一動點，Q是圓(x+3)A．4 B．5 C．6 D．7【解題思路】易知圓(x+3)2+y2=1的圓心是F【解答過程】如圖所示：由x225+則c=a則圓(x+3)2+y則右焦點為F2由橢圓的定義得PF所以PQ≤又MF所以PQ?