第二題 集合及其運算(解析版)

第二題集合及其運算真題展示與解法精粹設(shè)集合，，若，則（）．A.2 B.1 C. D.【思路分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運算求解即可.【解析】因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.典型高考真題一、單選題1．設(shè)全集，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由集合的補集運算可得答案．【詳解】全集，，則故選B.【點睛】本題考查集合的補集運算，屬于簡單題．2．數(shù)集是整數(shù)與數(shù)集是整數(shù)之間的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由集合的表示與集合間關(guān)系判斷【詳解】當為整數(shù)時，可取所有奇數(shù)，當為整數(shù)時，可取所有奇數(shù)，故，故選：C3．已知A． B． C． D．【答案】B【分析】由題根據(jù)絕對值不等式及分式不等式的解法，求得M，N,再由集合運算的性質(zhì)然后取交集即可.【詳解】,故選:B.【點睛】本題考查絕對值不等式及分式不等式的解法，集合的交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題．4．已知集合A=,B=，則（）A．A=B B．AB= C．AB D．BA【答案】D【詳解】由于，故A、B、C均錯，D是正確的，選D.考點：本題考查子集的概念，考查學生對基礎(chǔ)知識的掌握程度.5．已知集合，，則的元素個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合交集的運算，轉(zhuǎn)化為交點問題，即可判斷結(jié)果中元素的個數(shù).【詳解】依題意，，或，與有1個交點，與有1個交點，故的元素個數(shù)為2，故選：C．【點睛】本題考查集合的交集，涉及橢圓與直線的位置關(guān)系，屬綜合簡單題.6．集合，則A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到集合A、B，再按交集定義運算即可.【詳解】由已知，，所以.故選：A【點睛】本題考查集合的交集運算，解題關(guān)鍵是看清集合中代表元，考查學生的基本計算能力，是一道基礎(chǔ)題.7．已知集合，集合，那（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)交集的知識求得正確答案.【詳解】由于，所以.故選：A8．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用集合間的關(guān)系，集合的交并補運算對每個選項分析判斷.【詳解】由題，故A錯；∵，，∴，B正確；，C錯；，D錯；故選:B二、多選題9．已知集合，，則（

）．A． B．C． D．【答案】BCD【解析】分別求出集合A，B對應的集合，根據(jù)交并集的概念即可得到答案.【詳解】因為，所以，所以．又，所以，，，.故選：BCD．10．已知集合，若，則的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【分析】根據(jù)并集的結(jié)果可得，即可得到的取值；【詳解】解：因為，所以，所以或；故選：AB11．下列各組集合不表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用集合的意義，逐項判斷即可作答.【詳解】對于A，集合都是單元素集，而元素與不同，A不是；對于B，集合的元素為有序?qū)崝?shù)對，而集合的元素為實數(shù)，B不是；對于C，集合都含有兩個元素4，5，只是排列順序不同，而集合的元素具有無序性，C是；對于D，集合有兩個元素1，2，而集合只有一個元素，D不是.故選：ABD12．已知集合A，B均為R的子集，若，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)集合圖逐一判斷即可得到答案【詳解】如圖所示根據(jù)圖像可得,故A正確；由于，故B錯誤；,故C錯誤故選：AD三、填空題13．已知集合，，則.【答案】【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解：因為，，所以.故答案為：14．已知集合，，則.【答案】【分析】根據(jù)交集的運算可直接得出結(jié)果．【詳解】解：集合，，，故答案為．【點睛】本題考查集合交集的運算，是基礎(chǔ)題．15．已知集合，若，則.【答案】【解析】由，得到是方程是方程的根，代入即可求解.【詳解】由題意，集合，因為，所以，即是方程是方程的根，解得，當，可得集合,此時滿足，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了根據(jù)集合間的關(guān)系求解參數(shù)問題，其中解答中熟記集合件的包含關(guān)系，結(jié)合元素與集合的關(guān)系，列出方程求解是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題16．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】{m|m≤3}．【分析】由B＝和B≠分類討論得不等式（或不等式組）解之可得．【詳解】解：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A.①若B＝，則m＋1>2m－1，解得m<2，此時有B?A；②若B≠，則m＋1≤2m－1，即m≥2，由B?A，得，解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤3}．17．已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}．（1）求A∩B，(?RB)∪A；（2）已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C?B，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）A∩B＝{x|3≤x<6}，(?RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}；（2）{a|2≤a≤8}．【分析】（1）根據(jù)交集、并集、補集的定義即可求解；（2）因為C?B，所以借助數(shù)軸列出不等式組，解不等式組即可得答案.【詳解】解:（1）因為集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}，所以A∩B＝{x|3≤x<6}，?RB＝{x|x≤2或x≥9}，所以(?RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}；（2）因為C?B，如圖所示，則有，解得2≤a≤8，所以a的取值范圍為{a|2≤a≤8}．18．設(shè)全集，集合，.(1)若，求，(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；或(2)【分析】（1）先代入化簡集合，再利用集合的交并補運算即可得到結(jié)果；（2）先由得到，再分類討論與兩種情況，結(jié)合數(shù)軸法即可得到所求.【詳解】（1）因為，所以，又因為，，所以，或，故或.（2）因為，所以，因為，，所以當時，，解得，此時；當時，，由數(shù)軸法得，解得，故；綜上：，即.19．給定正整數(shù)，設(shè)集合．對于集合M的子集A，若任取A中兩個不同元素，，有，且，，…，中有且只有一個為2，則稱A具有性質(zhì)P．(1)當時，判斷是否具有性質(zhì)P；（結(jié)論無需證明）(2)當時，寫出一個具有性質(zhì)P的集合A；(3)當時，求證：若A中的元素個數(shù)為4，則A不具有性質(zhì)P．【答案】(1)A不具有性質(zhì)P；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)新定義即可判斷；（2）根據(jù)定義即可寫出；（3）若A中的元素個數(shù)為4，假設(shè)A具有性質(zhì)P，設(shè)，然后根據(jù)條件推出矛盾，進而即得.【詳解】（1）根據(jù)題設(shè)定義可知不具有性質(zhì)P；（2）當時，，，且，，中有且只有一個為2，滿足性質(zhì)P；（3）當時，若A中的元素個數(shù)為4，假設(shè)A具有性質(zhì)P，即任取A中兩個不同元素，，有，①，，，中有且只有一個為2．②設(shè)；則．當時，由①得，不滿足②，矛盾．當時，由①得，由②得與不同時在A中；與不同時在A中；與不同時在A中，所以A中元素個數(shù)至多為3，矛盾．當時，由①得，不滿足②，矛盾．當或時，不滿足A中的元素個數(shù)為4，矛盾．所以假設(shè)不成立，即A不具有性質(zhì)P．【點睛】數(shù)學中的新定義題目解題策略：①仔細閱讀，理解新定義的內(nèi)涵；②根據(jù)新定義，對對應知識進行再遷移.20．已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.(1)求A∪B，；(2)若A∩C≠?，求a的取值范圍.【答案】(1)A∪B＝{x|1<x≤8}，{x|1<x<2}(2){a|a<8}【分析】（1）根據(jù)集合的交并補的定義，即可求解；（2）利用運算結(jié)果，結(jié)合數(shù)軸，即可求解.【詳解】（1）A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}.∵＝{x|x<2或x>8}，∴∩B＝{x|1<x<2}.（2）∵A∩C，作圖易知，只要a在8的左邊即可，∴a<8.∴a的取值范圍為{a|a<8}.21．已知集合，.（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）當時，先分別化簡集合A，B，再求；（2），也就是，集合A，B沒有公共元素，這樣，就可以建立不等關(guān)系，從而可求實數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）當時，，或，∴或；（2）因為，所以或，解得或，所以a的取值范圍是．【點睛】本題考查交集的求法，考查由交集的結(jié)果求參數(shù)的取值范圍，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于?？碱}.模擬題訓練一、單選題1．設(shè)集合,,則M∩N＝（

）A．{2，1，0，1} B．{1，0，1} C．{1，0} D．{0，1}【答案】C【分析】先計算集合N，再計算得到答案.【詳解】，則故選C【點睛】本題考查了交集的運算，屬于簡單題型.2．已知集合，集合，則（

）A．A B．B C．N D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的描述判斷集合A、B中元素與兩個集合的關(guān)系，結(jié)合集合交集的定義，即可確定.【詳解】由題設(shè)，對于集合：當為偶數(shù)時元素屬于集合B，當為奇數(shù)時元素不屬于集合B，對于集合B：取任意值其元素都在集合A中，∴.故選：B3．已知集合，，則等于（

）.A． B．C． D．【答案】C【分析】解出集合B包含的不等式，根據(jù)交集的運算方法即可得出答案.【詳解】，，.故選：C.4．若集合，，則A． B．C． D．【答案】A【詳解】在數(shù)軸上將集合A，B表示出來，如圖所示，由交集的定義可得，為圖中陰影部分，即，故選A.考點：集合的交集運算.5．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)交集和補集的運算求解即可【詳解】由題，，故故選：A【點睛】本題主要考查了補集與交集的運算，屬于基礎(chǔ)題6．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．5≤a≤4 B．4≤a≤5C．6≤a≤3 D．3≤a≤6【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求得，若，則滿足，從而解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因為集合，，所以，又，則，解得故選：A二、多選題7．若集合，集合，則正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用集合的交并補運算和對元素是否屬于集合的判斷即可得到答案.【詳解】因為集合，集合，對A，A正確；對B，B不正確；對C，，但C不正確；對D，，且D正確.故選：AD.8．設(shè)是一個集合，下列關(guān)系成立的是（

）A．； B． C． D．【答案】CD【分析】利用元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷A,B,C即可，利用補集的性質(zhì)判斷D【詳解】解：因為表示集合中有一個元素，所以，所以AB錯誤，C正確；因為是一個集合，所以，所以D正確，故選：CD三、填空題9．若非空且互不相等的集合，，滿足：，，則．【答案】【分析】推導出，，由此能求出．【詳解】解：非空且互不相等的集合，，滿足：，，，，．故答案為：．10．若，則實數(shù).【答案】4或【分析】分三種情況討論即得.【詳解】∵，∴，即，此時符合題意；，即，此時，不滿足元素的互異性，故舍去；，即，經(jīng)檢驗符合題意；綜上，或.故答案為：4或.11．已知集合，，若，則.【答案】【分析】根據(jù)可得答案.【詳解】因為集合，，，所以，解得，從而.故答案為：.12．設(shè)，，若，則實數(shù)組成的集合.【答案】【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系分類討論求解.【詳解】由解得，或，所以，當時，方程無解，則，滿足題意；當時，由解得，所以或7，解得或，綜上，實數(shù)組成的集合.故答案為：四、解答題13．已知集合，，若中元素的個數(shù)為，且存在，，使得，則稱是的子集.(1)若，寫出的所有子集；(2)若為的子集，且對任意的，，存在，使得，求的值；(3)若，且的任意一個元素個數(shù)為的子集都是的子集，求的最小值.【答案】(1)；(2)2；(3)13.【分析】（1）根據(jù)子集的定義，即可容易求得；（2）取，求得，再利用反證法假設(shè)，推得與矛盾即可；（3）令，討論時不滿足題意，再驗證時的情況滿足題意，即可求得的最小值.【詳解】（1）當時，，的所有子集為.（2）當時，取，因為，所以是的子集，此時；若，設(shè)且，根據(jù)題意，，其中；因為，所以，所以；又因為，所以；因為，所以，所以；因為，所以，所以，與矛盾.綜上所述，.（3）設(shè)，設(shè)的元素個數(shù)為，若不是的子集，則最多能包含中的一個元素以及中的元素；令，易驗證不是的子集，當時，的任意一個元素個數(shù)為的子集都不是的子集，所以，若的任意一個元素個數(shù)為的子集都是的子集，則；當時，存在，使得中必有兩個元素屬于，同時中兩個元素之和為的某個正整數(shù)指數(shù)冪，所以是的子集；所以，的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查集合新定義問題，處理問題的關(guān)鍵是充分把握題中對子集的定義，同時要熟練的使用證明方法，屬綜合困難題.14．已知，非空集合，若S是P的子集，求m的取值范圍.【答案】【解析】由，解得．根據(jù)非空集合，S是P的子集，可得，解得范圍．【詳解】由，解得．，．非空集合．又S是P的子集，，解得．的取值范圍是，．【點睛】本題考查了不等式的解法和充分條件的應用，考查了推理能力與計算能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．15．已知集合，.（1）當時，求集合，；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1），；（2）．【詳解】試題分析：(1)由題