2024屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)練4：數(shù)列的遞推關(guān)系（含解析）

培優(yōu)練4數(shù)列的遞推關(guān)系一、基本技能練1.數(shù)列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，則a100＝()A.2100＋1 B.2101C.2100－1 D.21002.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,4an＋1)，則滿足an>eq\f(1,37)的n的最大取值為()A.7 B.8C.9 D.103.已知數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，則a9＋a10＝()A.47 B.48C.49 D.4104.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn＝2an－2n＋1，則S10＝()A.211－23 B.210－19C.3×210－23 D.3×29－195.在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＝2an－1－n＋2，若an>980，則n的最小值是()A.8 B.9C.10 D.116.已知數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(2,3)，an＋1＝an＋an·an＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A.eq\f(3,3n－1) B.eq\f(3n－1,3)C.eq\f(5,2)－n D.eq\f(2,5－2n)7.已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝an＋2n，則{an}的通項(xiàng)公式為________.8.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝2aeq\o\al(2,n－1)(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________.二、創(chuàng)新拓展練9.(多選)(2023·青島質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－3an＋1＝2an·an＋1(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))為等比數(shù)列B.{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,2×3n－1－1)C.{an}為遞增數(shù)列D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項(xiàng)和Tn＝3n－n10.(2023·寧波模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝2，若[x]表示不超過x的最大整數(shù)(例如[1.6]＝1，[－1.6]＝－2)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(22,a1)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(32,a2)))＋…＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(20242,a2023)))＝()A.2021 B.2022C.2023 D.2024參考答案1.C[數(shù)列{an}中，an＋1＝2an＋1，故an＋1＋1＝2(an＋1)，因?yàn)閍1＝1，所以a1＋1＝2≠0，所以{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1，故a100＝2100－1.]2.C[因?yàn)閍n＋1＝eq\f(an,4an＋1)，所以eq\f(1,an＋1)＝4＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝4，又eq\f(1,a1)＝1，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以eq\f(1,an)＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝eq\f(1,4n－3)，由an>eq\f(1,37)，即eq\f(1,4n－3)>eq\f(1,37)，即0<4n－3<37，解得eq\f(3,4)<n<10，因?yàn)閚為正整數(shù)，所以n的最大值為9.]3.C[由題意a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，即eq\f(an＋an－1,an－1＋an－2)＝4(n≥3)，所以數(shù)列{an＋an＋1}是等比數(shù)列，公比為4，首項(xiàng)為4，所以a9＋a10＝49.]4.C[當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝2a1－2＋1，解得a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－2n＋3，所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－(2an－1－2n＋3)，即an＝2an－1＋2，所以an＋2＝2(an－1＋2)，即eq\f(an＋2,an－1＋2)＝2，所以數(shù)列{an＋2}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，則an＋2＝3×2n－1，從而Sn＝3×2n－2n－3，故S10＝3×210－23.]5.C[因?yàn)閍n＝2an－1－n＋2，所以an－n＝2[an－1－(n－1)].因?yàn)閍1＝3，所以a1－1＝2，所以數(shù)列{an－n}是首項(xiàng)和公比都是2的等比數(shù)列，則an－n＝2n，即an＝2n＋n.因?yàn)閍n－an－1＝2n－1＋1>0，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.因?yàn)閍9＝521<980，a10＝1034>980，所以滿足an>980的n的最小值是10.]6.D[由題意，可得an＋1＝an＋an·an＋1，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝－1.又eq\f(1,a1)＝eq\f(3,2)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(3,2)為首項(xiàng)，公差為－1的等差數(shù)列，所以eq\f(1,an)＝eq\f(3,2)－(n－1)＝eq\f(5,2)－n，所以an＝eq\f(2,5－2n).]7.an＝2n[由已知得an＋1－an＝2n，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋22＋…＋2n－1＝2＋eq\f(2（1－2n－1）,1－2)＝2n，又a1＝2，也滿足上式，故an＝2n.]8.an＝22n－1[原式兩邊同時(shí)取以2為底的對(duì)數(shù)，得log2an＝1＋2log2an－1(n≥2)，即log2an＋1＝2(log2an－1＋1).設(shè)bn＝log2an＋1，則bn＝2bn－1(n≥2)，又b1＝1＋log2a1＝2，所以{bn}是以2為公比，2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以bn＝2×2n－1＝2n，所以log2an＋1＝2n，所以an＝22n－1.]9.AB[因?yàn)閍n－3an＋1＝2an·an＋1，所以eq\f(1,an＋1)＋1＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))，又eq\f(1,a1)＋1＝2≠0，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，eq\f(1,an)＋1＝2×3n－1，即an＝eq\f(1,2×3n－1－1).所以{an}為遞減數(shù)列，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項(xiàng)和Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1)＝2(30＋31＋…＋3n－1)－n＝2×eq\f(1－3n,1－3)－n＝3n－n－1.故選AB.]10.D[由題設(shè)，(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，a2－a1＝4，故{an＋1－an}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，則an＋1－an＝2n＋2，則(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝an－a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]＝(n＋2)(