2023-2024學年甘肅省蘭州市蘭煉一中數(shù)學高三上期末檢測試題含解析

2023-2024學年甘肅省蘭州市蘭煉一中數(shù)學高三上期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過圓外一點引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程是（）．A． B． C． D．2．給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作，每項工作至少一人，每人做且僅做一項工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．64種3．已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的右焦點為F，過原點O作斜率為的直線交C的右支于點A，若|OA|=|OF|，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．+14．半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接正三棱柱，則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為（）A． B． C． D．5．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對于恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．6．若集合，，則=（）A． B． C． D．7．如圖，在正四棱柱中，，分別為的中點，異面直線與所成角的余弦值為，則()A．直線與直線異面，且 B．直線與直線共面，且C．直線與直線異面，且 D．直線與直線共面，且8．我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個比例為“白銀比例”，該比例在設(shè)計和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺到塔底的高度之比，第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺間高度差為100米，則下列選項中與該塔的實際高度最接近的是（）A．400米 B．480米C．520米 D．600米9．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A．74 B．121 C． D．10．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．若函數(shù)在時取得最小值，則（）A． B． C． D．12．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．動點到直線的距離和他到點距離相等，直線過且交點的軌跡于兩點，則以為直徑的圓必過_________.14．記Sk＝1k+2k+3k+……+nk，當k＝1，2，3，……時，觀察下列等式：S1n2n，S2n3n2n，S3n4n3n2，……S5＝An6n5n4+Bn2，…可以推測，A﹣B＝_____．15．已知為正實數(shù)，且，則的最小值為____________.16．已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）當時，求不等式的解集；（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）設(shè)點，直線與曲線交于，兩點，求的值.19．（12分）某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成．在此區(qū)域內(nèi)原有一個以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎(chǔ)上,將其改建成一個凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點．已知長為40米,設(shè)為．（上述圖形均視作在同一平面內(nèi)）（1）記四邊形的周長為,求的表達式;（2）要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值．20．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求在點處的切線方程；（Ⅱ）求證：在上存在唯一的極大值；（Ⅲ）直接寫出函數(shù)在上的零點個數(shù)．21．（12分）已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若對于任意恒成立，求的取值范圍.22．（10分）在中，．（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】過圓外一點，引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程為，故選．2、C【解析】

根據(jù)題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，有種分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，有2種情況，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，有種情況，此時有種情況，則有種不同的安排方法；故選：C．【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，可求出點，則，整理計算可得離心率.【詳解】解：以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，取第一象限的解得，即，則，整理得，則（舍去），，.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，考查學生的計算能力，是中檔題.4、B【解析】

設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長與高分別為，利用，可得，進一步得到側(cè)面積，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖所示.設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為，底面邊長與高分別為，則，在中，，化為，，，當且僅當時取等號，此時.故選：B.【點睛】本題考查正三棱柱與球的切接問題，涉及到基本不等式求最值，考查學生的計算能力，是一道中檔題.5、A【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，由此可將不等式化為；利用分離變量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到結(jié)果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，即對于恒成立在上恒成立，即的取值范圍為：本題正確選項：【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.6、C【解析】試題分析：化簡集合故選C．考點：集合的運算．7、B【解析】

連接，，，，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性質(zhì)可知，直線與直線共面.，同理易得，由異面直線所成的角的定義可知，異面直線與所成角為，然后再利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：連接，，，，由正方體的特征得，所以直線與直線共面.由正四棱柱的特征得，所以異面直線與所成角為.設(shè)，則，則，，，由余弦定理，得.故選：B【點睛】本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì)，還考查了推理論證和運算求解的能力，屬于中檔題.8、B【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系，結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離，進而由比例即可求得該塔的實際高度.【詳解】設(shè)第一展望臺到塔底的高度為米，塔的實際高度為米，幾何關(guān)系如下圖所示：由題意可得，解得；且滿足，故解得塔高米，即塔高約為480米.故選：B【點睛】本題考查了對中國文化的理解與簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)，利用通項公式得到含的項為：，進而得到其系數(shù)，【詳解】因為在，所以含的項為：，所以含的項的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點睛】本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數(shù)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，10、B【解析】

先解不等式化簡兩個條件，利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得，解絕對值不等式可得，由于為的子集，據(jù)此可知“”是“”的必要不充分條件．故選：B【點睛】本題考查了必要不充分條件的判定，考查了學生數(shù)學運算，邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時的值．【詳解】解：，其中，，，故當，即時，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解析】

圓心坐標為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值．【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，，，則，當且僅當且即時取等號，故選：．【點睛】本題考查最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用動點到直線的距離和他到點距離相等，,可知動點的軌跡是以為焦點的拋物線,從而可求曲線的方程,將,代入,利用韋達定理,可得,從而可知以為直徑的圓經(jīng)過原點O.【詳解】設(shè)點，由題意可得，，，可得，設(shè)直線的方程為，代入拋物線可得，，，，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點.故答案為：（0,0）【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了直線和拋物線的交匯問題，同時考查了方程的思想和韋達定理，考查了運算能力，屬于中檔題.14、【解析】

觀察知各等式右邊各項的系數(shù)和為1，最高次項的系數(shù)為該項次數(shù)的倒數(shù)，據(jù)此計算得到答案.【詳解】根據(jù)所給的已知等式得到：各等式右邊各項的系數(shù)和為1，最高次項的系數(shù)為該項次數(shù)的倒數(shù)，∴A，A1，解得B，所以A﹣B．故答案為：．【點睛】本題考查了歸納推理，意在考查學生的推理能力.15、【解析】

，所以有，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】由已知，，所以，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：【點睛】本題考查利用基本不等式求和的最小值問題，采用的是“1”的替換，也可以消元等，是一道中檔題.16、【解析】

求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，計算時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，不符合，排除，得到答案。【詳解】因為，所以，因為，所以.當，即時，，則在上單調(diào)遞增，從而，故符合題意；當，即時，因為在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一的，使得.令，得，則在上單調(diào)遞減，從而，故不符合題意.綜上，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

（1）當時，，當或時，，所以可轉(zhuǎn)化為，解得，所以不等式的解集為．（2）因為，所以，所以，即，即．當時，因為，所以，不符合題意．當時，解可得，因為當時，不等式恒成立，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．18、（1）；（2）【解析】

（1）利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可；（2）將直線參數(shù)方程代入圓的普通方程，可得，，而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，知，代入即可解決.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去；得曲線的極坐標方程為.由，，，可得，即曲線的直角坐標方程為；（2）將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入的方程，可得，，設(shè)，是點對應(yīng)的參數(shù)值，，，則.【點睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化，直線參數(shù)方程的幾何意義，是一道容易題.19、（1）,．（2）【解析】

（1）由余弦定理的,然后根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)求出,從而求出;（2）求得的表達式,通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最大值.【詳解】解：（1）連．由條件得．在三角形中,,,,由余弦定理,得,因為與半圓相切于,所以,所以,所以．所以四邊形的周長為,．（2）設(shè)四邊形的面積為,則,．所以,．令,得列表：+0-增最大值減答：要使改建成的展示區(qū)的面積最大,的值為．【點睛】本題考查余弦定理、直線與圓的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系,考查考生的邏輯思維能力,運算求解能力,以及函數(shù)與方程的思想.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）函數(shù)在有3個零點．【解析】

（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，寫出切線方程；（Ⅱ）二次求導(dǎo)，判斷單調(diào)遞減，結(jié)合零點存在性定理，判斷即可；（Ⅲ），數(shù)形結(jié)合得出結(jié)論．【詳解】解：（Ⅰ），，，故在點，處的切線方程為，即；（Ⅱ）證明：，，，故在遞減，又，，由零點存在性定理，存在唯一一個零點，，當時，遞增；當時，遞減，故在只有唯一的一個極大值；（Ⅲ）函數(shù)在有3個零點．【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查零點存在性定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理確定導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù)，進而確定函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題．21、（1）或；（2）.【解析】

（1）時，分類討論，去掉絕對值，分類討論解不等式.（2）時，分類討論去絕對值，得到解析式，由函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值，通過恒成立問題，得到關(guān)于的不等式，得到的取值范圍.【詳解】（1）因為，所