2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試第一部分專題六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)微專題1函數(shù)的圖象與性質(zhì)小題考法2函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

小題考法2函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(1)(2023·普寧校級二模)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＋f(2－x)＝0，函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且f(1)＝1，則f(2023)＝()A．－1B．0C．1D．2(2)(2023·高州一模)已知函數(shù)y＝f(x＋1)－2是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)＝eq\f(2x－1,x－1)的圖象與f(x)的圖象有4個公共點(diǎn)Pi(xi，yi)(i＝1，2，3，4)，且x1<x2<x3<x4，則g(x1＋x2＋x3＋x4)g(y1＋y2＋y3＋y4)＝()A．2B．3C．4D．5(3)(2023·佛山順德區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)滿足：f(2－x)＋f(x)＝2，對任意x1，x2∈[1，＋∞)(x1≠x2)，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)>0恒成立．若f(x4＋ax2)＋f(6－2x2)≥2成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2]∪{0}B．[－2，＋∞)C．(－∞，－2]D．[－2，0)∪(0，＋∞)解析：(1)由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，得f(4＋x)＝－f(－x)，①又函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，即f(x)＝f(－x)，②聯(lián)立①②兩式，可得f(4＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的一個周期為8，又f(1)＝1，所以f(2023)＝f(253×8－1)＝f(－1)＝f(1)＝1.故選C.(2)根據(jù)題意，函數(shù)y＝f(x＋1)－2為奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(1，2)對稱，函數(shù)g(x)＝eq\f(2x－1,x－1)＝eq\f(1,x－1)＋2，其圖象也關(guān)于點(diǎn)(1，2)對稱，則有x1＋x2＋x3＋x4＝4，y1＋y2＋y3＋y4＝8，則g(x1＋x2＋x3＋x4)g(y1＋y2＋y3＋y4)＝g(4)g(8)＝eq\f(7,3)×eq\f(15,7)＝5，故選D.(3)因為對任意x1，x2∈[1，＋∞)(x1≠x2)，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)>0，所以f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，又因為f(2－x)＋f(x)＝2，所以f(x)＝2－f(2－x)，所以f(x4＋ax2)＋f(6－2x2)≥2?f(x4＋ax2)≥2－f(6－2x2)＝2－f[2－(2x2－4)]＝f(2x2－4)，所以x4＋ax2≥2x2－4在[1，＋∞)上恒成立，即以x4＋(a－2)x2＋4≥0在[1，＋∞)上恒成立，令t＝x2，則t≥1，問題轉(zhuǎn)化為t2＋(a－2)t＋4≥0在[1，＋∞)上恒成立，又因為Δ＝(a－2)2－16，當(dāng)Δ≤0，即－2≤a≤6時，滿足題意；當(dāng)Δ>0時，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－2）2－16>0，,－\f(a－2,2)≤1，,1＋（a－2）×1＋4≥0，))解得a>6，綜上所述，a的取值范圍為[－2，＋∞)．故選B.答案：(1)C(2)D(3)B1．解決函數(shù)相關(guān)的不等關(guān)系時常常利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題，例如比較大小，解抽象函數(shù)不等式等．2．解決函數(shù)求值問題時常常利用函數(shù)的奇偶性和周期性轉(zhuǎn)化求值．此外，注意函數(shù)的奇偶性是函數(shù)對稱性的一個特例．1．(2023·廣東一模)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)在[0，2]上單調(diào)遞減，f(x＋2)為偶函數(shù)，若f(x)＝m在[0，12]上恰好有4個不同的實數(shù)根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________．解析：由f(x＋2)為偶函數(shù)，則f(－x＋2)＝f(x＋2)，故f(－x)＝f(x＋4)，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－f(x＋4)，故f(x＋4)＝－f(x＋8)，即有f(x)＝f(x＋8)，綜上，f(x)的周期為8，且關(guān)于x＝2對稱的奇函數(shù)，由f(x)在[0，2]上單調(diào)遞減，結(jié)合上述分析知：在[2，6]上遞增，[6，10]上遞減，[10，12]上遞增，所以f(x)在[0，12]的大致草圖如下：要使f(x)＝m在[0，12]上恰好有4個不同的實數(shù)根，即f(x)與y＝m有4個交點(diǎn)，所以，必有兩對交點(diǎn)分別關(guān)于x＝2，x＝10對稱，則x1＋x2＋x3＋x4＝24.故答案為24.答案：242．(多選題)(2023·佛山模擬)已知函數(shù)f(x)、g(x)定義域均為R，且f(x＋4)＋f(－x)＝2，f(2x＋1)為偶函數(shù)，若g(x)＝－f(2－x)，則下面一定成立的是()A．f(0)＝1B．g(3)＝0C．f(2023)＝f(3)＝1D．g(2024)＝g(0)＝－1解析：由f(x＋4)＋f(－x)＝2，得函數(shù)f(x)關(guān)于(2，1)中心對稱，令x＝－2得f(2)＝1，因為f(2x＋1)為偶函數(shù)，所以f(1＋2x)＝f(1－2x)，得f(x)關(guān)于x＝1軸對稱，則f(－x)＝f(2＋x)，即f(x＋4)＋f(－x)＝2等價為f(x＋4)＋f(2＋x)＝2，即f(x＋2)＋f(x)＝2，得f(x＋4)＋f(2＋x)＝f(x＋2)＋f(x)，得f(x＋4)＝f(x)，即T＝4是函數(shù)y＝f(x)的周期；因為f(2)＝1，所以f(0)＝f(2)＝1，故A正確，因為T＝4是函數(shù)y＝f(x)的周期，因為f(2023)＝f(3)，由已知條件無法求得f(3)＝1，故C錯誤．由g(x)＝－f(2－x)可知，g(3)＝－f(－1)＝－f(3)，所以B錯誤．由g(x)＝－f(2－x)可知兩函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)關(guān)于(1，0)中心對稱，所以T＝4是函數(shù)y＝g(x)的周期，則g(2024)＝g(0)＝－f(2)＝－1，故D正確．故答案選AD.答案：AD3．(多選題)(2023·茂名一模)已知函數(shù)f(x)對?x∈R，都有f(x)＝f(－x)，f(x＋1)為奇函數(shù)，且x∈[0，1)時，f(x)＝x2，下列結(jié)論正確的是()A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)中心對稱B．f(x)是周期為2的函數(shù)C．f(－1)＝0D．f(eq\f(7,2))＝eq\f(1,4)解析：由題意f(x＋1)為奇函數(shù)得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＋f(x＋2)＝0，故f(x)的圖象關(guān)于(1，0)中心對稱，故A正確；由f(－x)＝f(x)，f(－x)＋f(x＋2)＝0得f(x)＝－f(2＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期為4的函數(shù)，故B錯誤；由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝