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文檔簡介
2023-2024學(xué)年海南省重點(diǎn)名校數(shù)學(xué)高三上期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在函數(shù):①;②;③;④中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③2.已知集合,則()A. B. C. D.3.我國南北朝時的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為:“今有十等人,每等一人,宮賜金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中間四人未到者,亦依次更給,問各得金幾何?”則在該問題中,等級較高的二等人所得黃金比等級較低的九等人所得黃金()A.多1斤 B.少1斤 C.多斤 D.少斤4.復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.5.臺球是一項(xiàng)國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運(yùn)動,也叫桌球(中國粵港澳地區(qū)的叫法)、撞球(中國地區(qū)的叫法)控制撞球點(diǎn)、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項(xiàng)重要技術(shù),一次臺球技術(shù)表演節(jié)目中,在臺球桌上,畫出如圖正方形ABCD,在點(diǎn)E,F(xiàn)處各放一個目標(biāo)球,表演者先將母球放在點(diǎn)A處,通過擊打母球,使其依次撞擊點(diǎn)E,F(xiàn)處的目標(biāo)球,最后停在點(diǎn)C處,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,則該正方形的邊長為()A.50cm B.40cm C.50cm D.20cm6.若為過橢圓中心的弦,為橢圓的焦點(diǎn),則△面積的最大值為()A.20 B.30 C.50 D.607.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P為雙曲線在第一象限上的點(diǎn),直線PO,分別交雙曲線C的左,右支于另一點(diǎn),且,則雙曲線的離心率為()A. B.3 C.2 D.8.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值為()A.-5 B.2 C.7 D.119.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則的值為()A. B. C. D.10.第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行,為了解奧運(yùn)會會旗中五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個環(huán)面積之和的比值P,某學(xué)生做如圖所示的模擬實(shí)驗(yàn):通過計(jì)算機(jī)模擬在長為10,寬為6的長方形奧運(yùn)會旗內(nèi)隨機(jī)取N個點(diǎn),經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點(diǎn)數(shù)為n個,已知圓環(huán)半徑為1,則比值P的近似值為()A. B. C. D.11.已知雙曲線:的左、右兩個焦點(diǎn)分別為,,若存在點(diǎn)滿足,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.512.如圖,在中,,是上的一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值是.14.已知函數(shù),若方程的解為,(),則_______;_______.15.記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知,,則_______.16.已知橢圓的下頂點(diǎn)為,若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,則當(dāng)_____時,外心的橫坐標(biāo)最大.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)點(diǎn)P是橢圓上異于短軸端點(diǎn)A,B的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作軸于Q,線段PQ的中點(diǎn)為M.直線AM與直線交于點(diǎn)N,D為線段BN的中點(diǎn),設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷以O(shè)D為直徑的圓與點(diǎn)M的位置關(guān)系.18.(12分)如圖,在四面體中,.(1)求證:平面平面;(2)若,二面角為,求異面直線與所成角的余弦值.19.(12分)已知函數(shù),且.(1)若,求的最小值,并求此時的值;(2)若,求證:.20.(12分)已知集合,集合.(1)求集合;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;(2)設(shè)bn=an?3n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.22.(10分)已知函數(shù),.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)的極小值;(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】逐一考查所給的函數(shù):,該函數(shù)為偶函數(shù),周期;將函數(shù)圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象,該函數(shù)的周期為;函數(shù)的最小正周期為;函數(shù)的最小正周期為;綜上可得最小正周期為的所有函數(shù)為①②③.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛:求三角函數(shù)式的最小正周期時,要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯誤.一般地,經(jīng)過恒等變形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.2、A【解析】
考慮既屬于又屬于的集合,即得.【詳解】.故選:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得,故選C4、C【解析】
利用復(fù)數(shù)模與除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】解:,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的模,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
過點(diǎn)做正方形邊的垂線,如圖,設(shè),利用直線三角形中的邊角關(guān)系,將用表示出來,根據(jù),列方程求出,進(jìn)而可得正方形的邊長.【詳解】過點(diǎn)做正方形邊的垂線,如圖,設(shè),則,,則,因?yàn)?,則,整理化簡得,又,得,.即該正方形的邊長為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系,關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形,是中檔題.6、D【解析】
先設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對稱性可得,在表示出面積,由圖象遏制,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的頂點(diǎn)時,此時面積最大,再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可求解.【詳解】由題意,設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)對稱性可得,則的面積為,當(dāng)最大時,的面積最大,由圖象可知,當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上下頂點(diǎn)時,此時的面積最大,又由,可得橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為,所以的面積的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì),以及三角形面積公式的應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.7、D【解析】
本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理,建立關(guān)于a與c的等式,計(jì)算離心率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪圖,結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO,而,結(jié)合四邊形對角線平分,可得四邊形為平行四邊形,結(jié)合,故對三角形運(yùn)用余弦定理,得到,而結(jié)合,可得,,代入上式子中,得到,結(jié)合離心率滿足,即可得出,故選D.【點(diǎn)睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì),難度偏難.8、A【解析】
根據(jù)約束條件畫出可行域,再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式,找到截距的最小值.【詳解】由約束條件,畫出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線,為在軸的截距,最小的時候?yàn)檫^點(diǎn)的時候,解得所以,此時故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù),屬于常規(guī)題型,是簡單題.9、C【解析】
求得等比數(shù)列的公比,然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)比例關(guān)系求得會旗中五環(huán)所占面積,再計(jì)算比值.【詳解】設(shè)會旗中五環(huán)所占面積為,由于,所以,故可得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型的問題求解,屬基礎(chǔ)題.11、B【解析】
利用雙曲線的定義和條件中的比例關(guān)系可求.【詳解】.選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率,離心率求解時,一般是把已知條件,轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系式.12、B【解析】
變形為,由得,轉(zhuǎn)化在中,利用三點(diǎn)共線可得.【詳解】解:依題:,又三點(diǎn)共線,,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數(shù).思路是(1)先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.(2)直線的向量式參數(shù)方程:三點(diǎn)共線?(為平面內(nèi)任一點(diǎn),)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:由三角函數(shù)定義知,又由誘導(dǎo)公式知,所以答案應(yīng)填:.考點(diǎn):1、三角函數(shù)定義;2、誘導(dǎo)公式.14、【解析】
求出在上的對稱軸,依據(jù)對稱性可得的值;由可得,依據(jù)可求出的值.【詳解】解:令,解得因?yàn)?,所以關(guān)于對稱.則.由,則由可知,,又因?yàn)?,所以,則,即故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸,考查了誘導(dǎo)公式,考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯點(diǎn)在于沒有正確判斷的取值范圍,導(dǎo)致求出.在求的對稱軸時,常用整體代入法,即令進(jìn)行求解.15、【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,將已知條件等式轉(zhuǎn)化為關(guān)系式,求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)的基本量運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
由已知可得、的坐標(biāo),求得的垂直平分線方程,聯(lián)立已知直線方程與橢圓方程,求得的垂直平分線方程,兩垂直平分線方程聯(lián)立求得外心的橫坐標(biāo),再由導(dǎo)數(shù)求最值.【詳解】如圖,由已知條件可知,不妨設(shè),則外心在的垂直平分線上,即在直線,也就是在直線上,聯(lián)立,得或,的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則的垂直平分線方程為,把代入上式,得,令,則,由,得(舍)或.當(dāng)時,,當(dāng)時,.當(dāng)時,函數(shù)取極大值,亦為最大值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值,是中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)點(diǎn)在以為直徑的圓上【解析】
(1)根據(jù)題意列出關(guān)于,,的方程組,解出,,的值,即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn),,則,,求出直線的方程,進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo),再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)的坐標(biāo),下面結(jié)合點(diǎn)在橢圓上證出,所以點(diǎn)在以為直徑的圓上.【詳解】(1)由題意可知,,解得,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.(2)設(shè)點(diǎn),,則,,直線的斜率為,直線的方程為:,令得,,點(diǎn)的坐標(biāo)為,,點(diǎn)的坐標(biāo)為,,,,又點(diǎn),在橢圓上,,,,點(diǎn)在以為直徑的圓上.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程,考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式,以及平面向量的基本知識,屬于中檔題.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取中點(diǎn)連接,得,可得,可證,可得,進(jìn)而平面,即可證明結(jié)論;(2)設(shè)分別為邊的中點(diǎn),連,可得,,可得(或補(bǔ)角)是異面直線與所成的角,,可得,為二面角的平面角,即,設(shè),求解,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)證明:取中點(diǎn)連接,由則,則,故,,平面,又平面,故平面平面(2)解法一:設(shè)分別為邊的中點(diǎn),則,(或補(bǔ)角)是異面直線與所成的角.設(shè)為邊的中點(diǎn),則,由知.又由(1)有平面,平面,所以為二面角的平面角,,設(shè)則在中,從而在中,,又,從而在中,因,,因此,異面直線與所成角的余弦值為.解法二:過點(diǎn)作交于點(diǎn)由(1)易知兩兩垂直,以為原點(diǎn),射線分別為軸,軸,軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),由,易知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為則顯然向量是平面的法向量已知二面角為,設(shè),則設(shè)平面的法向量為,則令,則由由上式整理得,解之得(舍)或,因此,異面直線與所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,證明平面與平面垂直,考查空間角,涉及到二面角、異面直線所成的角,做出空間角對應(yīng)的平面角是解題的關(guān)鍵,或用空間向量法求角,意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.19、(1)最小值為,此時;(2)見解析【解析】
(1)由已知得,法一:,,根據(jù)二次函數(shù)的最值可求得;法二:運(yùn)用基本不等式構(gòu)造,可得最值;法三:運(yùn)用柯西不等式得:,可得最值;(2)由絕對值不等式得,,又,可得證.【詳解】(1),法一:,,的最小值為,此時;法二:,,即的最小值為,此時;法三:由柯西不等式得:,,即的最小值為,此時;(2),,又,.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用基本不等式,柯西不等式,絕對值不等式進(jìn)行不等式的證明和求解函數(shù)的最值,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域,即可求出結(jié)論;(2)化簡集合,根據(jù)確定集合的端點(diǎn)位置,建立的不等量關(guān)系,即可求解.【詳解】(1)由,即得或,所以集合或.(2)集合,由得或,解得或,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算,集合間的關(guān)系求參數(shù),考查函數(shù)的定義域,屬于基礎(chǔ)題.21、(1).(2)【解析】
(1)先設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知條件可列出關(guān)于d的方程,解出d的值,即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,然后運(yùn)用錯位相減法計(jì)算前n項(xiàng)和Tn.【詳解】(1)由題意,設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),則a4a5=(1+3d)(1+4d)=11,整理,得12d2+7d﹣10=0,解得d(舍去),或d,∴an=1(n﹣1),n∈N*
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