高考概率問(wèn)題的衍生與馬爾可夫鏈專(zhuān)題講義-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高考概率問(wèn)題的衍生與馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈?zhǔn)嵌韲?guó)數(shù)學(xué)家AndreyAndreyevichMarkov(18561922)研究并提出的一種數(shù)學(xué)方法，是用來(lái)解釋自然變化的一般規(guī)律模型，該數(shù)學(xué)方法可以說(shuō)是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)、語(yǔ)音識(shí)別方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.在高中，馬爾可夫鏈實(shí)際上就是一類(lèi)特殊的數(shù)列遞推問(wèn)題，最大的難點(diǎn)在于理解題意以及尋找遞推式.賭徒問(wèn)題（隨機(jī)游走）例1：(2023·杭州市二模/湖南師大附中三模T21)馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型,也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．

其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…Xt2,Xt1,Xt,Xt+1…,那么Xt+1時(shí)刻的狀態(tài)的條體概率僅依賴(lài)前一狀態(tài)Xt，即P(Xt+1|…Xt2,Xt1,Xt)=P(Xt+1|Xt)．現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科大鏈，例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進(jìn)入賭場(chǎng)參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%，每局賭贏可以贏得1元,每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?/p>

50%，賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會(huì)一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會(huì)結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元,即賭徒輸光;一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為A(A∈N*,A<B)，賭博過(guò)程如圖的數(shù)軸所示．

當(dāng)賭徒手中有n元(0≤n≤B,n∈N)時(shí),最終輸光的概率為P（n），請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出

P(0)與P（B）的數(shù)值;(2）證明{P（n）}是

個(gè)等差數(shù)列，并寫(xiě)出公差d；

(3）當(dāng)A=100時(shí)，分別計(jì)算B=200，B=1000時(shí)，P（A）的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)B→+∞時(shí),P（A）的統(tǒng)計(jì)含義.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出

P(0)與P（B）的數(shù)值;我們來(lái)理解一下問(wèn)題在說(shuō)什么：一個(gè)賭徒拿著A元去賭博，50%輸?shù)粢辉稚系谋窘鹁椭挥蠥1元，贏得話(huà)就A+1元，不妨優(yōu)先考慮一些極端情況：①如果一開(kāi)始就是0元的本金，那他就是一開(kāi)始就是輸光的狀態(tài)，所以他輸?shù)母怕?/p>

P(0)=1②如果一開(kāi)始就是B元的本金，那他一開(kāi)始就已經(jīng)贏到目標(biāo)錢(qián)數(shù)，所以輸?shù)母怕?/p>

P(0)=0(2）證明{P（n）}是

個(gè)等差數(shù)列，并寫(xiě)出公差d；考慮一些常規(guī)情況,手上有未知的本金n元，我們令n=10，手上有10元，他輸光的概率就是

P(10)

，同時(shí)這也是一種所處的狀態(tài),這個(gè)

P(10)

的狀態(tài)，可以是由P(9)

的狀態(tài)贏了一局后得到的，也可以是由

P(11)

的狀態(tài)輸了一局得到的,公式表為P這樣子我們可以得到一個(gè)更普遍的遞推式也許會(huì)有同學(xué)會(huì)問(wèn)為什么不可以由

的狀態(tài)或者別的狀態(tài)到達(dá)P（n）嗎？其實(shí)也是可以的，最后化出來(lái)的式子是隔項(xiàng)的遞推式，經(jīng)過(guò)變形推導(dǎo)也能得到上述式子，但是為了方便我們一般都是取最近的狀態(tài)研究，我們來(lái)推導(dǎo)一下它的通項(xiàng)：2P易知

{P（n）}為等差數(shù)列，令公差為d，則有P0+Bd=(3）當(dāng)A=100時(shí)，分別計(jì)算B=200，B=1000時(shí)，P（A）的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)B→+∞時(shí),P（A）的統(tǒng)計(jì)含義.在這里我們可以看到，如果你的目標(biāo)錢(qián)數(shù)B如果趨于

+∞

時(shí)，你輸光的概率將趨近于1即百分百，事實(shí)上，如果拓展到更廣的范圍，你輸光為0仍然不收手繼續(xù)賭博，仍然要達(dá)到目標(biāo)B，最后你很有可能會(huì)先負(fù)債B；也就是說(shuō)，在公平游戲的情況下，也會(huì)趨于“久賭必輸”，更何況現(xiàn)實(shí)中的賭博往往是不公平的（莊家贏的概率較大）；所以我們要控制自己的欲望,不要參與賭博.例2：（2020·岳陽(yáng)市一模T21）某產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場(chǎng)以來(lái)，生產(chǎn)企業(yè)為確保產(chǎn)品質(zhì)量，決定邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)Z時(shí)，產(chǎn)品為優(yōu)等品；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為一等品；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為二等品.第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)在該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取500件，繪制了這500件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Z的條形圖.用隨機(jī)抽取的500件產(chǎn)品作為樣本，估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量情況，并用頻率估計(jì)概率.（1）①?gòu)脑撈髽I(yè)生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，求該產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；②X元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）商場(chǎng)為推廣此款產(chǎn)品，現(xiàn)面向意向客戶(hù)推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng).客戶(hù)可根據(jù)拋硬幣的結(jié)果，操控機(jī)器人在方格上行進(jìn)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是12，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、……、第50格.機(jī)器人開(kāi)始在第0格，客戶(hù)每擲一次硬幣，機(jī)器人向前移動(dòng)一次，若擲出正面，機(jī)器人向前移動(dòng)一格（從k到k+1），若擲出反面，機(jī)器人向前移動(dòng)兩格（從k到k+2），直到機(jī)器人移到第49格（勝利大本營(yíng)）或第50格（參與n格的概率為.①投擲三次硬幣后，設(shè)機(jī)器人所在格數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望;②求Pn的表達(dá)式并解釋此方案能否吸引顧客購(gòu)買(mǎi)該款產(chǎn)品.解析：（1）①.根據(jù)條形圖可知，優(yōu)等品的頻率為121+87+42500=12，用頻率估計(jì)概率，可得任取一件產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率．

②.由①任取一件產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為12，由題意求出檢測(cè)出3件或4件為優(yōu)等品時(shí)以及檢測(cè)出的優(yōu)等品低于3件時(shí)的X的值進(jìn)而得出P（X=47000）或P（X=39000）．可得X的分布列，即可得出數(shù)學(xué)期望E（X）=41500．

（2）機(jī)器人在第0格為必然事件，P0=1，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，機(jī)器人移到第1格，其概率P1=12．機(jī)器人移到第n（2≤n≤49）格的情況只有兩種：①先到第n2格，又出現(xiàn)反面，其概率12Pn2，②先到第n1格，又出現(xiàn)正面，其概率12Pn1．可得Pn=12PPnPn1=12（Pn1Pn2），1≤n≤49時(shí)，數(shù)列{PnPn1}為首項(xiàng)P1P0=12，公比為12的等比數(shù)列馬爾可夫鏈(MarkovChains)我們可以看到，上述問(wèn)題的解決，是在一個(gè)當(dāng)前的狀態(tài)下，去判斷前一個(gè)狀態(tài)和后一個(gè)狀態(tài)與該狀態(tài)的聯(lián)系，從而找到遞推式，過(guò)程中的每個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移只依賴(lài)于在此之前的n個(gè)狀態(tài)，這個(gè)過(guò)程被稱(chēng)為n階馬爾可夫模型（其中n是影響轉(zhuǎn)移狀態(tài)的數(shù)目），最簡(jiǎn)單的馬爾科夫過(guò)程就是一階過(guò)程，每一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移只依賴(lài)于其之前的那一個(gè)狀態(tài)，這也是后面很多模型的討論基礎(chǔ).很多時(shí)候，題目中的馬爾科夫鏈、隱馬爾可夫模型都是只討論一階模型，甚至很多文章就將一階模型稱(chēng)之為馬爾可夫模型，實(shí)際上我們知道一階模型只是一種特例而已.傳球問(wèn)題中的馬爾可夫模型例3：三人互相傳球，由甲開(kāi)始發(fā)球，并作為第一次傳球，每人得球后傳球給其他人的可能性均相等.經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．8種 C．10種 D．16種【答案】C【解析】根據(jù)題意，作出樹(shù)狀圖，第四次球不能傳給甲，由分步加法計(jì)數(shù)原理可知：經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有10種，這個(gè)問(wèn)題解決起來(lái)不算麻煩，可以看做是一個(gè)排列組合問(wèn)題下的分支，但是一旦參與的人數(shù)變多或者傳球次數(shù)增加，那么列舉法就會(huì)顯得捉襟見(jiàn)肘，所以我們不妨把這類(lèi)問(wèn)題做一個(gè)引申和推廣.（例3升級(jí)Plus版本）：甲乙丙丁4人傳接球訓(xùn)練，球從甲腳下開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向其余3人中的1人，接球者接到球后，再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，依此類(lèi)推.假設(shè)所有傳出的球都能接住.記第n次傳球之前，球在甲腳下的概率為Pn

(n∈N?)

，易知

P1=1

，P2=0.

(1)推導(dǎo)Pn

的表達(dá)式；

(2)設(shè)第n次傳球之前，球在乙腳下的概率為Qn

,比較Qn

與Pn

(

n≥3

)的大小;并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)n→+∞時(shí),Pn

與Qn

的統(tǒng)計(jì)含義;(3)假設(shè)經(jīng)歷了6次傳球后，球依舊在甲的腳下，請(qǐng)問(wèn)共有多少種不同的傳球路徑？分析第一個(gè)問(wèn)題球在甲腳下，概率為

Pn

，這個(gè)概率是受上一個(gè)持球者影響的：如果上一個(gè)持球者還是甲，那球傳出去后，只能是其它三人接球，下一個(gè)持球者就不可能是甲，所以從上一個(gè)甲持球的狀態(tài)，到現(xiàn)在還是甲持球的狀態(tài)，轉(zhuǎn)移概率為0；如果上一個(gè)持球者不是甲，而是乙丙丁三人中的隨便一個(gè)人，那么球傳出去后，有

13可能給到甲，即轉(zhuǎn)移概率為

綜上公式可以描述為Pn=0·Pn1+13·(1-P經(jīng)過(guò)變形也能構(gòu)造出等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)分析第二個(gè)問(wèn)題易得乙的遞推也類(lèi)似甲，唯一不同的是初始概率.得到，接下來(lái)就是做差比較，最后分奇數(shù)和偶數(shù)討論大小.這里我們觀察一下通項(xiàng)

，隨著n越來(lái)越大，意思是傳球的次數(shù)越來(lái)越多，球在甲、乙手上的概率會(huì)趨于一個(gè)定值14，又因?yàn)樗膫€(gè)人是等可能地隨機(jī)傳球，所以每個(gè)人接到球的可能性會(huì)逐漸相等.分析第三個(gè)問(wèn)題球在甲腳下的概率可以計(jì)算得到，所有傳球路徑總的可能數(shù)為36，四個(gè)人是等可能地隨機(jī)傳球，所有路徑均為等可能性，使其相乘即為不同的傳球路徑的數(shù)量，易知答案為183種.例4：（2023·惠州一模T22改編）為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校開(kāi)學(xué)后，食堂從開(kāi)學(xué)第一天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞停ㄍ虏垡幌禄葜輰W(xué)生命真苦啊……）.已知某同學(xué)每天中午會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?/p>

23

，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?/p>

14

，前一天選擇面食套餐后一天繼續(xù)選擇面食套餐的概率為

12

，如此往復(fù).

(1)求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕?

(2)記該同學(xué)第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?/p>

Pn;

(i)求Pn表達(dá)式；

(ii)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，Pn

≤512

；并結(jié)合實(shí)際，說(shuō)明當(dāng)n→+∞時(shí),P高考中的馬爾可夫鏈問(wèn)題(2019·全國(guó)1·理T21)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問(wèn)題,約定:對(duì)于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.(1)求X的分布列;(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=1),b=P(X=0),c=P(X=1).假設(shè)α=0.5,β=0.8.(ⅰ)證明:{pi+1pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;(ⅱ)求p4,并根據(jù)p4的值來(lái)解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.【解析】(1)X的所有可能取值為1,0,1.P(X=1)=(1α)β,P(X=0)=αβ+(1α)(1β),P(X=1)=α(1β).所以X的分布列為X101P(1α)βαβ+(1α)(1β)α(1β)(2)(ⅰ)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pii1pii+1,故0.1(pi+1pi)=0.4(pipi1),即pi+1pi=4(pipi1).又因?yàn)閜1p0=p1≠0,所以{pi+1pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4,首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列.(ⅱ)由(ⅰ)可得p8=p8p7+p7p6+…+p1p0+p0=(p8p7)+(p7p6)+…+(p1p0)=48-1由于p8=1,故p1=34所以p4=(p4p3)+(p3p2)+(p2p1)+(p1p0)=44-13pp4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計(jì)算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時(shí),認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4=1257此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小,說(shuō)明這種試驗(yàn)方案十分合理.思考：pi=api1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)這個(gè)公式怎么來(lái)的？一維隨機(jī)游走模型：設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時(shí)刻t=0時(shí)，位于點(diǎn)x=i（i∈N+），下一個(gè)時(shí)刻，它將以概率α或者β(α，β∈（0,1），且α+β=1)向左或者向右平移一個(gè)單位．若記狀態(tài)Xt=i表示：在時(shí)刻t該點(diǎn)位于位置x=i（i∈N+），那么由全概率公式可得：

P(Xt+1=i）=P(Xt=i1）?P(Xt+1=i|Xt=i1）+P(Xt=i+1）?P(Xt+1=i|Xt=i+1）

另一方面，由于P(Xt+1=i|Xt=i+1）=α,P(Xt+1=i|Xt=i1）=β;

代入上式可得：Pi=α?Pi+1+β?Pi1

進(jìn)一步，我們假設(shè)在x=0與x=m(m＞0,m∈N+)處各有一個(gè)吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)被吸收，不再游走．于是,P0=0,Pm=1.隨機(jī)游走模型是一個(gè)典型的馬爾科夫過(guò)程,進(jìn)一步，若點(diǎn)在某個(gè)位置后有三種情況：向左平移一個(gè)單位，其概率為a，原地不動(dòng)，其概率為b，向右平移一個(gè)單位，其概率為c,那么根據(jù)全概率公式可得：

pi=api+1+bpi+cpi1(2020·全國(guó)Ⅰ卷T19)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先12（1）求甲連勝四場(chǎng)的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.【解析】（1）甲連勝四場(chǎng)的概率為116（2）根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽．比賽四場(chǎng)結(jié)束，共有三種情況：甲連勝四場(chǎng)的概率為116；乙連勝四場(chǎng)的概率為1丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為18．所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為1（3）丙最終獲勝，有兩種情況：比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為18比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場(chǎng)開(kāi)始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為116，18，18思考：這里主要研究第三問(wèn)，事實(shí)上，本題是一個(gè)典型的馬爾可夫鏈模型，其具有馬爾可夫性質(zhì):即一個(gè)隨機(jī)過(guò)程在給定現(xiàn)在狀態(tài)及所有過(guò)去狀態(tài)情況下，其未來(lái)狀態(tài)的條件概率分布僅依賴(lài)于當(dāng)前狀態(tài).對(duì)于這種滿(mǎn)足馬爾科夫性質(zhì)的隨機(jī)事件，其概率或者期望，采用馬爾科夫鏈公式，能夠極大地簡(jiǎn)化計(jì)算.具體如下：（基本就是降維打擊）設(shè)第一輪比賽的負(fù)者最終獲勝概率為P1=，第一輪比賽的勝者與丙最終獲勝概率均為P2，故有P1+P2+P2=1，解得P2=.再來(lái)看兩個(gè)例子，①：甲、乙兩人輪流拋硬幣（質(zhì)地均勻），約定甲先拋，誰(shuí)先拋出正面獲勝，問(wèn)甲獲勝的概率是多少?法一：數(shù)列通項(xiàng)求極限法二：概率遞推設(shè)甲最終獲勝概率為P，分兩種情況：第一種情況，第一輪甲拋出正面，概率為12第二種情況，第一輪甲拋出反面，概率為12，則相當(dāng)于比賽重新進(jìn)行，只是由乙先拋，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知此時(shí)乙獲勝概率為P，甲獲勝概率為1P.因此，我們有P=12+12(1P),②：（2017清華大學(xué)自主招生T12）投擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，當(dāng)出現(xiàn)兩次正面向上即停止，求總投擲次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.法一：數(shù)學(xué)期望定義+函數(shù)與數(shù)列方法（需要無(wú)窮級(jí)數(shù)知識(shí)）記隨機(jī)變量X表示總投擲次數(shù)，下面計(jì)算P(X=k)；總共投擲k次結(jié)束，說(shuō)明第k次投擲的結(jié)果為正面，前k?1次中恰有一次為正面．不難利用古典概型推出，P(X=k)=(k?1)·．接下來(lái)使用無(wú)窮級(jí)數(shù)求和去解決極限收斂問(wèn)題(需要一些極限知識(shí))法二：采用數(shù)學(xué)期望性質(zhì)+馬爾科夫鏈思路求解：設(shè)投擲硬幣直到出現(xiàn)兩次正面這件事為X．將這個(gè)事情分成兩件事：1.投擲硬幣，直到第一次出現(xiàn)正面，記此時(shí)投擲X1次；2.到第一次出現(xiàn)正面后，重新計(jì)算．投擲硬幣，直到再一次出現(xiàn)正面，記此時(shí)投擲X2次．投擲硬幣是一個(gè)獨(dú)立問(wèn)題，這一次的正反不會(huì)影響后面投擲時(shí)的正反．因此不難得出E(X1)=E(X2)=2.(同樣的概率模型可以用在彩票上,如果說(shuō)某個(gè)彩票的大獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率為1%，從理論上來(lái)說(shuō)，買(mǎi)上100張彩票，就可以中一次大獎(jiǎng)了，即E(ξ)=1p,p為一次試驗(yàn)成功的概率由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)，得E(X)=E(X1)+E(X2)=4．思考:如果此題改為“投擲一枚質(zhì)量均勻的硬幣，當(dāng)出現(xiàn)連續(xù)兩次正面向上即停止，求總投擲次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.”該如何解決？(2020·江蘇T23)甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn，恰有2個(gè)黑球的概率為pn，恰有1個(gè)黑球的概率為qn．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn與2pn1+qn1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示)．(2023·新高考Ⅰ卷T21)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E(Y)．(1)分類(lèi)，第一次投籃是甲的話(huà)，到第二次投籃還是甲的轉(zhuǎn)移概率為0.6；第一次是乙的話(huà)，到第二次投籃還是乙的轉(zhuǎn)移概率為0.8，即

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