專題24.8切線的性質（限時滿分培優(yōu)訓練）-【拔尖特訓】2023-2024學年九年級數學上冊尖子生培優(yōu)必刷題（解析版）【人教版】

【拔尖特訓】2023-2024學年九年級數學上冊尖子生培優(yōu)必刷題（人教版）主題24.8切線的性質（限時滿分培優(yōu)訓練）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分100分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022秋?綏中縣期末）下列結論正確的是（）A．圓的切線垂直于半徑 B．圓心角等于圓周角的2倍 C．圓內接四邊形的對角互補 D．平分弦的直徑垂直于這條弦【答案】C【分析】分別根據垂徑定理、圓周角定理及圓內接四邊形的性質對各選項進行逐一分析即可．【解答】解：A、圓的切線垂直于過切點的半徑，故本選項錯誤；B、在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，故本選項錯誤；C、符合圓內接四邊形的性質，故本選項正確；D、平分弦的直徑垂直該弦（非直徑），故本選項錯誤．故選：C．【點評】本題考查的是切線的性質，圓內接四邊形的性質，熟知切線的性質和圓內接四邊形的對角互補是解答此題的關鍵．2．（2023?邵陽模擬）如圖，已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為31°，過點C的切線與AB的延長線交于點P，則∠P的度數是（）A．24° B．25° C．28° D．31°【答案】C【分析】先由PC為⊙O的切線得出∠PCO＝90°，再用等腰三角形性質求出∠ACO＝∠PAC＝31°，最后利用三角形內角和即可求解．【解答】解：∵PC為⊙O的切線，連接OC，∴∠PCO＝90°，∵OA＝OC，則∠ACO＝∠PAC＝31°，在△ACP中，∠P＝180°﹣31°﹣31°﹣90°＝28°．故選：C．【點評】本題是考查圓的切線的性質、等腰三角形性質、三角形內角和的綜合運用能力．3．（2023?岳麓區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，直線EC切⊙O于B點，若∠DBC＝α，則（）A．∠A＝90°﹣α B．∠A＝α C．∠ABD＝α D．∠ABD＝90°-1【答案】B【分析】由直線EC是⊙O的切線，根據切線的性質可得：AB⊥EC，繼而求得∠ABD＝90°﹣α，又由AB是⊙O的直徑，根據圓周角定理，即可求得∠D＝90°，繼而可得∠A＝∠DBC＝α．【解答】解：∵直線EC是⊙O的切線，∴AB⊥EC，∴∠ABC＝90°，即∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠ABD＝90°﹣α，∵AB是⊙O的直徑，∴∠D＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∴∠A＝∠DBC＝α．故選：B．【點評】此題考查了切線的性質與圓周角定理．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．4．（2023?南崗區(qū)校級模擬）如圖，AB為⊙O的切線，切點為點A，BO交⊙O于點C，點D在⊙O上，若∠ABO的度數是32°，則∠ADC的度數是（）A．29° B．30° C．32° D．45°【答案】A【分析】先根據切線的性質求出∠AOC的度數，由圓周角定理即可解答．【解答】解：∵AB切⊙O于點A，∴OA⊥AB，∵∠ABO＝32°，∴∠AOB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ADC=12∠AOB=12故選：A．【點評】本題考查了圓的切線性質、圓心角和圓周角的關系及解直角三角形的知識，熟記切線的性質是解題的關鍵．5．（2023?宿遷模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，CD切⊙O于點C，交AB的延長線于點D，且CO＝CD，則∠A的度數為（）A．45° B．30° C．22.5° D．37.5°【答案】C【分析】因為∠COD＝∠A+∠OCA，∠A＝∠COA，所以求出∠COD即可解決問題．【解答】解：∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵CO＝CD，∴∠COD＝∠D＝45°，∵OA＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠COD＝∠OAC+∠OCA＝45°，∴∠A＝22.5°．故選：C．【點評】本題考查切線的性質，等腰直角三角形的性質，三角形的外角的性質，熟練掌握這些性質是解決問題的關鍵．6．（2022秋?海港區(qū)校級月考）如圖，已知直線l的解析式是y=43x-4，并且與x軸、y軸分別交于A，B兩點．一個半徑為1.5的⊙C，圓心C從點（0，1.5）開始以每秒移動0.5個單位長度的速度沿著y軸向下運動，當⊙CA．3s或6s B．6s或10s C．3s或16s D．6s或16s【答案】D【分析】先求得AB兩點的坐標，再分兩種情況：圓心C在點B上方和下方，可證出△BDE∽△BOA，△BFG∽△BAO，根據相似三角形的性質，求得BE，BF，再根據圓的移動速度，求出移動的時間．【解答】解：令x＝0，得y＝﹣4；令y＝0，解得x＝3；∴A（3，0），B（0，﹣4），∴AB＝5，∵DE⊥l，GF⊥l，∴△BDE∽△BOA，△BFG∽△BAO，∴DEOA=BE即1.53=BE解得BE＝2.5，BF＝2.5，∴圓移動的距離為3或8，∵圓心C從點（0，1.5）開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運動，∴移動的時間為6s或16s．故選：D．【點評】本題是一道關于一次函數的綜合題，考查了切線的性質和一次函數的圖象與幾何變換，掌握分類討論思想是解此題的關鍵．7．（2023?石家莊模擬）已知PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點，點C是⊙O上不同于點A、點B的一個動點，若∠P＝54°，則∠ACB的度數是（）A．63° B．117° C．53°或127° D．117°或63°【答案】D【分析】連接OA，OB，根據切線的性質得到∠OAP＝∠OBP＝90°，進而求出∠AOB，根據圓周角定理、圓內接四邊形的性質計算，得到答案．【解答】解：連接OA，OB，∵PA、PB是⊙O的切線，∴OA⊥AP，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠APB＝54°，∴∠AOB＝126°，當C在優(yōu)弧ACB上時，∠ACB=12∠AOB＝當C′在弧AB上時，∠AC′B＝180°﹣∠ACB＝117°，則∠ACB的度數為63°或117°，故選：D．【點評】本題考查的是切線的性質、圓周角定理、圓內接四邊形的性質，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．8．（2021秋?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，連接OD、BD，過點D作⊙O的切線交BA延長線于點C，若∠C＝40°，則∠B的度數為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】C【分析】根據切線的性質得到∠CDO＝90°，求得∠COD＝90°﹣40°＝50°，根據等腰三角形的性質和三角形外角的性質即可得到結論．【解答】解：∵CD是⊙O的切線，∴∠CDO＝90°，∵∠C＝40°，∴∠COD＝90°﹣40°＝50°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∵∠COD＝∠B+∠ODB，∴∠B=12∠COD故選：C．【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，三角形外角的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．9．（2021?西湖區(qū)校級二模）如圖，點A的坐標為（﹣3，2），⊙A的半徑為1，P為坐標軸上一動點，PQ切⊙A于點Q，在所有P點中，使得PQ長最小時，點P的坐標為（）A．（0，2） B．（0，3） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0）【答案】D【分析】連接AQ、PA，如圖，利用切線的性質得到∠AQP＝90°，再根據勾股定理得到PQ=AP2-1，則AP⊥x軸時，【解答】解：連接AQ、PA，如圖，∵PQ切⊙A于點Q，∴AQ⊥PQ，∴∠AQP＝90°，∴PQ=A當AP的長度最小時，PQ的長度最小，∵AP⊥x軸時，AP的長度最小，∴AP⊥x軸時，PQ的長度最小，∵A（﹣3，2），∴此時P點坐標為（﹣3，0）．故選：D．【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了垂線段最短．10．（2022秋?西華縣期末）如圖，已知⊙P的半徑是1，圓心P在拋物線y＝（x﹣2）2上運動，且⊙P與坐標軸相切時，滿足題意的⊙P有幾個．（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①和x軸相切，②和y軸相切，求出縱坐標和橫坐標，即可得出選項．【解答】解：①和x軸相切，∵則半徑為1的⊙P與x軸相切，∴P的縱坐標為：±1，若P的縱坐標為1，則1＝（x﹣2）2，解得：x1＝3，x2＝1，∴點P的坐標為：（，3，1）或（1，1）；若P的縱坐標為﹣1，﹣1＝（x﹣2）2，此時方程無解；②和y軸相切，∵則半徑為1的⊙P與y軸相切，∴P的橫坐標為：±1，若P的橫坐標為1，則y＝1，即點的坐標為（1，1），若P的橫坐標為﹣1，則y＝（﹣1﹣2）2＝9，即點的坐標為（﹣1，9），所以有3個不同的點，故選：C．【點評】此題考查了切線的性質以及二次函數的圖象上點的性質．注意根據題意得到P的縱坐標或橫坐標為±1是關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2023?海南模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，PA交⊙O于點C，AB＝3，PB＝4，則BC＝125【答案】125【分析】先根據圓周角定理得到∠ACB＝90°，再根據切線的性質得到∠ABP＝90°，則利用勾股定理可計算出AP，然后利用面積法計算BC的長．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵PB是⊙O的切線，∴AB⊥PB，∴∠ABP＝90°，在Rt△ABP中，∵AB＝3，PB＝4，∴AP=32∵12BC?AP=12AB∴BC=3×4故答案為：125【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理．12．（2022秋?興縣期末）如圖，AB是⊙O的弦，BD是⊙O的切線，OD與AB相交A于與點E，且OD⊥OA，若OA＝6cm，OE＝3cm，則DB的長度等于92cm【答案】92【分析】證明△DEB是等腰三角形，DE＝DB，設DB＝DE＝x，根據勾股定理得x2+62＝（x+3）2，解得x=92，則DB長度等于【解答】解：連接OB∵AO＝BO＝6cm，∴∠BAO＝∠ABO，∵DB⊥BO，DO⊥AO，∴∠DBA+∠ABO＝90°∠EAO+∠AEO＝90°，∴∠DBA＝∠AEO．∵∠AEO＝∠DEB，∴∠DEB＝∠DBE，∴△DEB是等腰三角形，DE＝DB，設DB＝DE＝xcm，根據勾股定理得x2+62＝（x+3）2，解得x=9故答案為：92【點評】此題考查了等腰三角形的判定和性質，勾股定理，掌握等腰三角形和勾股定理的知識是解題關鍵．13．（2023?靖江市模擬）如圖，CB為⊙O的切線，點B為切點，CO的延長線交⊙O于點A，若∠A＝25°，則∠C的度數是40°.【答案】見試題解答內容【分析】連接OB，根據切線的性質可得∠OBC＝90°，再根據圓周角定理可得∠BOC＝50°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余進行計算，即可解答．【解答】解：連接OB，∵CB為⊙O的切線，點B為切點，∴∠OBC＝90°，∵∠A＝25°，∴∠BOC＝2∠A＝50°，∴∠C＝90°﹣∠BOC＝40°，故答案為：40°．【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．14．（2023?賓陽縣一模）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點P，則∠P的度數是40°．【答案】40°．【分析】利用圓周角定理，切線的性質定理和三角形的內角和定理解答即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，∴OA⊥PA，∴∠PAB＝90°，∵∠B=12∠AOC，∠ABC＝∴∠AOC＝50°，∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠AOC＝40°．故答案為：40°．【點評】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線的性質定理，熟練掌握上述定理是解題的關鍵．15．（2021?泰州）如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（8，5），⊙A與x軸相切，點P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點B．若∠APB＝30°，則點P的坐標為（0，11）．【答案】見試題解答內容【分析】連接AB，過點A分別作AC⊥x軸、AD⊥y軸，利用根據圓的切線性質可知△PAB、△AOC為直角三角形，AB＝AC＝5，利用直角三角形中30°角的性質和勾股定理分別求出AP、AD的長度，進而求出OD、PD的長度即可求得答案．【解答】解：過點A分別作AC⊥x軸于點C、AD⊥y軸于點D，連接AB，當點P在點D是上方時，如圖，∵AD⊥y軸，AC⊥x軸，∴四邊形ADOC為矩形，∴AC＝OD，OC＝AD，∵⊙A與x軸相切，∴AC為⊙A的半徑，∵點A坐標為（8，5），∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，∵PB是切線，∴AB⊥PB，∵∠APB＝30°，∴PA＝2AB＝10，在Rt△PAD中，根據勾股定理得，PD=PA∴OP＝PD+DO＝11，∵點P在y軸的正半軸上，∴點P坐標為（0，11），故答案為：（0，11）．【點評】本題考查了圓的切線的性質、矩形的判定和性質、勾股定理等知識，解題關鍵是把所求的線段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圓的切線作半徑．16．（2021?涼山州）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，⊙C的半徑為3，P為AB邊上一動點，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為3．【答案】3．【分析】連接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如圖，根據等邊三角形的性質得到AB＝CB＝4，∠BCH=12∠ACB=12×60°＝30°，根據直角三角形的性質得到BH=12AB＝2，CH=32BC=32×4＝23，由切線的性質得到【解答】解：連接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如圖，∵等邊三角形ABC的邊長為4，∴AB＝CB＝4，∠BCH=12∠ACB=1∴BH=12AB＝2，CH=32BC=3∵PQ為⊙C的切線，∴CQ⊥PQ，在Rt△CPQ中，PQ=C∵點P是AB邊上一動點，∴當點P運動到H點時，CP最小，即CP的最小值為23，∴PQ的最小值為12-3=3故答案為：3．【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．也考查了等邊三角形的性質．三、解答題（本大題共7小題，共52分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2022秋?荔灣區(qū)校級期末）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，AC是⊙O的直徑，∠BAC＝25°．求∠P的度數．【答案】見試題解答內容【分析】根據切線性質得出PA＝PB，∠PAO＝90°，求出∠PAB的度數，得出∠PAB＝∠PBA，根據三角形的內角和定理求出即可．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵AC是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，∴AC⊥AP，∴∠CAP＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣25°＝65°，∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝180°﹣65°﹣65°＝50°．【點評】本題考查了切線長定理，切線性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的性質的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，題目具有一定的代表性，難度適中，熟記切線的性質定理是解題的關鍵．18．（2023?槐蔭區(qū)模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，⊙O的切線BD交OC的延長線于點D．（1）求證：∠DBC＝∠OCA；（2）若∠BAC＝30°，AC＝2．求CD的長．【答案】（1）見解答；（2）23【分析】（1）根據切線的性質得到∠OBD＝∠OBC+∠DBC＝90°，再根據圓周角定理得到∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°，加上∠OBC＝∠OCB，于是利用等量代換得到結論；（2）利用含30度的直角三角形三邊的關系得到CB=233，然后證明∠D＝∠CBD＝30°得到CD【解答】（1）證明：∵DB是⊙O的切線，∴BD⊥AB，∴∠OBD＝∠OBC+∠DBC＝90°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝90°．∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB．∴∠DBC＝∠OCA；（2）解：在Rt△ACB中，∵∠A＝30°，AC＝2，∴CB=33AC∵∠A＝30°，∴∠COB＝2∠A＝60°，∴∠D＝90°﹣∠COB＝30°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°．∴∠DBC＝∠OCA＝30°，∴∠D＝∠DBC．∴CB＝CD．∴CD=2【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了圓周角定理．19．（2023?西安一模）如圖，AB為⊙O的直徑，OD為⊙O的半徑，⊙O的弦CD與AB相交于點F，⊙O的切線CE交AB的延長線于點E，EF＝EC．（1）求證：OD垂直平分AB；（2）若⊙O的半徑長為3，且BF＝BE，求OF的長．【答案】（1）見解析；（2）1．【分析】（1）連接OC，根據切線的性質可得∠OCF+∠ECF＝90°，然后根據等邊對等角，等量代換求出∠ODF+∠OFD＝90°，證得OD⊥AB即可；（2）設BF＝BE＝x，則EC＝EF＝2x，OE＝3+x，在Rt△OCE中，利用勾股定理構建方程求出x，然后根據OF＝OB﹣BF計算得出答案．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，∵CE切⊙O于點C，∴OC⊥CE，∴∠OCF+∠ECF＝90°，∵OC＝OD，EF＝EC，∴∠OCF＝∠ODF，∠ECF＝∠EFC，又∵∠OFD＝∠EFC，∴∠ODF+∠OFD＝90°，∴∠DOF＝90°，∴OD⊥AB，∵OA＝OB，∴OD垂直平分AB；（2）解：設BF＝BE＝x，則EC＝EF＝2x，OE＝3+x，在Rt△OCE中，OC2+CE2＝OE2，∴32+（2x）2＝（3+x）2，解得：x1＝2，x2＝0（舍去），∴OF＝OB﹣BF＝3﹣2＝1．【點評】本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理以及解一元二次方程，熟知圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．20．（2023?永壽縣二模）如圖，AB為⊙O的直徑，DE切⊙O于點E，BD⊥DE于點D，交⊙O于點C，連接BE．（1）求證：BE平分∠ABC；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的長．【答案】（1）證明見解答．（2）CD的長為2．【分析】（1）由DE切⊙O于點E知OE⊥ED，結合BD⊥DE于點D知OE∥BD，從而得∠OEB＝∠EBD＝∠OBE，即可得證；（2）作DEEM⊥AB，由（1）中角平分線知ED＝EM，連接AC，證四邊形CHDF是矩形可得DE＝CF=12AC，根據勾股定理求得AC，進而求出【解答】解：（1）如圖，∵DE切⊙O于點E，∴OE⊥ED，∵BD⊥DE，∴OE∥BD，∴∠OEB＝∠EBD，∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠EBD＝∠OBE，∴BE平分∠ABC；（2）連接AC，過點E作EM⊥AB于點M，∵BE平分∠ABD，∴ED＝EM，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACD＝∠D＝∠DEF＝90°，∴四邊形CDEF是矩形，∴DE＝CF=12∵AB＝10，BC＝6，∴AC=AB則EM＝ED＝CF＝AF=12AC＝∴OF=OA∴EF＝OE﹣OF＝2，∴CD＝EF＝2．【點評】本題主要考查切線的性質、圓周角定理、垂徑定理及矩形的判定和性質，熟練掌握切線的性質、圓周角定理、垂徑定理等知識點是解題的關鍵．21．（2023?鏡湖區(qū)校級二模）如圖，△ABC內接于⊙O，AB＝AC，BD為⊙O的弦，且AB∥CD，過點A作⊙O的切線AE與DC的延長線交于點E，AD與BC交于點F．（1）求證：∠EAC＝∠ADC（2）若AB＝4，BC＝6，求DC的長．【答案】（1）見解答；（2）5．【分析】（1）作直徑AM，連接CM，如圖，先根據切線的性質得到∠EAM＝90°，根據圓周角定理得到∠ACM＝90°，則利用等角的余角相等得到∠EAC＝∠M，然后利用圓周角定理得到∠M＝∠ADC，從而得到∠EAC＝∠ADC；（2）先證明AB=AC，則根據垂徑定理得到AM⊥BC，所以BC∥AE，再證明四邊形ABCE為平行四邊形得到AE＝BC＝6，CE＝AB＝4，接著證明△EAC∽△EDA，然后利用相似比求出ED，從而得到【解答】（1）證明：作直徑AM，連接CM，如圖，∵AE為⊙O的切線，∴AE⊥AM，∴∠EAM＝90°，∵AM為直徑，∴∠ACM＝90°，∵∠EAC+∠CAM＝90°，∠M+∠CAM＝90°，∴∠EAC＝∠M，∵∠M＝∠ADC，∴∠EAC＝∠ADC；（2）解：∵AB＝AC，∴AB=∴AM⊥BC，而AM⊥AE，∴BC∥AE，∵AB∥CD，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AE＝BC＝6，CE＝AB＝4，∵∠EAC＝∠EDA，∠AEC＝∠DEA，∴△EAC∽△EDA，∴EA：ED＝EC：EA，即6：ED＝4：6，解得ED＝9，∴CD＝ED﹣EC＝9﹣4＝5．【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質．22．（2022秋?合川區(qū)期末）如圖，O為正方形ABCD對角線BD上一點，以O為圓心，OB長為半徑的⊙O分別與邊AD，CD相切于點E，F(xiàn)，連接OE，OF．（1）求證：AE＝CF；（2）若⊙O的半徑為2-2，求正方形ABCD【答案】（1）見解析；（2）1．【分析】（1）根據一組