數系的擴充與復數的概念

數系的擴充與復數的概念數系的擴充自然數整數有理數實數NZQR用圖形表示包含關系：復習回顧？請分別在我們學過的整數集、有理數集、實數集中解下列方程。

探討:知識引入對于一元二次方程沒有實數根．我們已知知道：我們能否將實數集進行擴充，使得在新的數集中，該問題能得到圓滿解決呢？思考？引入一個新數：滿足

現在我們就引入這樣一個數

i

，把

i

叫做虛數單位，并且規(guī)定：

（1）i2

1；

（2）實數可以與

i

進行四則運算，在進行四則運算時，原有的加法與乘法的運算率(包括交換率、結合率和分配率)仍然成立。

思考:對于實數b（b≠0）與虛數單位i相乘，得bi.提問：bi為什么不是實數？而是一個新數？形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數.全體復數所形成的集合叫做復數集，一般用字母C表示

.實部復數的代數形式：通常用字母

z

表示，即虛部其中稱為虛數單位復數集C和實數集R之間有什么關系？討論？復數a+bi練一練：1.說明下列數中，那些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數，并指出復數的實部與虛部。5-8，102、判斷下列命題是否正確：（1）若a、b為實數，則Z=a+bi為虛數（2）若b為實數，則Z=bi必為純虛數（3）若a為實數，則Z=a一定不是虛數例1實數m取什么值時，復數

是（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？解:（1）當，即時，復數z是實數．（2）當，即時，復數z是虛數．（3）當即時，復數z是純虛數．關健是什么？找準復數的實部與虛部，根據復數的分類列出方程或不等式組。練1.實數m取什么值時，復數z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i(1)是實數？(2)純虛數？(3)零？解：(1)當m2-5m-6=0時，即m=6或m=-1時，z為實數(2)當時，m2-3m-4=0m2-5m-6

0即m=4時，z為純虛數(3)當時，m2-3m-4=0m2-5m-6=0即m=-1時，z為零注意:兩個實數可以比較大小。但兩個復數，如果不全是實數，就不能比較它們的大小。例如1+i與3+5i就不能比較大小。兩個復數能比較大小嗎？例2已知，其中求解：根據復數相等的定義，得方程組解得如果兩個復數的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等．2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求實數x的值.1、若x，y為實數，且求x，y的值；練習：小結:1.虛數單位i的引入；2.復數有關概念：復數的代數形式:復數的實部、虛部復數相等虛數、純虛數結論：1-1B數因需要而發(fā)展{有理數}={分數}={循環(huán)小數}{實數}={小數}負數在古代人看來，沒有就表示最少了，最少就用“零”表示，沒有比零更小的數了，可是負數不但表示沒有，而且意味著比沒有還要少，這是怎么回事呢？中國人認識負數比世界上任何一個國家的民族都要早得多.我國在西漢時代就會用負數，當時的人用紅色算籌表示正數，用黑色算籌表示負數.

系統(tǒng)地論述負數，我國也是世界上最早的.在東漢初編成的《九章算術》內，就已記載了正、負數的相反意義，還提出了正、負數的加減法則.

“較大數與較小數的比可能等于較小數與較大數的比嗎?

直到17世紀,法國數學家笛卡兒引進坐標系后,負數獲得了幾何解釋,負數在方程中去得了合理地位.無理數公元前500年，古希臘畢達哥拉斯(Pythagoras)學派的弟(Hippasus)發(fā)現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的.這一不可公度性與畢氏學派“萬物皆為數”(指有理數)的哲理大相徑庭。這一發(fā)現使該學派領導人惶恐、惱怒，認為這將動搖他們在學術界的統(tǒng)治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處。

畢氏弟子的發(fā)現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明它不能同連續(xù)的無限直線同等看待，有理數并沒有布滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經后人證明簡直多得“不可勝數”。于是，古希臘人把有理數視為連續(xù)銜接的那種算術連續(xù)統(tǒng)的設想徹底地破滅了。不可公度量的發(fā)現連同著名的芝諾悖論一同被稱為數學史上的第一次危機.無理數

15世紀意大利著名畫家達.芬奇稱之為“無理的數”，17世紀德國天文學家開普勒稱之為“不可名狀”的數。

然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派抹殺真理才是“無理”。人們?yōu)榱思o念希勃索斯這位為真理而獻身的可敬學者，就把不可通約的量取名為“無理數”——這便是“無理數”的由來?！皬蛿怠?、“虛數”這兩個名詞，都是人們在解方程時引入的。為了用公式求一元二次、三次方程的根，就會遇到求負數的平方根的問題。1545年，意大利數學家卡丹諾（GirolamoCardano,1501年~1576年）在《大術》一書中，首先研究了虛數，并進行了一些計算。1572年，意大利數學家邦別利（RafaclBombclli,1525年~1650年）正式使用“實數”“虛數”這兩個名詞。此后，德國數學家萊布尼茲（GottfriedWilbclmLcibniz,1646年~1716年）、瑞士數學家歐拉（LeonhardEuler,1707年~1783年）和法國數學家棣莫佛（AbrabamdeMoivre,1667年~1754年）等又研究了虛數與對數函數、三角函數等之間的關系，除解方程以外，還把它用于微積分等方面，得出很多有價值的結果，使某些比較復雜的數學問題變得簡單而易于處理。大約在1777年，歐拉第一次用i來表示-1的平方根，1832年，德國數學家高斯（CarlFricdrichGauss,1777年~1855年）第一次引入復數概念，一個復數可以用a＋bi來表示，其中a，b是實數，i代表虛數單位