數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念數(shù)系的擴(kuò)充自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)NZQR用圖形表示包含關(guān)系：復(fù)習(xí)回顧？請(qǐng)分別在我們學(xué)過的整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集中解下列方程。

探討:知識(shí)引入對(duì)于一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．我們已知知道：我們能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？思考？引入一個(gè)新數(shù)：滿足

現(xiàn)在我們就引入這樣一個(gè)數(shù)

i

，把

i

叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定：

（1）i2

1；

（2）實(shí)數(shù)可以與

i

進(jìn)行四則運(yùn)算，在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法與乘法的運(yùn)算率(包括交換率、結(jié)合率和分配率)仍然成立。

思考:對(duì)于實(shí)數(shù)b（b≠0）與虛數(shù)單位i相乘，得bi.提問：bi為什么不是實(shí)數(shù)？而是一個(gè)新數(shù)？形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母C表示

.實(shí)部復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：通常用字母

z

表示，即虛部其中稱為虛數(shù)單位復(fù)數(shù)集C和實(shí)數(shù)集R之間有什么關(guān)系？討論？復(fù)數(shù)a+bi練一練：1.說明下列數(shù)中，那些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)，并指出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。5-8，102、判斷下列命題是否正確：（1）若a、b為實(shí)數(shù)，則Z=a+bi為虛數(shù)（2）若b為實(shí)數(shù)，則Z=bi必為純虛數(shù)（3）若a為實(shí)數(shù)，則Z=a一定不是虛數(shù)例1實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)

是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？解:（1）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)．（2）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)．（3）當(dāng)即時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．關(guān)健是什么？找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，根據(jù)復(fù)數(shù)的分類列出方程或不等式組。練1.實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i(1)是實(shí)數(shù)？(2)純虛數(shù)？(3)零？解：(1)當(dāng)m2-5m-6=0時(shí)，即m=6或m=-1時(shí)，z為實(shí)數(shù)(2)當(dāng)時(shí)，m2-3m-4=0m2-5m-6

0即m=4時(shí)，z為純虛數(shù)(3)當(dāng)時(shí)，m2-3m-4=0m2-5m-6=0即m=-1時(shí)，z為零注意:兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小。但兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較它們的大小。例如1+i與3+5i就不能比較大小。兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小嗎？例2已知，其中求解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組解得如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求實(shí)數(shù)x的值.1、若x，y為實(shí)數(shù)，且求x，y的值；練習(xí)：小結(jié):1.虛數(shù)單位i的引入；2.復(fù)數(shù)有關(guān)概念：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部復(fù)數(shù)相等虛數(shù)、純虛數(shù)結(jié)論：1-1B數(shù)因需要而發(fā)展{有理數(shù)}={分?jǐn)?shù)}={循環(huán)小數(shù)}{實(shí)數(shù)}={小數(shù)}負(fù)數(shù)在古代人看來，沒有就表示最少了，最少就用“零”表示，沒有比零更小的數(shù)了，可是負(fù)數(shù)不但表示沒有，而且意味著比沒有還要少，這是怎么回事呢？中國人認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)比世界上任何一個(gè)國家的民族都要早得多.我國在西漢時(shí)代就會(huì)用負(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)的人用紅色算籌表示正數(shù)，用黑色算籌表示負(fù)數(shù).

系統(tǒng)地論述負(fù)數(shù)，我國也是世界上最早的.在東漢初編成的《九章算術(shù)》內(nèi)，就已記載了正、負(fù)數(shù)的相反意義，還提出了正、負(fù)數(shù)的加減法則.

“較大數(shù)與較小數(shù)的比可能等于較小數(shù)與較大數(shù)的比嗎?

直到17世紀(jì),法國數(shù)學(xué)家笛卡兒引進(jìn)坐標(biāo)系后,負(fù)數(shù)獲得了幾何解釋,負(fù)數(shù)在方程中去得了合理地位.無理數(shù)公元前500年，古希臘畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派的弟(Hippasus)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長度是不可公度的.這一不可公度性與畢氏學(xué)派“萬物皆為數(shù)”(指有理數(shù))的哲理大相徑庭。這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處。

畢氏弟子的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明它不能同連續(xù)的無限直線同等看待，有理數(shù)并沒有布滿數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡直多得“不可勝數(shù)”。于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹底地破滅了。不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同著名的芝諾悖論一同被稱為數(shù)學(xué)史上的第一次危機(jī).無理數(shù)

15世紀(jì)意大利著名畫家達(dá).芬奇稱之為“無理的數(shù)”，17世紀(jì)德國天文學(xué)家開普勒稱之為“不可名狀”的數(shù)。

然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希勃索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名為“無理數(shù)”——這便是“無理數(shù)”的由來?！皬?fù)數(shù)”、“虛數(shù)”這兩個(gè)名詞，都是人們?cè)诮夥匠虝r(shí)引入的。為了用公式求一元二次、三次方程的根，就會(huì)遇到求負(fù)數(shù)的平方根的問題。1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡丹諾（GirolamoCardano,1501年~1576年）在《大術(shù)》一書中，首先研究了虛數(shù)，并進(jìn)行了一些計(jì)算。1572年，意大利數(shù)學(xué)家邦別利（RafaclBombclli,1525年~1650年）正式使用“實(shí)數(shù)”“虛數(shù)”這兩個(gè)名詞。此后，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（GottfriedWilbclmLcibniz,1646年~1716年）、瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler,1707年~1783年）和法國數(shù)學(xué)家棣莫佛（AbrabamdeMoivre,1667年~1754年）等又研究了虛數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等之間的關(guān)系，除解方程以外，還把它用于微積分等方面，得出很多有價(jià)值的結(jié)果，使某些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單而易于處理。大約在1777年，歐拉第一次用i來表示-1的平方根，1832年，德國數(shù)學(xué)家高斯（CarlFricdrichGauss,1777年~1855年）第一次引入復(fù)數(shù)概念，一個(gè)復(fù)數(shù)可以用a＋bi來表示，其中a，b是實(shí)數(shù)，i代表虛數(shù)單位