《建筑力學(xué)》-李前程-第十一章 梁和結(jié)構(gòu)的位移

建筑力學(xué)主講單位：力學(xué)教研室

（十一）1第十一章梁和結(jié)構(gòu)的位移第一節(jié)概述第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分第四節(jié)單位荷載法第三節(jié)疊加法第五節(jié)圖乘法第六節(jié)線彈性體的互等定理第七節(jié)結(jié)構(gòu)的剛度校核2第一節(jié)概述本章研究微小、彈性變形情況下,靜定梁和靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算。計(jì)算位移的目的:2.為超靜定構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析提供預(yù)備知識(shí)。1.建立剛度條件,確保構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的變形符合使用要求;舉例分析：x

wBA取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，梁變形前的軸線為x軸，橫截面鉛垂對(duì)稱軸為w

軸，x

w

平面為縱向?qū)ΨQ平面。FCC'3第一節(jié)概述x

wBAFCC'1.度量梁變形后橫截面位移的兩個(gè)基本量（1）撓度（w）：橫截面形心C在垂直于

x

軸方向的線位移，稱為該截面的撓度。wC

撓度（2）轉(zhuǎn)角（

）：橫截面對(duì)其原來(lái)位置的角位移，稱為該截面的轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角

C2.撓度和轉(zhuǎn)角符號(hào)的規(guī)定撓度：向下為正，向上為負(fù)。轉(zhuǎn)角：自x

轉(zhuǎn)至切線方向，順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。

C4第一節(jié)概述x

wBAFCC'3.撓曲線:梁變形后的軸線稱為撓曲線。wC

撓度轉(zhuǎn)角

C4.撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系

C撓曲線撓曲線方程為式中：x

為梁變形前軸線上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)，w

為該點(diǎn)的撓度。小變形情況下:即撓曲線上任意點(diǎn)的斜率為該點(diǎn)處橫截面的轉(zhuǎn)角。研究梁的彎曲變形時(shí),只要求出撓曲線方程,任意橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角便都已確定。5第一節(jié)概述思考：如何求結(jié)構(gòu)的位移？求彎曲變形的方法不適用！求結(jié)構(gòu)的位移采用單位荷載法！及圖乘法！6第一節(jié)概述

5.梁的位移分析的工程意義(1)齒輪傳動(dòng)輪齒不均勻磨損，噪聲增大，產(chǎn)生振動(dòng)；加速軸承磨損，降低使用壽命；若變形過(guò)大，使傳動(dòng)失效。變形帶來(lái)的弊端：12127第一節(jié)概述

5.梁的位移分析的工程意義(2)繼電器中的簧片當(dāng)變形足夠大時(shí)，可以有效接通電路；當(dāng)變形不夠大時(shí)，不能有效接通電路；觸點(diǎn)簧片工程中，一方面要限制變形，另一方面要利用變形。電磁力8一、梁的撓曲線近似微分方程第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分純彎曲時(shí)梁撓曲線上一點(diǎn)的曲率表達(dá)式：推廣到橫力彎曲時(shí)（剪力存在時(shí)）：數(shù)學(xué)中的曲率公式整理得:9一、梁的撓曲線近似微分方程第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分與1相比十分微小而可以忽略不計(jì),故上式可近似為:去掉絕對(duì)值符號(hào)則:10第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分MMMMM>0Oxw討論與M(x)正、負(fù)關(guān)系：OxwM<0結(jié)論：與M(x)總是相反關(guān)系！梁的撓曲線近似微分方程為：11第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程為：思考近似的原因？1.略去了剪力的影響;2.略去了

項(xiàng)。求解上述微分方程,即可得出撓曲線方程,從而求得撓度和轉(zhuǎn)角。12第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分二、撓曲線近似微分方程的積分若為等截面直梁,其抗彎剛度EI

為一常量。上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程:再積分一次，得撓度方程:——重積分法求得撓度方程式中:C、D

是積分常數(shù)，由梁撓曲線上的已知變形條件確定。梁撓曲線的邊界條件和連續(xù)條件13第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分1.撓曲線的邊界條件ABAB在簡(jiǎn)支梁中，左右兩鉸支座處的撓度wA

和wB

都應(yīng)等于零。wA=0wB

=0在懸臂梁中，固定端處的撓度wＡ和轉(zhuǎn)角

A

都應(yīng)等于零。wA=0

A=014第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分2.撓曲線的連續(xù)條件AB在撓曲線的任一點(diǎn)上，有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角?！?錯(cuò))AB×(錯(cuò))ABFCwC左=wC右

C左=

C右撓曲線的連續(xù)條件15第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分補(bǔ)充例題1:邊界條件:wA=0

A=0連續(xù)條件:wB左=wB右

B左=

B右補(bǔ)充例題2:B處的連續(xù)條件？BwB左=wB右

B左≠

B右16qAB第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分[例題11-2]一承受均布荷載的等截面簡(jiǎn)支梁如圖所示,梁的彎曲剛度為EI,求梁的最大撓度及B

截面的轉(zhuǎn)角。解:1.確定梁的約束力2.建立梁的彎矩方程3.建立梁的撓曲線近似微分方程4.對(duì)微分方程一次積分，得轉(zhuǎn)角方程:x5.再對(duì)轉(zhuǎn)角方程一次積分，得撓度方程:17qAB第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分[例題11-2]一承受均布荷載的等截面簡(jiǎn)支梁如圖所示,梁的彎曲剛度為EI,求梁的最大撓度及B

截面的轉(zhuǎn)角。解:x6.利用邊界條件確定積分常數(shù)當(dāng)x=0時(shí)，wA=0當(dāng)x=l

時(shí)，wB=0分別代入轉(zhuǎn)角與撓度方程，得積分常數(shù)：7.給出轉(zhuǎn)角方程和撓度方程：18qAB第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分[例題11-2]一承受均布荷載的等截面簡(jiǎn)支梁如圖所示,梁的彎曲剛度為EI,求梁的最大撓度及B

截面的轉(zhuǎn)角。解:x7.給出轉(zhuǎn)角方程和撓度方程：8.求最大撓度和截面B轉(zhuǎn)角：在跨中x=l/2時(shí)，有最大撓度：

x=l

時(shí)，截面B轉(zhuǎn)角：

Bx19FAB第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分[例題11-3]圖示簡(jiǎn)支梁,受集中荷載F作用，梁的彎曲剛度為EI,

試求C

截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角。解:x1xCw1.確定梁的約束力2.分段建立梁的彎矩方程：AC段：CB段：x23.建立梁的撓曲線近似微分方程:AC段：CB段：20FAB第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分[例題11-3]圖示簡(jiǎn)支梁,受集中荷載F作用，梁的彎曲剛度為EI,

試求C

截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角。解:x1xCwx24.分別積分，得轉(zhuǎn)角與撓度方程:AC段：CB段：21FAB第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分[例題11-3]圖示簡(jiǎn)支梁,受集中荷載F作用，梁的彎曲剛度為EI,

試求C

截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角。解:x1xCwx25.利用邊界條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù):(1)邊界條件在x=0處，在x=l

處，(2)D點(diǎn)的連續(xù)條件在x1=x2=a

處，(3)代入方程，解得積分常數(shù)：22FAB第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分[例題11-3]圖示簡(jiǎn)支梁,受集中荷載F作用，梁的彎曲剛度為EI,

試求C

截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角。解:x1xCwx26.給出轉(zhuǎn)角方程和撓度方程：AC段：CB段：23FAB[例題11-3]圖示簡(jiǎn)支梁,受集中荷載F作用，梁的彎曲剛度為EI,

試求C

截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角。解:x1xCwx27.求指定截面轉(zhuǎn)角和撓度值：C截面撓度：A截面轉(zhuǎn)角：x1=a

，或

x2

=ax1=0,思考：最大撓度發(fā)生在哪里?結(jié)論：在簡(jiǎn)支梁中,不論它受什么荷載作用,只要撓曲線上無(wú)拐點(diǎn),其最大撓度值都可用梁跨中點(diǎn)處的撓度值來(lái)代替,其精確度是能滿足工程要求的。答:C處。第二節(jié)梁的撓曲線近似微分方程及其積分24第三節(jié)疊加法疊加原理：梁的變形微小，且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，梁在幾項(xiàng)荷載（可以是集中力,集中力偶或分布力）

同時(shí)作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，就分別等于每一荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。當(dāng)每一項(xiàng)荷載所引起的撓度為同一方向（如均沿y

軸方向),其

轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)(如均在xy

平面內(nèi))時(shí),

則疊加就是代數(shù)和,這就是疊加原理。需要求出梁指定截面的位移時(shí),采用疊加法是方便的。25第三節(jié)疊加法表11-1幾種常用梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的位移26第三節(jié)疊加法表11-1幾種常用梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的位移27第三節(jié)疊加法表11-1幾種常用梁在簡(jiǎn)單荷載作用下的位移28第三節(jié)疊加法[例11–4]圖所示簡(jiǎn)支梁,承受均布荷載q

和集中力F

作用,梁的彎曲剛度為EI。試用疊加法求跨中撓度及A截面的轉(zhuǎn)角。解:‖+29第三節(jié)疊加法[例11–5]圖示懸臂梁,梁的彎曲剛度為EI，試求C截面的撓度。解:=+CF30小結(jié)1.描述構(gòu)件和結(jié)構(gòu)上各橫截面的位移是：2.對(duì)彎曲變形的構(gòu)件,可建立撓曲線近似微分方程,通過(guò)積分運(yùn)算求出：線位移(撓度)、角位移(轉(zhuǎn)角)兩個(gè)基本量。轉(zhuǎn)角θ(x)和撓度w(x)。關(guān)鍵步驟：（1）正確地寫(xiě)出彎矩方程；（2）正確地運(yùn)用邊界條件和變形連續(xù)條件確定積分常數(shù)。3.變形體力學(xué)中重要的基本概念之一是:“變形位能在數(shù)值上等于外力在變形過(guò)程中所作的功”?！獑挝缓奢d法是