初中數(shù)學八年級上冊《12.3角的平分線的性質(zhì)》教學課件

12.3角的平分線的性質(zhì)一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。oBCA12什么是角平分線？如圖OC即為∠AOB的平分線。角平分線具有哪些性質(zhì)呢？導(dǎo)入新課角的平分線的性質(zhì)想一想

如圖,是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.ECADB你能說明它的道理嗎?新課講解E證明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）CADB新課講解

AＢＭＮＣ⑶作射線OC。射線OC即為所求.0尺規(guī)作已知角的平分線作法:⑴以O(shè)為圓心,任意長為半徑作弧,交OA于M,交OB于N.新課講解探究任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC上任取一點P，過點P畫出OA和OB的垂線，分別記垂足為D，E，PD和PE有什么關(guān)系？DPEAOBCPD=PE你能結(jié)合三角形全等的知識證明這個結(jié)論嗎？新課講解

已知：OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E.求證：PD=PE.DPEAOBC證明：∵OC是∠AOB的平分線∴∠1=∠2∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO∵OP=OP∴△OPD≌△OPE(AAS).∴PD=PE12新課講解探究再在OC上任取一點Q、R，過點Q、R畫出OA和OB的垂線，分別記垂足為F、H和J、K，QE與QH、RJ與RK分別有什么關(guān)系？DPEAOBCQF=QH你能總結(jié)出角的平分線的性質(zhì)嗎？RJ=RKQRJFHK新課講解角的平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。AOBPEDPD⊥OA，PE⊥OB∵OP平分∠AOB∴PD=PE.用符號表示為：新課講解BADOPEC定理應(yīng)用所具備的條件：

（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；

（3）垂直距離。定理的作用：

證明線段相等。新課講解證明幾何命題的一般步驟：1、明確命題的已知和求證；2、根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；3、經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。新課講解如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于D，若CD=3cm，則點D到AB的距離DE是多少？∵BD是∠ABC的平分線，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3cm，∴DE=3cm．ACBDE證明：過D作DE⊥AB于E，利用角平分線性質(zhì)的必備條件，缺一不可牛刀小試要在Ｓ區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處５００米，應(yīng)建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路思考角平分線的性質(zhì)應(yīng)建在角平分線上。新課講解DCS解：作夾角的角平分線OC，500米=50000厘米，根據(jù)比例尺，圖上距離應(yīng)為2.5厘米，所有截取點D=2.5cm,點D即為所求。所有在角平分線上的點到角兩邊的距離都相等嗎？Ｏ新課講解P已知：如圖,PD⊥OA，PE⊥OB，點D、E為垂足，PD＝PE．求證：點P在∠AOB的平分線上。證明:經(jīng)過點P作射線OC∵

PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠PDO＝∠PEO＝90°在Rt△PDO和Rt△PEO中

PO＝PO

PD=PE

∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）

∴

∠POD＝∠POE∴點P在∠AOB的平分線上C新課講解PC

角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上?！逷D⊥OA，PE⊥OB，

PD＝PE．∴OP平分∠AOB．用數(shù)學語言表示為：角的平分線性質(zhì)的逆定理（角平分線的判定）新課講解∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE.同理，PE=PF.∴PD＝PE=PF.即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過點P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P。求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等。DPMNABCFE結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.新課講解證明線段相等的方法：全等三角形的對應(yīng)邊相等．角平分線的性質(zhì)定理等角對等邊等腰三角形的三線合一垂直平分線的性質(zhì)定理課堂小結(jié)1．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分線，DE⊥AB于E．已知AC=6cm，則BD+DE的和為（）A.5cmB.6cmC.7cmD.8cmB解：∵由角平分線的性質(zhì)可得DE=CD，求BD+DE的和，只要求BD+DC就可，由已知AC=BC=BD+CD答案可得．解答解：CD=DE，∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=6cm．故選B．鞏固提升2、如圖，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則三個結(jié)論①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）

A.全部正確B.僅①和②正確C.僅①正確D.僅①和③正確??B鞏固提升??解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，AP=AP∴△ARP≌△ASP（HL）∴AS=AR，∠RAP=∠SAP∵AQ=PQ∴∠QPA=∠SAP∴∠RAP=∠QPA∴QP∥AR而在△BPR和△QSP中，只滿足∠BRP=∠QSP=90°和PR=PS，找不到第3個條件，所以無法得出△BPR≌△QSP故本題僅①和②正確．故選B．鞏固提升223.如圖，O是△ABC內(nèi)一點，且O到三邊AB.BC.CA的距離OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=

.125°鞏固提升23

鞏固提升4.如圖，OC是∠AOB的角平分線，P是OC上點．PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F(xiàn)是OC上的另一點，連接DF，EF．求證：DF=EF．鞏固提升證明：∵OC是∠AOB的角平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．∠PDO=∠PEO=90°．在Rt△PDO和Rt△PEO中，

PO=POPD=PE，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），∴OD=OE，∠POD=∠POE．在△DOF和△EOF中，

OD=OE