考研數(shù)學(xué)-線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)(全)及例題

2010考研基礎(chǔ)班線性代數(shù)講義第一講基本概念線性代數(shù)的主要的基本內(nèi)容：線性方程組矩陣向量行列式等一．線性方程組的基本概念線性方程組的一般形式為: 其中未知數(shù)的個(gè)數(shù)n和方程式的個(gè)數(shù)m不必相等.線性方程組的解是一個(gè)n個(gè)數(shù),,…,構(gòu)成,它滿足:當(dāng)每個(gè)方程中的未知數(shù)都用替代時(shí)都成為等式.對(duì)線性方程組討論的主要問題兩個(gè):(1)判斷解的情況.線性方程組的解的情況有三種:無解,唯一解,無窮多解.如果兩條直線是相交的則有一個(gè)解；如果兩條直線是重合的則有無窮多個(gè)解；如果兩條直線平行且不重合則無解。(2)求解,特別是在有無窮多解時(shí)求通解.齊次線性方程組:的線性方程組.0,0,…,0總是齊次線性方程組的解,稱為零解.因此齊次線性方程組解的情況只有兩種:唯一解(即只要零解)和無窮多解(即有非零解).二.矩陣和向量1.基本概念矩陣和向量都是描寫事物形態(tài)的數(shù)量形式的發(fā)展.矩陣由數(shù)排列成的矩形表格,兩邊界以圓括號(hào)或方括號(hào),m行n列的表格稱為mn矩陣.這些數(shù)稱為他的元素,位于第i行j列的元素稱為(i,j)位元素.是一個(gè)23矩陣.對(duì)于上面的線性方程組,稱矩陣和為其系數(shù)矩陣和增廣矩陣.增廣矩陣體現(xiàn)了方程組的全部信息,而齊次方程組只用系數(shù)矩陣就體現(xiàn)其全部信息.2009年的一個(gè)題中,一個(gè)方程組的系數(shù)矩陣為,常數(shù)列為,則方程組為由n個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組稱為一個(gè)n維向量,稱這些數(shù)為它的分量.零矩陣:元素都是0的矩陣.零向量:分量都是0的向量.2.矩陣和向量的關(guān)系書寫中可用矩陣的形式來表示向量:寫成一行或?qū)懗梢涣?問題:(3,-2,1)和是不是一樣?作為向量它們并沒有區(qū)別,但是作為矩陣,它們不一樣(左邊是13矩陣,右邊是31矩陣).習(xí)慣上把它們分別稱為行向量和列向量.一個(gè)mn的矩陣的每一行是一個(gè)n維向量,稱為它的行向量;每一列是一個(gè)m維向量,稱為它的列向量.3.n階矩陣與幾個(gè)特殊矩陣nn的矩陣叫做n階矩陣.把n階矩陣的從左上到右下的對(duì)角線稱為它對(duì)角線.(其上的元素行號(hào)與列號(hào)相等.)下面列出幾類常用的n階矩陣:對(duì)角矩陣:對(duì)角線外的的元素都為0的n階矩陣.數(shù)量矩陣:對(duì)角線上的的元素都等于一個(gè)常數(shù)c的對(duì)角矩陣.單位矩陣:對(duì)角線上的的元素都為1的對(duì)角矩陣,記作E(或I).上三角矩陣:對(duì)角線下的的元素都為0的n階矩陣.下三角矩陣:對(duì)角線上的的元素都為0的n階矩陣.對(duì)稱矩陣:滿足矩陣.也就是對(duì)任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素總是相等的n階矩陣.問題:下列矩陣都是什么矩陣?①②③④⑤對(duì)角矩陣:①、②、⑤上三角矩陣:①、②、③、⑤下三角矩陣:①、②、⑤對(duì)稱矩陣:①、②、④、⑤三.線性運(yùn)算和轉(zhuǎn)置1.線性運(yùn)算是矩陣和向量所共有的.=1\*GB3①加(減)法:兩個(gè)mn的矩陣A和B可以相加(減),得到的和(差)仍是mn矩陣,記作A+B(A-B),法則為對(duì)應(yīng)元素相加(減).兩個(gè)同維數(shù)的向量可以相加(減),規(guī)則為對(duì)應(yīng)分量相加(減).=2\*GB3②數(shù)乘:一個(gè)數(shù)c與一個(gè)mn的矩陣A可以相乘,乘積仍為mn的矩陣,記作cA,法則為A的每個(gè)元素乘c.一個(gè)數(shù)c與一個(gè)n維向量可以相乘,乘積仍為n維向量,記作.法則為的每個(gè)元素乘c.向量組的線性組合:設(shè)，…，是一組n維向量,,,…,是一組數(shù),則稱為，…，的(以,,…,為系數(shù)的線性組合.例:求矩陣的列向量組的系數(shù)為1,1,1的線性組合.解:2.轉(zhuǎn)置把一個(gè)mn的矩陣A行和列互換,得到的nm的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置,記作.四.矩陣的初等變換和階梯形矩陣1.初等變換矩陣有初等行變換和初等列變換,它們各有3類.初等行變換:=1\*GB3①交換兩行的位置.=2\*GB3②用一個(gè)非0的常數(shù)乘某一行的各元素.=3\*GB3③把某一行的倍數(shù)加到另一行上.AB.2.階梯形矩陣:一個(gè)矩陣稱為階梯形矩陣,如果滿足:=1\*GB3①如果它有零行,非零行,則都零行在下,非零行在上.=2\*GB3②如果它有非零行,則每個(gè)非零行的第一個(gè)非0元素所在的列號(hào)自上而下嚴(yán)格單調(diào)上升.問題:對(duì)角矩陣,上三角矩陣,數(shù)量矩陣中,哪個(gè)一定是階梯形矩陣?一個(gè)n階的階梯形矩陣一定是上三角矩陣.問題:如果A是階梯形矩陣.(1)A去掉一行還是階梯形矩陣嗎?(2)A去掉一列還是階梯形矩陣嗎?3.簡單階梯形矩陣把階梯形矩陣的每個(gè)非零行的第一個(gè)非0元素所在的位置稱為臺(tái)角.簡單階梯形矩陣:是特殊的階梯形矩陣,滿足:=3\*GB3③臺(tái)角位置的元素為1.=4\*GB3④并且其正上方的元素都為0.4.用初等行變換把矩陣化為階梯形矩陣每個(gè)階梯形矩陣都可以用初等行變換化為簡單階梯形矩陣.每個(gè)矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣請(qǐng)注意:=1\*GB3①從階梯形矩陣化得簡單階梯形矩陣時(shí),臺(tái)角不改變.=2\*GB3②一個(gè)矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯一的,但是其非零行數(shù)和臺(tái)角位置是確定的.=3\*GB3③一個(gè)矩陣用初等行變換化得的簡單階梯形矩陣是唯一的. 4.線性方程組的矩陣消元法消元法原理:用同解變換化簡方程組然后求解.線性方程組的同解變換有三種:=1\*GB3①交換兩個(gè)方程的上下位置.=2\*GB3②用一個(gè)非0的常數(shù)乘某個(gè)方程.=3\*GB3③把某個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程上.反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換.矩陣消元法即用初等行變換化線性方程組的增廣矩陣為階梯形矩陣,再討論解的情況和求解.例:矩陣消元法步驟如下:(1)寫出方程組的增廣矩陣（），用初等行變換把它化為階梯形矩陣().(2)用()判別解的情況:如果最下面的非零行為(),則無解,否則有解.有解時(shí)看非零行數(shù)r(r不會(huì)大于未知數(shù)個(gè)數(shù)n),r=n時(shí)唯一解；r<n時(shí)無窮多解.(3)有唯一解時(shí)求解的初等變換法:去掉()的零行,得到一個(gè)n×(n+1)矩陣(),并用初等行變換把它化為簡單階梯形矩陣(),則就是解.就是解.,就是解.解為(1,0,2,-2).對(duì)齊次線性方程組:(1)寫出方程組的系數(shù)矩陣A,用初等行變換把它化為階梯形矩陣B.(2)用B判別解的情況:非零行數(shù)r=n時(shí)只有零解；r<n時(shí)有非零解(求解方法在第五章講).推論:當(dāng)方程的個(gè)數(shù)m<n時(shí),有非零解.第二講行列式1.形式和意義形式:用n2個(gè)數(shù)排列成的一個(gè)n行n列的表格,兩邊界以豎線,就成為一個(gè)n階行列式:(簡記為)意義:是一個(gè)算式,把這n2個(gè)元素按照一定的法則進(jìn)行運(yùn)算,得到的數(shù)值稱為這個(gè)行列式的值.請(qǐng)注意行列式和矩陣在形式上和意義上的區(qū)別.當(dāng)兩個(gè)行列式的值相等時(shí),就可以在它們之間寫等號(hào)!(不必形式一樣,甚至階數(shù)可不同.)每個(gè)n階矩陣A對(duì)應(yīng)一個(gè)n階行列式,記作.行列式的的核心問題是值的計(jì)算.一.定義(完全展開式)2階和3階行列式的計(jì)算公式:一般地,一個(gè)n階行列式=這里1．是許多(n!個(gè))項(xiàng)的代數(shù)和(在求和時(shí)每項(xiàng)先要乘+1或-1.)2.每一項(xiàng),都是n個(gè)元素的乘積,它們?nèi)∽圆煌?不同列.即列標(biāo)構(gòu)成1,2,…,n的一個(gè)全排列(稱為一個(gè)n元排列),共有n!個(gè)n元排列,每個(gè)n元排列對(duì)應(yīng)一項(xiàng),因此共有n!個(gè)項(xiàng).表示對(duì)所有n元排列求和.3.規(guī)定為全排列的逆序數(shù).稱12…n為自然序排列,如果不是自然序排列,就出現(xiàn)小數(shù)排在大數(shù)右面的現(xiàn)象,一對(duì)大小的數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.逆序數(shù)可如下計(jì)算:標(biāo)出每個(gè)數(shù)右面比它小的數(shù)的個(gè)數(shù),它們的和就是逆序數(shù).例如求436512的逆序數(shù):,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.用完全展開式求行列式的值一般來說工作量很大.只在有大量元素為0,使得只有少數(shù)項(xiàng)不為0時(shí),才可能用它作行列式的計(jì)算.例如下三角行列式對(duì)角行列式,上(下)三角行列式的值就等于對(duì)角線上的元素的乘積例求的和的系數(shù).解析：的系數(shù)是1；的系數(shù)是-10二.化零降階法1.余子式和代數(shù)余子式元素的余子式,是n把第i行和第j列劃去后所得到的n-1階行列式,記作.的代數(shù)余子式為.2.定理(對(duì)某一行或列的展開)行列式的值等于某行(列)的各元素與其代數(shù)余子式乘積之和.n=4,例如求3階行列式=(-3)A11+4A12+6A13=(-3)M11-4M12+6m3=(-3)(-5)-4(-18)+6(-10)=27.例解析：原式=1A11+tA1n=1+=1+例求行列式的第四行各元素的余子式的和.解析：所求為原式=將原行列式換為即他的值就是原題的余子式之和答案為-28（對(duì)第三行展開)3.命題第三類初等變換不改變行列式的值.08題.證明|A|=(n+1)an.分析：證明：初等變換4.化零降階法用命題把行列式的某一行或列化到只有一個(gè)元素不為0,再用定理.于是化為計(jì)算一個(gè)低1階的行列式.三.其它性質(zhì)行列式還有以下性質(zhì):3．把行列式轉(zhuǎn)置值不變,即.4．作第一類初等變換,行列式的值變號(hào).5．作第二類初等變換,行列式的值乘c.問題：；；；6．對(duì)一行或一列可分解,即如果某個(gè)行(列)向量，則原行列式等于兩個(gè)行列式之和,這兩個(gè)行列式分別是把原行列式的該行(列)向量換為或所得到的行列式.例如問題：例如：例設(shè)4階矩陣解：7.如果一個(gè)行(列)向量是另一個(gè)行(列)向量的倍數(shù),則行列式的值為0.8.某一行(列)的各元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和=0.例已知行列式的代數(shù)余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.解析：思路：利用性質(zhì)8拉普拉斯公式的一個(gè)特殊情形：如果A與B都是方陣(不必同階),則范德蒙行列式：形如的行列式(或其轉(zhuǎn)置).它由所決定,它的值等于因此范德蒙行列式不等于兩兩不同.對(duì)于元素有規(guī)律的行列式(包括n階行列式),常?？衫眯再|(zhì)簡化計(jì)算.四.克萊姆法則克萊姆法則當(dāng)線性方程組的方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n(即系數(shù)矩陣A為n階矩陣)時(shí).方程組有唯一解.此解為是把的第i個(gè)列向量換成常數(shù)列向量所得到的行列式.1.是方程組有唯一解的充分必要條件.問題:于是只用說明是方程組有唯一解的充分必要條件.2.實(shí)際上求解可用初等變換法:對(duì)增廣矩陣作初等行變換,使得A變?yōu)閱挝痪仃?；就是解.用在齊次方程組上:如果齊次方程組的系數(shù)矩陣A是方陣,則它只有零解的充分必要條件是.例設(shè)有方程組(1)證明此方程組有唯一解的充分必要條件為a,b,c兩兩不等.(2)在此情況求解.分析：證明：（1）由克萊姆法則法則可知故a,b,c兩兩不相等（2）五.典型例題例1①②③=4\*GB3④對(duì)角線上的元素都為0，其它元素都為1的n階行列式.②分析：解：①分析：與②同理④分析：類型一致③分析：把下面三行分別加到第一行例2解：所以值=15×125=1875例3解：例4證明分析：證明：歸納法：展開遞推再用歸納法證明之也可以：第三講矩陣二.矩陣方程和可逆矩陣(伴隨矩陣)1．兩種基本矩陣方程在等式AB=C中,如果已知C及A,B中的一個(gè),求另一個(gè).就提出下面兩種基本形式的矩陣方程:(=1\*ROMANI).(=2\*ROMANII).這里要求A是行列式不為0的n階矩陣,這樣可使得這兩個(gè)方程的解都是存在并且唯一的.先討論(=1\*ROMANI).設(shè)是矩陣，則也是矩陣.如果,即只有一列,則(=1\*ROMANI)就是一個(gè)線性方程組.由克萊姆法則知它有唯一解.此接可以用初等變換法求出:.如果，設(shè)則.即這是個(gè)線性方程組.由克萊姆法則,它們都有唯一解,從而有唯一解.這些方程組系數(shù)矩陣都是,可同時(shí)求解:即得(=1\*ROMANI)的解法:將和并列作矩陣,對(duì)它作初等行變換,使得變?yōu)閱挝痪仃?此時(shí)變?yōu)榻?例,.求的解(=2\*ROMANII)的解法:對(duì)兩邊轉(zhuǎn)置化為(=1\*ROMANI)的形式:.再用解(=1\*ROMANI)的方法求出,轉(zhuǎn)置得..2007年的一個(gè)題中,求3階矩陣,滿足,,.解:建立矩陣方程2.可逆矩陣(1)定義用乘等式兩邊.如果有,使得如果有,使得定義設(shè)是階矩陣,如果存在階矩陣,使得則稱為可逆矩陣.此時(shí)是唯一的,稱為的逆矩陣,通常記作.如果可逆,則在乘法中有消去律:(左消去律)；.(右消去律)如果可逆,則在乘法中可移動(dòng)(化為逆矩陣移到等號(hào)另一邊):..由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法:(=1\*ROMANI)的解.(=2\*ROMANII)的解.這種解法想法自然，好記憶,但是計(jì)算量比初等變換法大(多了一次矩陣乘積運(yùn)算).(2)矩陣可逆性的判別,逆矩陣的計(jì)算定理階矩陣可逆.證明“”對(duì)兩邊取行列式,得|,從而.(并且)“”定義中的是矩陣方程和的公共解.因?yàn)?矩陣方程和都有唯一解.設(shè)分別是它們的解,即.于是:,從定義得到可逆.是唯一的,因?yàn)樗墙?計(jì)算的初等變換法:解矩陣方程,.應(yīng)用:對(duì)角矩陣可逆對(duì)角線上元素都不為0.其逆矩陣也是對(duì)角矩陣,只用把每個(gè)對(duì)角線元素變?yōu)榈箶?shù).初等矩陣都是可逆矩陣,并且，推論如果和都是階矩陣,則.即只要(或)中的一個(gè)式子成立,則和都可逆并且互為逆矩陣.2008年的考題:,時(shí)可逆..例4個(gè)階矩陣和滿足,求和.,于是例31設(shè)都是階矩陣,滿足,則為.(B).(C).(D).(2005年數(shù)學(xué)四)化為即與互為逆矩陣化為,用右乘得如果和是兩個(gè)可逆階矩,則分塊矩陣和都可逆，并且(3)可逆矩陣的性質(zhì):=1\*GB3①如果可逆,則,和都可逆,并且已經(jīng)規(guī)定的矩陣的右肩膀有3種:T,k,-1,它們兩兩可交換先后次序.=2\*GB3②對(duì)于兩個(gè)階矩和,和都可逆可逆,并且..3.伴隨矩陣若是階矩陣,記是的位元素的代數(shù)余子式,規(guī)定的伴隨矩陣為lr例如對(duì)2階矩陣基本公式:..于是對(duì)于可逆矩陣,有.因此可通過求來計(jì)算.這就是求逆矩陣的伴隨矩陣法.和初等變換法比較,伴隨矩陣法的計(jì)算量要大得多,除非n=2,一般不用它來求逆矩陣.即意義:用逆矩陣來求伴隨矩陣.可逆時(shí)還有.伴隨矩陣的其它性質(zhì):=1\*GB3①如果是可逆矩陣，則也可逆，并且.=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤;=6\*GB3⑥=2\*GB3②的證明:對(duì)兩邊求行列式,得=6\*GB3⑥的證明:例21設(shè)是階可逆矩陣,交換的行得到.(1)證明可逆.(1)(2)求.例22設(shè)是3階矩陣,將的第2行加到第1行上得,將的第1列的-1倍加到第2列上得.記例20設(shè)是3階可逆矩陣,交換的1,2行得,則(A)交換的1,2行得到.(B)交換的1,2列得到.(C)交換的1,2行得到.(D)交換的1,2列得到.(2005年)例18設(shè)和都是n階矩陣,,則不妨設(shè)都可逆2009題設(shè)和都是2階矩陣,,.則(2009年的考題)解:先求例16設(shè)是n階非零實(shí)矩陣,滿足.證明:如果則解：條件,即即（1）又因?yàn)?即有非零元素，則(2)得因?yàn)槭钦麛?shù)，得例17設(shè)矩陣滿足,為3個(gè)相等的正數(shù),則它們?yōu)?2005年數(shù)學(xué)三)設(shè)則又得例83維向量滿足,已知,求.解：例9設(shè)是3階矩陣,是3維列向量,使得可逆,并且.又3階矩陣滿足A=PBP-1.(1)求.(2)求.(01一)解：即則例103階矩陣滿足,其中,求.(04一)解：例11設(shè)3階矩陣,,求.解：得例12設(shè)3階矩陣,,求.解：例134階矩陣滿足,已知求.(00一)解：得例14已知,,,求.解：用解矩陣方程求例26設(shè)3階矩陣滿足.(1)證明可逆.(2)設(shè),求.(91)解：令即可逆例27設(shè)是3階矩陣,可逆,它們滿足.(1)證明可逆.(2)設(shè),求.(2002)可逆解：即由可逆得可逆例28設(shè)n階矩陣滿足.其中,證明(1)和都可逆.(2)可逆可逆.(3)解：(1)令都可逆或者直接把和相乘(2)(3)例29設(shè)都是n階對(duì)稱矩陣,可逆,證明也是對(duì)稱矩陣.證：驗(yàn)證即要證明例30設(shè)都是n階矩陣使得可逆,證明(1)如果,則.(2)如果都可逆,則.(3)等式總成立.(1)思路：兩側(cè)是的不同順序的，且有證明(2)兩邊求逆左邊求逆右邊求逆例32設(shè)都是n階矩陣,并且是可逆矩陣.證明:矩陣方程和的解相同.的解為的解為同解即第四講向量組的線性關(guān)系與秩全課程的理論基礎(chǔ)線性表示線性相關(guān)性極大無關(guān)組和秩矩陣的秩一.線性表示設(shè)1,2,…,s是一個(gè)n維向量組.1.n維向量可用1,2,…,s線性表示，即是1,2,…,s的一個(gè)線性組合，也就是說存在數(shù)組c1,c2,…,cs使得c11+c22+…+css=.例如，，，.則=a1+b2+c3.又如，，，.看c,c0,則不能表示,c=0,則=a1+b2,或=(a-b)1+b3,……問題是:判斷可否用1,2,…,s線性表示?表示方式是否唯一？”這也就是問：向量方程x11+x22+…+xss=是否有解？解是否唯一？設(shè)A=1,2,…,s,則此向量方程就是AX=.反過來,判別“以A為增廣矩陣的線性方程組是否有解？解是否唯一？”的問題又可轉(zhuǎn)化為“是否可以用A的列向量組線性表示?表示方式是否唯一？”的問題.記號(hào):可以表示不可以表示唯一表示無窮多表示例下列各選項(xiàng)中哪個(gè)成立,哪個(gè)不成立?(A)如果1,2,…,s,則對(duì)任意數(shù)c,c1,2,…,s.(B)如果存在c,使得c1,2,…,s,則1,2,…,s.(C)如果1,2,…,s,1,2,…,s,則+1,2,…,s.(D)如果1,2,…,s,1,2,…,s,則+1,2,…,s.如果1,2,…,s,1,2,…,s,問題：+1,2,…,s.答:+1,2,…,s.例14已知可用1,2,…,s線性表示，但不可用1,2,…,s-1線性表示．證明=1\*GB2⑴s不可用1,2,…,s-1線性表示；=2\*GB2⑵s可用1,2,…,s-1,線性表示．(看題解)（2）解：設(shè)（1）用反證法如果則2.如果n維向量組1,2,…,t中的每一個(gè)都可以可以用1,2,…,s線性表示,就說向量組1,2,…,t可以用1,2,…,s線性表示.向量組之間的線性表示問題與矩陣乘法有密切關(guān)系:乘積矩陣AB的每個(gè)列向量都可以表示為A的列向量組的線性組合,從而AB的列向量組可以用A的列向量組線性表示.反過來,如果向量組1,2,…,t可以用1,2,…,s線性表示,則矩陣(1,2,…,t)可分解為矩陣(1,2,…,s)和一個(gè)矩陣C的乘積.例如1=1+22，2=22+33，3=33+1；,則(1,2,3)=(1,2,3)一般地C可以這樣構(gòu)造:它的第i個(gè)列向量就是i對(duì)1,2,…,s的分解系數(shù).稱C為1,2,…,t對(duì)1,2,…,s的一個(gè)表示矩陣.(C不是唯一的)3.當(dāng)向量組1,2,…,s和1,2,…,t互相都可以表示時(shí)就說它們等價(jià)并記作1,2,…,s1,2,…,t.例如,如果矩陣A用一次初等行變換化為B,則A的行向量組和B的行向量組等價(jià)如果矩陣A用一次初等列變換化為B,則A的列向量組和B的列向量組等價(jià)1,2,32,1,3；1,2,31,2,3；1,2,31,2,61+3；向量組的線性表示關(guān)系有傳遞性,即如果向量組1,2,…,t可以用1,2,…,s線性表示,而1,2,…,s可以用1,2,…,r線性表示,則1,2,…,t可以用1,2,…,r線性表示.等價(jià)關(guān)系也有傳遞性.二.向量組的線性相關(guān)性討論向量組的內(nèi)在關(guān)系的性質(zhì).1．意義和定義--從三個(gè)方面看線性相關(guān)性（1）意義:線性相關(guān)性是描述向量組內(nèi)在關(guān)系的概念.如果向量組1,2,…,s中有向量可以用其它的s-1個(gè)向量線性表示,就說1,2,…,s線性相關(guān).如果向量組1,2,…,s中每個(gè)向量都不可以用其它的s-1個(gè)向量線性表示,就說1,2,…,s線性無關(guān).，，，，兩個(gè)向量線性相關(guān)就是它們的對(duì)應(yīng)分量成比例.如=(a1,a2,a3)和=(b1,b2,b3)相關(guān),不妨設(shè)=c,即b1=ca1,b2=ca12,b3=ca3.（2）定義設(shè)1,2,…,s是n維向量組,如果存在不全為0的一組數(shù)c1,c2,…,cs使得c11+c22+…+css=0,則說1,2,…,s線性相關(guān)否則就說它們線性無關(guān).說明:=1\*GB3①意義和定義是一致的.比如設(shè)cs不為0,則s=-(c11+c22+…+cs-1s—1)/cs.=2\*GB3②當(dāng)向量組中只有一個(gè)向量(s=1)時(shí),它相關(guān)(無關(guān))就是它是(不是)零向量.=3\*GB3③1,2,…,s線性無關(guān)即要使得c11+c22+…+css=0,必須c1,c2,…,cs全為0.(3)1,2,…,s“線性相關(guān)還是無關(guān)”就是向量方程x11+x22+…+xss=0“有沒有非零解”.如果令A(yù)=(1,2,…,s),則1,2,…,s線性相關(guān)(無關(guān))齊次方程組AX=0有非零解(無非零解).2.性質(zhì)(1)若向量的個(gè)數(shù)s等于維數(shù)n,則1,2,…,n線性相關(guān)|1,2,…,n|=0.當(dāng)向量的個(gè)數(shù)s大于維數(shù)n時(shí),1,2,…,s一定線性相關(guān).用齊次方程組,注意:n是AX=0的方程數(shù),s是AX=0的未知數(shù)個(gè)數(shù).s=n時(shí)用克萊姆法則.s>n即方程數(shù)n少于是AX=0的未知數(shù)個(gè)數(shù)s,一定有非零解.(2)線性無關(guān)向量組的每個(gè)部分組都無關(guān)(于是每個(gè)向量都不是零向量).1,2,3,4,5無關(guān)1,3,5無關(guān)逆否命題:如果向量組有線性相關(guān)的部分組,則它本身也線性相關(guān).(3)如果1,2,…,s線性無關(guān)則1,2,…,s,線性相關(guān)1,2,…,s.(1,2,…,s,線性無關(guān)1,2,…,s.)明顯.設(shè)c1,c2,…,cs,c不全為0,使得c11+c22+…+css+c=0,則c不為0(否則1,2,…,s線性相關(guān)),因此1,2,…,s.例1=(1,2,a+3)，2=(2,1,a+6)，3=(2,1,a+4)線性無關(guān)．例151,2,3,線性無關(guān),而1,2,3,線性相關(guān),則A)1,2,3,c+線性相關(guān).(B)1,2,3,c+線性無關(guān).(C)1,2,3,+c線性相關(guān).(D1,2,3,+c線性無關(guān).2008年的一個(gè)題中:已知1,2都是3階矩陣A的特征向量,特征值分別為-1和1,又3維向量3滿足A3=2+3.證明1,2,3線性無關(guān).(看題解)設(shè)（1）A（1）得（2）（1）-（2）：（3）A（3）（4）（3）-（4）4，得；代人（3），-，得，代人（1），，得方法二：，線性無關(guān)，只用證若，（1）得（2）（2）-（1）：與線性無關(guān)矛盾。2009年的一個(gè)題中:10,A1=0,A2=1,A22=1,證明1,2,3線性無關(guān).(看題解)證明：A是3階矩陣，是3維非零列向量，使得，又滿足，，證明線性無關(guān)。證：方法一（用定義法）設(shè)（1），即，得（1）化為A（1）：，得（1）化為，得方法二：，無關(guān)（否則，）所以線性無關(guān)又（否則，(4)如果1,2,…,s,則1,2,…,s線性無關(guān).1,2,…,s線性相關(guān).(5)如果1,2,…,t1,2,…,s，并且t>s,則1,2,…,t線性相關(guān).逆否命題:如果1,2,…,t1,2,…,s并且1,2,…,t線性無關(guān).則ts,推論如果兩個(gè)線性無關(guān)的向量組互相等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.三.向量組的極大無關(guān)組和秩向量組的內(nèi)在性質(zhì)的定量的討論.向量組的秩是刻畫向量組相關(guān)“程度”的一個(gè)數(shù)量概念.它表明向量組可以有多大(指包含向量的個(gè)數(shù))的線性無關(guān)的部分組.，，，，1.定義與簡單性質(zhì)定義設(shè)1,2,…,s是n維向量組,(=1\*ROMANI)是它的一個(gè)部分組.如果=1\*GB3①(=1\*ROMANI)線性無關(guān).=2\*GB3②(=1\*ROMANI)再擴(kuò)大就線性相關(guān).就稱(=1\*ROMANI)為1,2,…,s的一個(gè)極大無關(guān)組.稱(=1\*ROMANI)中所包含向量的個(gè)數(shù)為1,2,…,s的秩。記作r(1,2,…,s).說明=1\*romani)1,2,…,s的不同的極大無關(guān)組包含向量的個(gè)數(shù)會(huì)不會(huì)不同？任何I都可用極大無關(guān)組(=1\*ROMANI)線性表示,從而(=1\*ROMANI)與1,2,…,s等價(jià).于是任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)，因此包含向量的個(gè)數(shù)相同。說明=2\*romanii)如果1,2,…,s全是零向量,則規(guī)定r(1,2,…,s)=0.如果r(1,2,…,s)=3,則=1\*romani)1,2,…,s有包含3個(gè)向量的無關(guān)部分組。=2\*romanii)一個(gè)部分組如果含有多于3個(gè)向量,則它一定的相關(guān).=3\*romaniii）1,2,…,s的每個(gè)含有3個(gè)向量的線性無關(guān)部分組一定是極大無關(guān)組.0r(1,2,…,s)Min{s。n}2.應(yīng)用=1\*GB3①1,2,…,s線性無關(guān)r(1,2,…,s)=s.=2\*GB3②可用1,2,…,s線性表示r(1,2,…,s,)=r(1,2,…,s).命題：r(1,2,…,s,)=證明思路:看1,2,…,s的一個(gè)極大無關(guān)組(=1\*ROMANI)是否也是1,2,…,s,的極大無關(guān)組1,2,…,s(=1\*ROMANI)(=1\*ROMANI),線性相關(guān)(=1\*ROMANI)也是1,2,…,s,的極大無關(guān)組，則r(1,2,…,s,)=r(1,2,…,s).1,2,…,s(=1\*ROMANI)(=1\*ROMANI),線性無關(guān)(=1\*ROMANI),是1,2,…,s,的極大無關(guān)組則r(1,2,…,s,)=r(1,2,…,s)+1.例14已知可用1,2,…,s線性表示，但不可用1,2,…,s-1線性表示．證明=1\*GB2⑴s不可用1,2,…,s-1線性表示；=2\*GB2⑵s可用1,2,…,s-1,線性表示．=1\*GB2⑴r(1,2,…,s-1,s,)=r(1,2,…,s-1,s).=2\*GB2⑵r(1,2,…,s-1,)=r(1,2,…,s-1)+1.=3\*GB3③可用1,2,…,s唯一線性表示r(1,2,…,s,)=r(1,2,…,s)=s.=4\*GB3④1,2,…,t可以用1,2,…,s線性表示r(1,2,…,s,1,2,…,t)=r(1,2,…,s).推論:如果1,2,…,t可以用1,2,…,s線性表示,則r(1,2,…,t)r(1,2,,s).=5\*GB3⑤1,2,…,s和1,2,…,t等價(jià)r(1,2,…,s)=r(1,2,…,s,1,2,…,t)=r(1,2,…,t).r(1,2,…,s)的計(jì)算:用初等行變換把矩陣(1,2,…,s)化為階梯形矩陣,其非零行數(shù)=r(1,2,…,s).例11中的向量組的秩:r(1,2,3,4,5)=3.例2已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)線性相關(guān),并且a1,求a.(05)秩<4得1-2a=0a=例3設(shè)1=(1+a,1,1)，2=(1,1+b,1)，3=(1,1,1-b)，問a,b滿足什么條件時(shí)r(1,2,3)=2?若b=0Ｂ＝時(shí)秩＝２２）時(shí)秩為２例4設(shè)1=(1+λ，1，1)，2=(1，1+λ，1)，3=(1，1，1+λ)，=(0，λ,λ2)．=1\*GB3①λ為何值時(shí)，可用1，2，3線性表示，并且表示方式唯一？=2\*GB3②λ為何值時(shí)，可用1，2，3線性表示，并且表示方式不唯一？=3\*GB3③λ為何值時(shí)，不可用1，2，3線性表示？(看題解)當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，當(dāng)，例7設(shè)1=(1,2,-3)，2=(3,0,1)，3=(9,6,-7)，1=(0,1,-1)，2=(a,2,1)，3=(b，1，0)．已知r(1,2,3)=r(1,2,3),并且3可用1,2,3線性表示，求a,b.(00二)(看題解)思路：先用這個(gè)條件求出b則例9給定向量組(Ⅰ)1=(1,0,2)，2=(1,1,3)，3=(1,-1,a+2)和(Ⅱ)1=(1,2,a+3)，2=(2,1,a+6)，3=(2,1,a+4)．當(dāng)a為何值時(shí)(Ⅰ)和(Ⅱ)等價(jià)?a為何值時(shí)(Ⅰ)和(Ⅱ)不等價(jià)?(03四)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而結(jié)論：a=-1時(shí)不等價(jià)，時(shí)等價(jià)例8求常數(shù)a,使得向量組1=(1,1,a),2=(1,a,1),3=(a,1,1)可由向量組1=(1,1,a),2=(-2,a,4),3=(-2,a,a)線性表示,但是1,2,3不可用1,2,3線性表示.(2005年數(shù)學(xué)二)于是或-2a=1時(shí)，，，時(shí)：，，，，相關(guān)，(看題解)3.秩的計(jì)算,有相同線性關(guān)系的向量組兩個(gè)向量個(gè)數(shù)相同的向量組1,2,…,s,和1,2,…,s稱為有相同線性關(guān)系,如果向量方程x11+x22+…+xss=0和x11+x22+…+xss=0同解,即齊次線性方程組(1,2,…,s)X=0和(1,2,…,s)X=0同解.當(dāng)1,2,…,s和1,2,…,s有相同線性關(guān)系時(shí),(1)它們的對(duì)應(yīng)部分組有一致的線性相關(guān)性.1,3,4和1,3,4相對(duì)應(yīng).如果1,3,4相關(guān),比如31-3+54=0,則(3,0,-1,5,0,…,0)是x11+x22+…+xss=0的解,從而也是x11+x22+…+xss=0的解,就得到31-3+54=0,1,3,4相關(guān).(2)它們的極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而它們的秩相等.(3)它們有相同的內(nèi)在線性表示關(guān)系.2=21+3-42=21+3-4.例如,當(dāng)A經(jīng)過初等行變換化為B時(shí),AX=0和BX=0同解,從而A的列向量組和B的列向量組有相同線性關(guān)系.于是它們的極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng),秩相等.問題:為什么階梯形矩陣的非零行數(shù)就是它的列向量組的秩?123451234512345顯然1,2,4無關(guān),3=31+2,5=21+2,1,2,4是1,2,3,4,5的一個(gè)極大無關(guān)組.這樣,就產(chǎn)生了計(jì)算一個(gè)向量組1,2,…,s的秩和極大無關(guān)組的方法:把此向量組作為列向量組構(gòu)造矩陣(1,2,…,s),用初等行變換把它化為階梯形矩陣B,則B的非零行數(shù)就是r(1,2,…,s),B的各臺(tái)角所在列號(hào)對(duì)應(yīng)的部分組是1,2,…,s的的一個(gè)極大無關(guān)組.如果A經(jīng)過初等列變換化為B，則A的列向量組和B的列向量組是等價(jià)關(guān)系，秩也相等,但是極大無關(guān)組并沒有對(duì)應(yīng)關(guān)系.例6設(shè)1=(1,2,0,1),2=(1,1,-1,0),3=(0,1,a,1),1=(1,0,1,0),2=(0,1,0,2).a和k取什么值時(shí),1+k2可用1,2,3線性表示?寫出表示式.(看題解)解：得k=-1，例10設(shè)1=(1+a,1,1,1),2=(2,2+a,2,2),3=(3,3,3+a,3),4=(4,4,4,4+a).問a為什么數(shù)時(shí)1,2,3,4線性相關(guān)?在1,2,3,4線性相關(guān)時(shí)求其一個(gè)極大線性無關(guān)組,并且把其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出.(看題解)解：顯然a=0時(shí)，線性相關(guān)，并且秩為1可得為極大無關(guān)組，，，若則當(dāng)時(shí)，線性相關(guān)，秩為3，取為極大無關(guān)組，例11設(shè)1=(1,-1,2,4),2=(0,3,1,2),3=(3,0,7,14),4=(1,-2,2,0),5=(2,1,5,10).它們的下列部分組中,是極大無關(guān)組的有哪幾個(gè)?(1)1,2,3.(2)1,2,4.(3)1,2,5.(4)1,3,4.解：123451234512345是極大無關(guān)組的有（2），（4）四.矩陣的秩1.定義一個(gè)矩陣A的行向量組的秩和列向量組的秩相等,稱此數(shù)為矩陣A的秩,記作r(A).A==C，A的行向量組的秩=C的行向量組的秩=C的列向量組的秩=A的列向量組的秩 如果A是mn矩陣,則0r(A)Min{m,n}.r(A)=0當(dāng)r(A)=m時(shí),稱A為行滿秩的;當(dāng)r(A)=n時(shí),稱A為列滿秩的.對(duì)于n階矩陣A,則行滿秩和列滿秩是一樣的,此時(shí)就稱A滿秩.于是:n階矩陣A滿秩r(A)=nA的行(列)向量組無關(guān)|A|0A命題r(A)就是A的非0子式的階數(shù)的最大值.(即A的每個(gè)階數(shù)大于r(A)的子式的值都為0,但是A有階數(shù)等于r(A)的非0子式.)A的r階子式:任取A的r行和r列,在它們的交叉位置上的元素所構(gòu)成的行列式,如果它的值不為0,就稱為非0子式.********************2.計(jì)算命題=1\*GB3①初等變換保持矩陣的秩.=2\*GB3②階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).矩陣秩的計(jì)算:用初等變換將其化為階梯形矩陣,則此階梯形矩陣的非零行數(shù)就是原矩陣的秩.3.矩陣秩的性質(zhì)=1\*GB3①r(AT)=r(A).=2\*GB3②如果c不為0,則r(cA)=r(A).=3\*GB3③r(AB)r(A)+r(B).=4\*GB3④r(AB)Min{r(A),r(B)}.AB的列向量組可用A的列向量組線性表示,r(AB)r(A).BTAT=(AB)T，r(AB)=r((AB)T)r(BT)=r(B).=5\*GB3⑤當(dāng)A(或B)可逆時(shí),r(AB)=r(B)(或r(A)).A-1(AB)=B,r(B)r(AB).=6\*GB3⑥如果AB=0,n為A的列數(shù)(B的行數(shù)),則r(A)+r(B)n.=7\*GB3⑦設(shè)A*為n階矩陣A的伴隨矩陣,則r(A*)=若r(A)=n,若r(A)=n-1,若r(A)<n-1.見例30證明當(dāng)時(shí)，存在（n-1）階余子式不為0，即存在則，又A不滿秩，則設(shè)A是mn矩陣，證明r(A)=1存在m維非零列向量=(a1,a2,…，am)T和n維非零列向量=(b1,b2,…,bn)T，使得A=T.證明：設(shè)，其中.則得設(shè)，由得中的每個(gè)非零向量構(gòu)成極大無關(guān)組。此時(shí)，每個(gè)，證，證，則08年的一個(gè)考題設(shè),都是3為列向量,A=T+T.證明(1)r(A)2.(2)如果,現(xiàn)性相關(guān),則r(A)<2.方法一（1）（2）不妨設(shè)，則則方法二：設(shè)A=（（1）（2）相關(guān)時(shí)所以例18n階矩陣A=的秩為n-1,求a.(98三)(看題解)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，例19設(shè)A=,已知r(A)+r(A*)=3,求a,b應(yīng)該滿足的關(guān)系.(03三)解：，且時(shí)例20設(shè)A=,B=,求r(BA+2A).BA+2A=(B+2E)A,B+2E可逆.r(BA+2A)=r(例213階矩陣A=，B=，已知r(AB)小于r(A)和r(B),求a,b和r(AB).，于是求出或(看題解)例25設(shè)A是mn矩陣,B是nm矩陣,則()(A)當(dāng)mn時(shí),AB0.(B)當(dāng)mn時(shí),AB.(C)當(dāng)nm時(shí),AB|0.(D)當(dāng)nm時(shí),AB.(99)(看題解)是m階矩陣，問時(shí)：，選（B）時(shí)例26AB=0,A,B是兩個(gè)非零矩陣,則(A)A的列向量組線性相關(guān).B的行向量組線性相關(guān).(B)A的列向量組線性相關(guān).B的列向量組線性相關(guān).(C)A的行向量組線性相關(guān).B的行向量組線性相關(guān).(D)A的行向量組線性相關(guān).B的列向量組線性相關(guān).(04)AB=0,則r(A)+r(B)n,n為A的列數(shù),B的行數(shù).又r(A)>0,r(B)>0,得r(A)<n,r(B)<n.例16已知n維向量組1,2,…,s線性無關(guān),則n維向量組1,2,…,s也線性無關(guān)的充分必要條件為A)1,2,…,s可用1,2,…,s線性表示.(B)1,2,…,s可用1,2,…,s線性表示.(C)1,2,…,s與1,2,…,s等價(jià).(D矩陣1,2,…,s)和(1,2,…,s等價(jià).解：矩陣等價(jià)，即可用初等變換互化A與B等價(jià)A與B行，列數(shù)對(duì)應(yīng)相等，且是充分條件，不必要既不充分，又不必要是充分條件，不必要選（D）矩陣的等價(jià)兩個(gè)矩陣如果可以用初等變換互相轉(zhuǎn)化,就稱它們等價(jià).矩陣的等價(jià)的充分必要條件為它們類型相同,秩相等.(看題解)例17設(shè)1,2,…,s都是n維向量，A是mn矩陣，下列選項(xiàng)中正確的是（）.(A)若1,2,…,s線性相關(guān),則A1,A2,…,As線性相關(guān).(B)若1,2,…,s線性相關(guān),則A1,A2,…,As線性無關(guān).(C)若1,2,…,s線性無關(guān),則A1,A2,…,As線性相關(guān).(D)若1,2,…,s線性無關(guān),則A1,A2,…,As線性無關(guān).(06)設(shè)c1,c2,…,cs不全為0使得c11+c22+…+css=0,則c1A1+c2A2+…+csA(A1,A2,…,As)=A(1,2,…,s)r(A1,A2,…,As)r(1,2,…,s)07年考題設(shè)1，2，3線性無關(guān)，則()線性相關(guān)：(A)1-2，2-3，3-1； (B)1+2，2+3，3+1；(c)1-22，2-23，3-21；(D)1+22，2+23，3+21．例22設(shè)1，2，3線性無關(guān)，則()線性無關(guān)：(A)1+2，2+3，3-1；(B)1+2，2+3，1+22+3；(C)1+22，22+33，33+1；(D)1+2+3，21-32+223，31+52-53．(97三)(看題解)看出（A），（B）兩組向量線性相關(guān)，從（C）（D）中（C）證若即C可逆，則，無關(guān)若，則，所以相關(guān)（C）矩陣法：若1，2，3線性無關(guān)，看的線性相關(guān)性證則C可逆線性無關(guān)例31設(shè)A為n階矩陣,為n維列向量.正整數(shù)k使得Ak=0,但是Ak-10,證明,A,…,Ak-1線性無關(guān).(看題解)設(shè)（1）得得例32證明r(1,2,…,s,1,2,…,t)r(1,2,…,s)+r(1,2,…,t).解：取的一個(gè)極大無關(guān)組（I）設(shè)是（I）在中的部分是（I）在中的部分則u=（I）+=是（I）在中的部分，所以+(看題解)例33證明r(A+B)r(A)+r(B).(看題解)證則=例34證明矩陣方程AX=B有解r(A|B)=r(A).(看題解)有解存在矩陣C，使得AC=B的列向量可用A的列向量組線性表示即第五講線性方程組一.線性方程組解的情況的判別，即有解有唯一解判別其解的情況用三個(gè)數(shù):未知數(shù)的個(gè)數(shù)，，=1\*GB3①無解=2\*GB3②有唯一解(當(dāng)A是方陣時(shí),就推出克萊姆法則.)=3\*GB3③有無窮多解例11設(shè)A是m×n矩陣，r(A)=r．則方程組AX=(A)在r=m時(shí)有解.(B)在m=n時(shí)有唯一解.(C)在r<n時(shí)有無窮多解.(D)在r=n時(shí)有唯一解.(B)A是n×n矩陣，缺A可逆的條件.(C)缺r(A)=r(A|)的條件.(D)缺r(A)=r(A|)的條件.m=r(A)r(A|)m,則m=r(A)=r(A|)=m.方程的個(gè)數(shù)m雖然在判別公式中沒有出現(xiàn),但它是r(A)和r(A|)的上界,因此當(dāng)r(A)=m時(shí),AX=0一定有解.當(dāng)m<n時(shí),一定不是唯一解.對(duì)于齊次方程組,判別解的情況用兩個(gè)數(shù):n,r(A).r(A)=n只有零解r(A)<n有非零解.A列滿秩只有零解.推論1當(dāng)A列滿秩時(shí),A在矩陣乘法中有左消去律:；證明設(shè)，則，都是的解而A列滿秩,只有零解,即.推論2如果A列滿秩,則r(AB)=r(B).證明只用證明齊次方程組ABX=0和BX=0同解.(此時(shí)矩陣AB和B的列向量組有相同的線性關(guān)系,從而秩相等.)是ABX=0的解AB=0B=0是BX=0的解.應(yīng)用：可以對(duì)C-矩陣法作更加直接的解釋：1,2,…,s可以用線性無關(guān)向量組1,2,…,s線性表示時(shí)，1,2,…,s可以用線性相關(guān)性的判斷：寫出1,2,…,t對(duì)1,2,…,s的不上矩陣C，則1,2,…,s線性無關(guān)C可逆.解釋:因?yàn)?1,2,…,s)=(1,2,…,s)C，矩陣(1,2,…,s)列滿秩,用推論2,r(1,2,…,s)=r(C).并且可感到擴(kuò)大C-矩陣法的應(yīng)用范圍:向量組的向量個(gè)數(shù)可小于向量組的向量個(gè)數(shù).如1,2,3線性無關(guān),則2-1,3-1也線性無關(guān),因?yàn)?-1,3-1對(duì)1,2,3的表示矩陣為,秩為2.二.線性方程組的通解1.齊次方程組AX=0(1)解的性質(zhì):如果1,2,…,s是齊次方程組AX=0的一組解,則它們的任何線性組合c11+c22++css也都是解.A(c11+c22++css)=c1A1+c2A2++csAs(2)齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解如果齊次方程組AX=0有非零解,則它的解集J(全部解的集合)是無窮集,稱J的每個(gè)極大無關(guān)組為AX=0的基礎(chǔ)解系.判別一組向量1,2,…,s是AX=0的基礎(chǔ)解系的條件為=1\*GB3①1,2,…,s是AX=0的一組解.=2\*GB3②1,2,…,s線性無關(guān).=3\*GB3③AX=0的每個(gè)解1,2,…,s.于是,當(dāng)1,2,…,s是AX=0的基礎(chǔ)解系時(shí):向量是AX=0的解可用1,2,…,s線性表示.AX=0的通解為:c11+c22+…+css,ci任意.定理設(shè)AX=0有n個(gè)未知數(shù),則r(J)=n-r(A).即它的基礎(chǔ)解系中包含解的個(gè)數(shù)為s=n-r(A).于是“=3\*GB3③AX=0的每個(gè)解1,2,…,s.”可換成=3\*GB3③s=n-r(A).例14的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(A)(0,-1,0,2)T.(B)(0,-1,0,2)T,(0,1/2,0,1)T.(C)(1,0,-1,0)T,(-2,0,2,0)T.(D)(0,-1,0,2)T,(1,0,-1,0)T.例13當(dāng)A=()時(shí)，(0，1，-1)和(1，0，2)構(gòu)成齊次方程組AX=0的基礎(chǔ)解系．(92)(A).(B).(C)(D).例15已知(1,a,2)T,(-1,4,b)T構(gòu)成次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,求a,b,s,t.方法一：把兩個(gè)解(1,a,2)T和(-1,4,b)T代入方程得解出abst212-1-4-28方法二：s=2，n=3，則r(A)=1于是S=2,t=-1例AX=0和BX=0都是n元方程組，判斷下列斷言的正確性.(1)AX=0和BX=0同解r(A)=r(B).(2)r(A)=r(B)AX=0和BX=0同解.(3)AX=0的解都是BX=0的解r(A)r(B).(4)AX=0的解都是BX=0的解r(A)r(B).(5)r(A)r(B)AX=0的解都是BX=0的解.AX=0的解都是BX=0的解JAJB.r(JA)r(JB)即n-r(A)n-r(B).推論如果AB=0,n為A的列數(shù)(B的行數(shù)),則r(A)+r(B)n.證記B=(1,2,,s),則AB=(A1,A2,,As)，于是AB=0Ai=0,i=1,2,,s,即每個(gè)i都是齊次方程組AX=0的解.即1,2,,s是則r(B)=r(1,2,,s)r(J)=n-r(A),即r(A)+r(B)n.例1求此齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系和通解.A=取定自由未知量寫出同解方程組對(duì)自由未知量賦值（輪流地取值1），得基礎(chǔ)解系④寫出通解：任意2007考題已知方程組和x1+2x2+x3=a-1有公共解,求a和全部公共解.有公共解聯(lián)立方程組有解當(dāng)a=1時(shí)，，有公共解當(dāng)a=2時(shí)，，有公共解當(dāng)a≠1，2時(shí)，，無公共解當(dāng)a=1時(shí)，聯(lián)立方程組是齊次方程組，有非零解，基礎(chǔ)解系：通解（即公共解的一般形式）：，任意a=2時(shí)，唯一解：求出解為：(0,1,-1)T2.非齊次方程組AX=(1)非齊次方程組解的性質(zhì)如果1,2,…,s是AX=的一組解,則A(c11+c22+…+css)=c1A1+c2A2+…+csAs=(c1+c2+…+cs)命題1如果1,2,…,s是AX=的一組解,則=1\*GB3①它們的線性組合c11+c22+…+css也是AX=解的c1+c2+…+cs=1.=2\*GB3②它們的線性組合c11+c22+…+css是AX=0的解c1+c2+…+cs=0.例如AX=的兩個(gè)解的差一定是AX=0的解.命題2如果0是AX=的一個(gè)解,則:向量也是解-0是導(dǎo)出齊次方程組AX=0的解.(左邊是解,即A=右邊-0是AX=0的解,即A(-0)=0,即A=A0.)命題2也就是說,也是解是0與導(dǎo)出組AX=0的一個(gè)解的和.(2)非齊次方程組的通解如果0是非齊次方程組AX=的解,1,2,…,s是導(dǎo)出組AX=0的基礎(chǔ)解系,則AX=的通解(一般解)為0+c11+c22+…+css,其中c1，c2,…,cs可取任何常數(shù).例16線性方程組的通解可以表示為(A)(1,-1,0,0)T+c(0,1,-1,0)T,c任意.(B)(0,1,1,1)T+c1(0,-2,2,0)T+c2(0,1,-1,0)T,c1,c2任意.(C)(1,-2,1,0)T+c1(-1,2,1,1)T+c2(0,1,-1,0)T,c1,c2任意.(D)(1,-1,0,0)T+c1(1,-2,1,0)T+c2(0,1,-1,0)T,c1,c2任意.例12設(shè)1，2是非齊次方程組AX=的兩個(gè)不同的解,,2為它的導(dǎo)出組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則它的通解為（）(A)k11+k22+（12）/2.(B)k11+k2（1-2）+（1+2）/2.(C)k11+k2（1-2）+（1-2）/2.(D)k11+k2（1-2）+（12）/2.2009年考題，=1\*GB3①求滿足A2=1和A23=1的所有向量2和3.②證明：在滿足①的情況下，任意一對(duì)2和3與1放在一起線性無關(guān)即求AX=1和A2X=1的通解解AX=1：同解方程組：令求得特解AX=0的同解方程組：基礎(chǔ)解系由構(gòu)成的一般形式為，c任意A2X=1：同解方程組求出特解A2X=0的同解方程組基礎(chǔ)解系的一般形式：，任意例2討論p,t的取值對(duì)下面方程組解的影響,并在有無窮多解時(shí)求通解.(96四)(1)時(shí)無解時(shí)無窮多解(2)求通解①時(shí)，得同解方程組令得特解AX=0與同解求得基礎(chǔ)解系：，通解為，任意②時(shí)，同解方程組特解：AX=0的基礎(chǔ)解系：通解為，任意例4線性方程組的增廣矩陣為，又已知(1,-1,1,-1)T是它的一個(gè)解.(1)用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解.(2)寫出滿足x2=x3的全部解.(04四)以(1,-1,1,-1)T代入，得a=b已有了特解，只用再求AX=0的基礎(chǔ)解系當(dāng)時(shí)得AX=0的同解方程組求出基礎(chǔ)解系：和通解為，任意當(dāng)時(shí)得AX=0的同解方程組求出基礎(chǔ)解系：通解為，任意從原方程中找出滿足的解①時(shí)：即，得通解：②當(dāng)時(shí)即得唯一解：例29已知線性方程組有3個(gè)線性無關(guān)的解.=1\*GB3①證明此方程組的系數(shù)矩陣A的秩為2.=2\*GB3②求a,b的值和方程組的通解.=1\*GB3①顯然設(shè)是此方程組的3個(gè)線性無關(guān)的解，則是AX=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解，于是即得②由得，求出得同解方程組令，得一特解AX=0的同解方程組為求出基礎(chǔ)解系，通解為，任意例5設(shè)線性方程組為(1)證明當(dāng)a1,a2,a3,a4兩兩不相等時(shí),方程組無解.(2)設(shè)a1=a3=-a2=-a4=k,并且(-1,1,1)T和(1,1,-1)T都是解,求此方程組的通解.(94)(1)是范德蒙行列式，兩兩相減得到6個(gè)差相乘此時(shí)，無解(2)原方程簡化為思路一：用和代入，求出再求解思路二：特解已有，又因?yàn)椋?AX=0的基礎(chǔ)解系有一個(gè)非零解構(gòu)成，于是是AX=0的基礎(chǔ)解系，通解為：，任意例6已知1=(0,1,0)T和2=(-3,2,2)T都是方程組的解,求通解.例7已知1=(1,1,-1,-1)T和2=(1,0,-1,0)T是線性方程組的解,η=(2,-2,1,1)T是它的導(dǎo)出組的解,求方程組的通解.設(shè)矩陣,其中線性無關(guān),又設(shè)，求的通解.(02一，二)做法一：設(shè)定和，滿足條件，再求解做法二：即由得特解0=(1,1,1,1)T,,由即，得(1,-2,1,0)TAX=0的一個(gè)解，構(gòu)成基礎(chǔ)解系通解：(1,1,1,1)T+c(1,-2,1,0)T，c任意例10已知3階矩陣A的第一行為(a,b,c),a,b,c不全為0,矩陣,并且,求齊次線性方程組的通解.(2005)由得，Ⅰ）Ⅱ）的3個(gè)列向量都是的解⑴，則(1,2,3)T和(3,6,k)T構(gòu)成基礎(chǔ)解系（注：(1,2,0)T和(0,0,1)T也構(gòu)成基礎(chǔ)解系！由于(3,6,k)T－3(1,2,3)T＝(0,0,k-9)T是解，故(0,0,1)T也是解(1,2,0)T＝(1,2,3)T－3(0,0,1)T也是解）⑵，則，得①，則，(1,2,3)T是基礎(chǔ)解系②則與同解(b,-a,0)T,(c,0,-a)T都是解，取其中非零解與(1,2,3)T構(gòu)成基礎(chǔ)解系（注：因?yàn)?1,2,3)T是解，a+2b+3c=0,a,b,c中不能有兩個(gè)為0所以(b,-a,0)T，(c,0,-a)T都非零解）問題：是否可以用(b,-a,0)T,(c,0,-a)T構(gòu)成基礎(chǔ)解系答案：可能有危險(xiǎn)例18設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)是兩個(gè)四元齊次線性方程組,(Ⅰ)為(Ⅱ)有一個(gè)基礎(chǔ)解系(0,1,1,0)T,(-1,2,2,1)T．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的全部公共解．思路：用(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系c1(0,1,1,0)T+c2(-1,2,2,1)T=(-c2,c1+2c2,c1+2c2,c2)T代入(Ⅰ)得c1+c2＝0即公解為：c1(0,1,1,0)T－c1(-1,2,2,1)T＝c1(1,-1,-1,-1)T用(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系,寫出方程組，然后聯(lián)立(Ⅰ)求解例19設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)是兩個(gè)四元齊次線性方程組,(Ⅲ)是將它們合并而得到的方程組.已知(1,0,1,1)T,(-1,0,1,0)T,(0,1,1,0)T是(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系,(0,1,0,1)T,(1,1,-1,0)T是(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．求(Ⅲ)的通解．J(ⅡJ(Ⅱ)J(Ⅰ)思路：從(Ⅱ)的通解任意是公共解(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系公解為，任意例17設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)是兩個(gè)四元齊次線性方程組,(Ⅰ)的系數(shù)矩陣為(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(2,-1,a+2,1)T,(-1,2,4,a+8)T.已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解,求a,并求出它們的全部公共解.(02四)設(shè)(2,-1,a+2,1)T，(-1,2,4,a+8)T(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解存在，不全為0，使得也是(Ⅰ)的解存在，不全為0，使得存在，不全為0，使得，線性相關(guān)與相關(guān)即，，則(Ⅱ)的解都滿足(Ⅰ)公共解為：任意例23已知齊次方程組和同解,求a,b,c.解出沒有參數(shù)的方程組的解，代入到另外一個(gè)方程中兩個(gè)齊次方程組同解應(yīng)滿足什么條件？兩個(gè)系數(shù)矩陣的秩一樣思路一：求出一個(gè)方程組的解代入另一個(gè)，決定a,b,c先決定系數(shù)矩陣的秩，，求a思路二：與同解與原方程也同解得，，，，，此時(shí)排除，，，此時(shí)√第六講特征向量和特征值相似和對(duì)角化一.特征向量和特征值1.定義設(shè)A是n階矩陣.一個(gè)非零n維向量稱為A的特征向量，如果A與線性相關(guān).此時(shí)，存在唯一數(shù)，使得,稱為的特征值.，，，，，，，，，例如對(duì)于數(shù)量矩陣E，任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是.2006考題設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和都為3,向量,都是齊次線性方程組AX=0的解.求A的特征值和特征向量.令,則.2008考題A是2階矩陣,線性無關(guān),.則A的非零特征值為.2009考題3維列向量,滿足,則矩陣的非0特征值為..2.特征向量的性質(zhì)命題1如果是A的特征向量，特征值為，即,則=1\*GB3①也是A的任何多項(xiàng)式f(A)的特征向量，特征值為f()；=2\*GB3②如果A可逆，則0,并且也是A-1和A*的特征向量，特征值分別為1/和|A|/.=1\*GB3①A是3階稱矩陣,是A的屬于的特征向量.記驗(yàn)證也是B的特征向量.,,=2\*GB3②A==A-1A-1=/.A*==|A|A-1=(|A|/).A可逆時(shí),A,A-1和A*的特征向量完全一樣.命題2設(shè)1,2都是A的特征向量,特征值為1,2，證明:=1\*GB3①如果1=2，則1,2的任何非零線性組合都是A的特征向量,特征值也為1.=2\*GB3②如果12，則1,2線性無關(guān).=1\*GB3①A(c11+c22)=c1A1+c2A2=1c11+2c22)=1(c11+c22=2\*GB3②否則,設(shè)2=c1,則A2=cA1=1c1=12,定理A的一組特征向量1,2,…,s線性無關(guān)1,2,…,s的每個(gè)屬于同一特征值的部分組都線性無關(guān).1,2(1),3,4,5(2),12.例22設(shè)1,2是A的兩個(gè)不同特征值,分別是對(duì)應(yīng)的特征向量,則,線性無關(guān)的充分必要條件為(A)10.(B)20.(C)1=0.(D)2=0.(2005年)(看題解)解：2008年已知都是3階矩陣的特征向量,特征值分別為-1和1,又3維向量滿足.證明線性無關(guān).例3已知是的特征向量，求a,b和的特征值．解：，得求出，，例4已知是可逆矩陣的伴隨矩陣特征向量，特征值.求a,b,.(03)解：也是的特征向量。，它和線性相關(guān)，得，得或時(shí)，時(shí)，例6設(shè)3階矩陣A有3個(gè)特征向量1=(1,2,2)T，2=(2,-2,1)T，3=(-2,-1,2)T，它們的特征值依次為1,2,3,求A．(97四)解：建立矩陣方程：例7設(shè)3階矩陣A有3個(gè)特征向量,它們的特征值依次為1,2,3.又設(shè),將用線性表示，并且求.解：3.計(jì)算特征值和特征向量的一般公式是A的特征向量,特征值為A=,0(A-E)=0,0是齊次方程組(A-E)X=0的非零解.命題=1\*GB3①是A的特征值A(chǔ)-E=0，即(A-E)不可逆.=2\*GB3②是屬于的特征向量是齊次方程組(A-E)X=0的非零解.規(guī)定A的特征多項(xiàng)式為E-A，則A的特征值就是它的特征多項(xiàng)式的根.計(jì)算特征值和特征向量的具體步驟為：=1\*romani.計(jì)算A的特征多項(xiàng)式.=2\*romanii.求出它的根，即A的特征值.=3\*romaniii.然后對(duì)每個(gè)特征值i，求齊次方程組(A-iE)X=0的非零解，即屬于的特征向量.說明=1\*GB3①n階矩陣的特征多項(xiàng)式是一個(gè)n次多項(xiàng)式,一般來說求它的根是困難的,因此上述計(jì)算步驟=2\*romanii并不總是可行的,只能用在少數(shù)特殊矩陣上.例如用于對(duì)角矩陣和三角矩陣,得出它們的特征值就是對(duì)角線上的元素.，則，=2\*GB3②n階矩陣A的特征值共有n個(gè)(其中有的相同，有的是虛數(shù)),規(guī)定特征值的重?cái)?shù)：即作為特征多項(xiàng)式的根的重?cái)?shù).A的全體不同特征值的重?cái)?shù)和等于n.=3\*GB3③不是A的特征值A(chǔ)-E0A-E可逆.0不是A的特征值0A4.特征值的性質(zhì)和計(jì)算設(shè)A是n階矩陣,記A的全體特征值為.則命題1=1\*GB3①.=2\*GB3②(A的跡數(shù)).=1\*GB3①令,左=,右=.=2\*GB3②比較兩邊的系數(shù).命題2設(shè)是n階矩陣A的特征值，則它的重?cái)?shù).應(yīng)用:如果n階矩陣A的秩r(A)=1,(n>1),則0是A的特征值，并且重?cái)?shù)n-r(A)=n-1.于是A的特征值為0,0,…,0,tr(A).命題3=1\*GB3①f(A)的特征值是,,…,.=2\*GB3②如果A可逆，則的特征值是,,…,;A*的特征值是,,…,.=3\*GB3③的特征值也是..例如的特征值是,,…,.例2求矩陣的特征值和特征向量．(92)解：=.例12.例16設(shè)n階矩陣.求A的特征值和特征向量.2009年題.例1設(shè)，求和的特征值．解：設(shè)，推論如果A的一個(gè)多項(xiàng)式,則A的每個(gè)特征值都滿足.2008題1.設(shè)A是n階非零矩陣,E是n階單位矩陣,若A3=0,則().(A)E-A不可逆,E+A不可逆.(B)E-A不可逆,E+A可逆.(C)E-A可逆,E+A可逆.(D)E-A可逆,E+A不可逆.5.設(shè)3階矩陣A的特征值為2,3,.如果|2A|=-48,則=.解：，，6.A是3階矩陣,特征值為1,2,2.則.解：A的特征值為1、2、2，則的特征值為1、、，的特征值為3、1、1，。（或用，的特征值為3、2、2，，。）7.A是3階矩陣,它的特征值互不相等,并且,則.解：0是A的一重特征值，則，例8已知3階矩陣A滿足,求.解：條件說明A的特征值為-1、1、2，的特征值為-1-5=-6，1-5=-4，8-20=-12，=-288.例9設(shè),,.求.解：的秩為1，其特征值為0，0，的特征值為1，1，-1的特征值為1，1，5。例10設(shè)4階矩陣A滿足.(1)證明A的特征值不能為0,1,和-1以外的數(shù).(2)如果A還滿足,求.解：(1)A的特征值滿足，即在0、1、-1中??；(2)A+E的特征值在1、2、0中取，A+E的特征值為1、2、2、2，A的特征值為0、1、1、1，的特征值也是1、2、2、2，。例11已知n階矩陣A滿足.(1)證明可逆.(2)證明可逆.解：A的特征值滿足(1),3和-1都不滿足，都不是A的特征值，從而A-3E，A+E都可逆，可逆。(2)思路：說明的特征值都不為0，記A的特征值為，，…，則的特征值為，i=1，2，…n，或滿足或1.二.n階矩陣的相似關(guān)系設(shè)A,B是兩個(gè)n階矩陣,如果存在n階可逆矩陣P,使得,則稱A與B相似,記作.矩陣的相似關(guān)系有對(duì)稱性和傳遞性,即；如果,,則.當(dāng)P和A乘積不可交換時(shí),B不等于A;但是如果A是數(shù)量矩陣,則只和自己相似.當(dāng)時(shí),,在A可逆時(shí),.(事實(shí)上,如果,則,.)當(dāng)兩個(gè)矩陣A,B相似時(shí),它們有許多相同的性質(zhì):=1\*GB3①.|A|=|B|.=2\*GB3②r(A)=r(B).=3\*GB3③A,B有相同的特征多項(xiàng)式,從而特征值完全相同.E-B=E-P1AP|=|P1(E-A)P|=|P1||E-A||P|=|E-A|.=4\*GB3④是A的特征向量P-1是B的特征向量.A=BP-1=P1APP-1=P-1.例12設(shè),,.求的特征值和特征向量.(03)解：(1)求特征值則A的特征值為1、1、7，的特征值為7、7、1，B的特征值為7、7、1，B+2E的特征值為9、9、3.(2)求特征向量屬于9的：和A屬于1的特征向量的關(guān)系：屬于3的和A屬于7的關(guān)系同上求A屬于1的特征向量：，的基礎(chǔ)解系，，，，不全為0，則B+2E的屬于9的特征向量為，，不全為0；求A屬于7的特征向量：的基礎(chǔ)解系：，B+2E屬于3的特征向量為，。附：求，，的方法：記，即，建立矩陣方程，，。三.n階矩陣的對(duì)角化問題如果一個(gè)n階矩陣相似與一個(gè)對(duì)角矩陣,就說它可以對(duì)角化.并不是每個(gè)矩陣都可以對(duì)角化的,例我們的問題是:(1)判斷一個(gè)n階矩陣A是否可對(duì)角化.(判斷問題)(2)如果可以,怎么構(gòu)造可逆矩陣P,使得P-1AP是對(duì)角矩陣?(實(shí)現(xiàn)方法)可逆矩陣P=(1,2,3)使得。判別法則1n階矩陣A可對(duì)角化A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.實(shí)現(xiàn)方法1以A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量,,…,為列向量,構(gòu)造矩陣P=(,,…,),則P-1AP是對(duì)角矩陣.判別法則2A可對(duì)角化對(duì)于A的每個(gè)特征值i,其重?cái)?shù)ki=n-r(A-iEn=6,A可特征值1(二重),2(三重),3(一重).求(A-1E)X=0的基礎(chǔ)解系1,2,求(A-2E)X=0的基礎(chǔ)解系3,4,5,求(A-3E)X=0的基礎(chǔ)解系6,則1,2,3,4,5,6線性無關(guān).實(shí)現(xiàn)方法2對(duì)A的每個(gè)特征值i,求(A-iE)X=0的基礎(chǔ)解系,合在一起,就是A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.用它們構(gòu)造矩陣P.注意:當(dāng)ki=1時(shí),ki=n-r(A-iE)一定成立!推論如果A的特征值兩兩不相同,則A可以對(duì)角化.2008年題A是3階矩陣,它的特征值互不相等,并且|A|=0,則r(A)=.解：A可以對(duì)角化，并且對(duì)角線是的元素中有一個(gè)0，兩個(gè)非0，秩為2.例15設(shè),都是n維非零列向量,,證明:(1)A的特征值為0,0,…,0,.(2)是A的屬于特征值的特征向量.(3)A相似于對(duì)角矩陣..例14已知3階矩陣有一個(gè)二重特征值,求a,并討論A可否對(duì)角化.(04一二)解：(1)求ai)2是二重特征值，即2也是的根，得a=-2;ii)2不是二重特征值，則是平方式，a=.(2)判斷可否對(duì)角化a=-2時(shí)，對(duì)二重特征