必修第二章 市賽獲獎

2.2.3向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義第二章

§2.2平面向量的線性運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運(yùn)算的幾何意義.2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算.3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及其判定方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識處理有關(guān)共線向量問題.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一向量數(shù)乘的定義思考1

實(shí)數(shù)與向量相乘結(jié)果是實(shí)數(shù)還是向量？答案向量.思考2向量3a，－3a與a從長度和方向上分析具有怎樣的關(guān)系？答案3a的長度是a的長度的3倍，它的方向與向量a的方向相同.－3a的長度是a的長度的3倍，它的方向與向量a的方向相反.思考3

λa的幾何意義是什么？答案λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮.當(dāng)|λ|＞1時(shí)，表示a的有向線段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸長為原來的|λ|倍.梳理向量數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)

，這種運(yùn)算叫做向量的

，記作

，其長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝

.特別地，當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，0a＝

或λ0＝

.向量數(shù)乘λa00|λ||a|(2)λa(a≠0)的方向當(dāng)

時(shí)，與a方向相同；當(dāng)

時(shí)，與a方向相反.λ>0λ<0知識點(diǎn)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律思考類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，向量數(shù)乘有怎樣的運(yùn)算律？答案結(jié)合律，分配律.梳理

向量數(shù)乘運(yùn)算律(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點(diǎn)三向量共線定理思考1

若b＝2a，b與a共線嗎？答案根據(jù)共線向量及向量數(shù)乘的意義可知，b與a共線.如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa(a≠0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a≠0)是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.思考2

若b與非零向量a共線，是否存在λ滿足b＝λa？若b與向量a共線呢？答案若b與非零向量a共線，存在λ滿足b＝λa；若b與向量a共線，當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，不存在λ滿足b＝λa.梳理

(1)向量共線定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使

.(2)向量的線性運(yùn)算向量的

、

、

運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝

.b＝λa加減數(shù)乘λμ1a±λμ2b[思考辨析判斷正誤]1.若向量b與a共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ使b＝λa.(

)×答案提示提示當(dāng)b＝0，a＝0時(shí)，實(shí)數(shù)λ不唯一.2.若b＝λa，則a與b共線.(

)提示由向量共線定理可知其正確.3.若λa＝0，則a＝0.(

)提示若λa＝0，則a＝0或λ＝0.√×題型探究類型一向量的線性運(yùn)算9a答案解析(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝_______.4b－3a解析由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.反思與感悟

向量線性運(yùn)算的基本方法(1)類比法：向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項(xiàng)”、“公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用運(yùn)算律，簡化運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算：(a＋b)－3(a－b)－8a.解答解(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.類型二向量共線的判定及應(yīng)用命題角度1判定向量共線或三點(diǎn)共線例2已知非零向量e1，e2不共線.解答解

∵b＝6a，∴a與b共線.證明∴A，B，D三點(diǎn)共線.反思與感悟(1)向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線.(2)利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線，一般先任取兩點(diǎn)構(gòu)造向量，從而將問題轉(zhuǎn)化為證明兩向量共線，需注意的是，在證明三點(diǎn)共線時(shí)，不但要利用b＝λa(a≠0)，還要說明向量a，b有公共點(diǎn).答案解析A，B，D∴A，B，D三點(diǎn)共線.命題角度2利用向量共線求參數(shù)值例3已知非零向量e1，e2不共線，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定k的值.解答解∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，則(k－λ)e1＝(λk－1)e2，∴k＝±1.反思與感悟利用向量共線定理，即b與a(a≠0)共線?b＝λa，既可以證明點(diǎn)共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.跟蹤訓(xùn)練3

設(shè)兩個(gè)不共線的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，問是否存在實(shí)數(shù)λ，μ，使d＝λa＋μb與c共線？解答解d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d與c共線，則存在實(shí)數(shù)k，使得d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.因?yàn)閑1與e2不共線，故存在實(shí)數(shù)λ和μ，使得d與c共線，此時(shí)λ＝－2μ.類型三用已知向量表示其他向量答案√解析解析示意圖如圖所示，解答達(dá)標(biāo)檢測1.下列各式計(jì)算正確的有

(1)(－7)6a＝－42a；(2)7(a＋b)－8b＝7a＋15b；(3)a－2b＋a＋2b＝2a；(4)4(2a＋b)＝8a＋4b.A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)答案1234√解析5解析(1)(3)(4)正確，(2)錯，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.1234答案解析5√3.設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，則

A.k＝0 B.k＝1C.k＝