必修四 一等獎

1.4.3

正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象一二思維辨析一、正切函數(shù)的圖象問題思考1.根據(jù)同角的三角函數(shù)基本關(guān)系中的商數(shù)關(guān)系,你能否推斷y=tanx是一個周期函數(shù)?一二思維辨析2.填空:(1)正切函數(shù)的圖象(如圖):

(2)正切函數(shù)的圖象叫做正切曲線.(3)正切函數(shù)的圖象特征:正切曲線是由被相互平行的直線___________________所隔開的無窮多支曲線組成的.一二思維辨析二、正切函數(shù)的性質(zhì)問題思考1.觀察正切曲線,思考:正切函數(shù)的值域是什么?正切函數(shù)是整個定義域上的增函數(shù)嗎?正切函數(shù)會不會在某一區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)?正切函數(shù)的圖象關(guān)于某些直線對稱嗎?關(guān)于某些點(diǎn)對稱嗎?提示正切函數(shù)的值域是R;正切函數(shù)在整個定義域上不是增函數(shù);正切函數(shù)不會在某一區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),正切函數(shù)的圖象不可能關(guān)于某條直線對稱;關(guān)于一些點(diǎn)是對稱的.一二思維辨析2.填空:一二思維辨析一二思維辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)正切函數(shù)的定義域和值域都是R.(

)(2)正切函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù).(

)(3)函數(shù)y=|tanx|與y=tanx的周期相等,都是π.(

)(4)函數(shù)y=tanx的所有對稱中心是(kπ,0)(k∈Z).(

)(5)直線y=a與正切函數(shù)y=tanx圖象相鄰兩個交點(diǎn)之間的距離為π.(

)答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)√

(6)√

(7)×

(8)×

探究一探究二探究三思維辨析正切函數(shù)的定義域與值域問題【例1】

求下列函數(shù)的定義域和值域:分析根據(jù)正切函數(shù)的定義域和值域并結(jié)合正切函數(shù)的圖象求解.探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析求正切函數(shù)定義域的方法及注意點(diǎn):求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時,除了求函數(shù)定義域的一般要求外,還要保證正切函數(shù)y=tan

x有意義,即x≠+kπ,k∈Z.而對于構(gòu)建的三角不等式,常利用正切函數(shù)的圖象求解.解形如tan

x>a的不等式的步驟:探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析正切函數(shù)的圖象及其應(yīng)用角度1

求單調(diào)區(qū)間探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析角度2

比較大小【例3】

不通過求值,比較下列各組中兩個三角函數(shù)值的大小:分析利用周期性化角到某個單調(diào)區(qū)間內(nèi)→利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析

正切函數(shù)的單調(diào)性在比較大小中的應(yīng)用技巧利用正切函數(shù)的單調(diào)性比較兩個正切值的大小,實(shí)際上是將兩個角利用函數(shù)的周期性或誘導(dǎo)公式放在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)比較大小.探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析正切函數(shù)的周期性與奇偶性【例4】

(1)求函數(shù)

的最小正周期;(2)已知函數(shù)f(x)=asinx+btanx+2018,若f(2019)=-1,求f(-2019)的值.分析(1)根據(jù)正切函數(shù)最小正周期求解;(2)根據(jù)函數(shù)y=asin

x+btan

x是奇函數(shù)求解.探究一探究二探究三思維辨析(2)令g(x)=asin

x+btan

x,則f(x)=g(x)+2

018.因?yàn)間(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asin

x+btan

x)=-g(x),所以g(x)是奇函數(shù).因?yàn)閒(2

019)=g(2

019)+2

018=-1,所以g(2

019)=-2

019,則g(-2

019)=2

019,故f(-2

019)=g(-2

019)+2

018=2

019+2

018=4

037.探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析答案(1)A

(2)±2弄錯正切函數(shù)圖象的對稱中心致誤

探究一探究二探究三思維辨析探究一探究二探究三思維辨析正切函數(shù)y=tan

x圖象的對稱中心是

(k∈Z),而不是(kπ,0)(k∈Z),要熟記.在求參數(shù)的值時,務(wù)必注意參數(shù)的取值范圍,在所給定的范圍內(nèi)求解.12345答案B6123452.函數(shù)f(x)=sinxtanx(

)A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.是非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)由f(-x)=sin

(-x)·tan(-x)=(-sin

x)·(-tan

x