2022年福建省高考數(shù)學(xué)考前預(yù)測(cè)試卷（含解析）

福建瑞名考微考考瑞登制裁基

（含答案）

一、單選題（60分）

TI兀

1.復(fù)數(shù)z=cos§+isin§,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.設(shè)集合P={x|x2-4x+3<0},Q={y|y=Jx-2}則PClQ=

A.[1,3]B.[2,3jC.[0,+oo）D.0

3.運(yùn)行如圖所示程序，其中算術(shù)運(yùn)算符MOD是用來(lái)求余數(shù)，若輸入加和〃的值分別為153

和119,則輸出〃?的值是

［金）

A.0B.2C.17D.34

2x+3y-520

4.已知X,y滿足不等式組＜3x+2y—10M0,則x-2y的最大值為

x-yWO

A.6B.2

C.-1D.-2

5.已知命題p：3mcR,使得〃x）=（2m-1）尤2,"；用是暴函數(shù)，且在（0,+8）上

單調(diào)遞增.命題4：XCR,%2一1<兀，，的否定是“7XGR,》2一1>￡，，則下列命題

為真命題的是（）

A.（—>〃）vqB.（—>〃）△（—iq）C.〃A（r）D.p

6.函數(shù)y=lnL^+sinx的圖象大致為

1+x

7.如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1，在其上用粗實(shí)線和粗虛線畫出了某幾何體的三視

圖，其中俯視圖中的曲線是四分之一的圓弧，則這個(gè)幾何體的體積可能是

c8

B.2nH—

3

C.27r+8D.8"+8

8.如圖，在?ABC中，C=6W,BC=25AC=6,點(diǎn)。在邊8c上，且

sinABAD=其彳，則CD等于（）

7

2百

亍D音

9.在正方形ABCO中，A6=4,點(diǎn)E、尸分別是AB、AO的中點(diǎn)，將ZVLEF沿瓦'折

起到AA'EV的位置，使得A'C=2jL在平面A，BC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)8作BG〃平面A'所交邊

AC上于點(diǎn)G，則A'G=

25/3

C.V3D.半

,3~3~

2兀

10.已知函數(shù)/(x)=2sin(<yx+e)+l（。＞。,|同＜]),滿足了(^--x)=2-/(x),

且對(duì)任意xeR,都有/（幻之/勺）當(dāng)切取最小值時(shí)，函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為

,71kn71kii^兀兀

A.[——+—,-+——,左GZB.[--F2kji,—F,kGZ

12343124

r7iku7iku,,

C.[——+—,—+—],k&T.D.[----卜2kit,--F2^7tJ,k&Z

123123

11.做一個(gè)游戲：讓大家各自隨意寫下兩個(gè)小于1的正數(shù)，然后請(qǐng)他們各自檢查一下，所寫

的兩數(shù)與1是否構(gòu)成一個(gè)銳角三角形的三邊，最后把結(jié)論告訴你，作為主角的你，只需將每

個(gè)人的結(jié)論記錄下來(lái)就行了.假設(shè)有“個(gè)人說(shuō)“能”，而有加個(gè)人說(shuō)“不能”，那么由此可以算

得圓周率兀的近似值為

nm4/24m

A.----B.----C.----D.----

m+nm+nm+nm-\-n

《+匚1的左、

12.已知橢圓c：右焦點(diǎn)分別為6、B,過(guò)K且斜率為1的直線/交橢

43

圓C于A、3兩點(diǎn)，則AEAB的內(nèi)切圓半徑為（）

.V2R2V2r3V2D.逑

7777

二、填空題(20分)

13.已知2=(—1,3),方=(1,。，若(a-2〃)_La,則［與B的夾角為.

31

14.(x+-)(2x一一》展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.

XX

Y2丫2

15.己知尸是雙曲線:一4二1(a>0,/?>0)的右焦點(diǎn),A是雙曲線上位于第一象

a2b2

限內(nèi)的一點(diǎn)，OAOF^\OFf,直線。4的方程為了=孚%,則雙曲線的離心率為

16.若直線y=H+b是曲線y=e'的切線，也是曲線y=ln(x+2)的切線，則"=.

三、解答題(70分)

17.已知數(shù)列｛4,｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足邑=2,S4=16,｛4+1｝是等比數(shù)列，

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若%>0,設(shè)〃,=log2(弘+3),求數(shù)列金一的前〃項(xiàng)和.

18.某公司計(jì)劃購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以一次性

額外購(gòu)買幾次維修服務(wù)，每次維修服務(wù)費(fèi)用200元，另外實(shí)際維修一次還需向維修人員支付

小費(fèi)，小費(fèi)每次50元.在機(jī)器使用期間，如果維修次數(shù)超過(guò)購(gòu)機(jī)時(shí)購(gòu)買的維修服務(wù)次數(shù)，則

每維修一次需支付維修服務(wù)費(fèi)用500元，無(wú)需支付小費(fèi).現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)一次

性購(gòu)買幾次維修服務(wù)，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，得下

面統(tǒng)計(jì)表：

維修次數(shù)89101112

頻數(shù)1020303010

以這100臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示1臺(tái)機(jī)器三

年內(nèi)共需維修的次數(shù)，〃表示購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的維修次數(shù).

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X<〃)20.8,確定〃的最小值;

(3)以在維修上所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在〃=1()與〃=11之中選其一，應(yīng)選用哪

個(gè)？

19.如圖，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，二面角8—一C是直二面角，AB1AC,AB=3,

AD=DF=FC=-AC=1.

2

(1)求證：48,平面ACFD；

(2)求二面角口一的平面角的余弦值.

20.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G上的點(diǎn)均在曲線C2：/+y2-4y+3=0外，且對(duì)G上

任意一點(diǎn)P,P到直線y=-1的距離等于該點(diǎn)與曲線G上點(diǎn)的距離的最小值.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡G的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)A(0,-2)的直線與曲線G交于不同的兩點(diǎn)M、N,過(guò)點(diǎn)〃的直線與曲線G交

于另一點(diǎn)。，且直線MQ過(guò)點(diǎn)3(2,2),求證：直線NQ過(guò)定點(diǎn).

21.已知函數(shù)/(x)=3(2x+l)e'+ca.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)|/(x)|的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)<0的負(fù)整數(shù)解有且只有兩個(gè)，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

22.在直角坐標(biāo)系xOy下，曲線G的參數(shù)方程為《，,(9為參數(shù))，曲線C的

y=1+sin

x=tcosa,Ji

參數(shù)方程為<a為參數(shù)，且ENO,o<a<-),以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，工軸

y=/sina,2

的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c,的極坐標(biāo)方程為夕=2rcos。，常數(shù)/?>(),曲線

與曲線G，G的異于。的交點(diǎn)分別為A，B.

(I)求曲線c和曲線G的極坐標(biāo)方程；

⑵若|。4|+|。3|的最大值為6,求r的值.

23.設(shè)函數(shù)/(x)=|2x+l|+|x-a|(a>0).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式/(x)>8的解集；

3

(2)若土eR,使得/(X)WQ成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

答案

1.B

2.A

3.C

4.C

【解析】

分析：畫出不等式組表示的可行域，平移直線z=x-2y,由圖可找出最優(yōu)解，計(jì)算目標(biāo)函

數(shù)的最大值即可.

2x+3y-520

詳解：畫出不等式組<3x+2y-10K0表示的平面區(qū)域,如圖所示的陰影部分

x-y<0

平移直線z=x-2y,由圖可知,

目標(biāo)函數(shù)z=x-2y過(guò)點(diǎn)A時(shí)取得最大值，

2x+3y-5=0,、

由八，解得

x—y=0

此時(shí)x—2y取得最大值為1一2=—1，故選C.

5.C

6.A

7.B

8.C

9.B

10.A.

11.D

12.C

14.200

15.y/3

【解析】

分析：由礪?礪=而]

I，可得AF_Lx軸，從而求得4C,一，代入直線。4的方程為

y=2^X,可得結(jié)果.

3

詳解：?：麗?麗=|礪，行|cos<AO/=|麗『，

...函cos<A亦=|次卜,Wx軸，

，—,b2（b2]

令無(wú)一c,1#y———，??Ac,—,

AaaJ

又???。4的方程為y=^x,.與一名叵，.?.貴=式二U=2叵，

3—一—acac3

c3

即e-」=2"，e1――~-^e—1=0,e—V3,故答案為班.

e33

,-1

16.1或一

e

7n+1,n

17?⑴??=--1>或4=一（—2嚴(yán)一1；（2）

【解析】

分析：（1）根據(jù)邑=2,54=16,列出關(guān)于首項(xiàng)外,公比q的方程組，解得q、q的值,

即可得｛%+1｝的通項(xiàng)公式，從而可得結(jié)果；（2）結(jié)合（1）可得d=log2（3%+3）=〃+l,

11]1

二—；——--利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

2%（〃+1）廠（〃+2=）〃+1〃+2

詳解：（1）設(shè)等比數(shù)列｛%+1｝的公比為夕，其前〃項(xiàng)和為T”，

因?yàn)镾z=2,84=16,則(=4,(=20,

易知#1,所以(4+以1一爐)=4①，-+1)』-力=20②，

\-q\-q

由②?①得1+才=5,解得q=±2,

當(dāng)<7=2時(shí)，tZ|=—；當(dāng)q=-2時(shí)，4=—5；

所以％+1=g?2"T=g-,或4+1=(-4)?(-2廣=一(一2)"’，

即a“=W--1,或a“=一(一2廣,一1.

(2)因?yàn)?>0,所以勺=*--1,所以勿=log2(3a?+3)=〃+1,

1_11_____1_

。也用(〃+1)(〃+2)EIn+2'

所以數(shù)列I」一\的前n項(xiàng)和為

I她+J

(11、(1I-1n

(23j(34j[n+ln+2)2n+22(“+2)

18.(1)見(jiàn)解析；(2)II；(3)10

【解析】

分析：（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的頻數(shù)，由古典概型概率公式求出各隨機(jī)變量的頻率，以頻率代替

概率可得X的分布列；（2）因?yàn)镻（X<10）=0.1+0.2+0.3=0.6<0.8,

P(X<ll)=0.1+0.2+0.3+0.3=0.9>0.8,所以"的最小值為11；(3)求出當(dāng)〃=1()

時(shí)，在維修上所需費(fèi)用為X元，求出外的期望，當(dāng)〃=11時(shí)，在維修上所需費(fèi)用為X元，

求出力的期望，比較兩數(shù)學(xué)期望的大小，即可的結(jié)果.

詳解：（1）山統(tǒng)計(jì)表并以頻率代替概率可得，X的分布列為

X89101112

p0.10.20.30.30.1

（2）因?yàn)镻（XW10）=0.1+0.2+0.3=0.6<0.8,

P（X<11）=0.1+0.2+0.3+0.3=0.9>0.8,

所以〃的最小值為11.

（3）記當(dāng)〃=10時(shí)，在維修上所需費(fèi)用為乂元，則X的分布列為

24002450250030003500

p0.10.20.30.30.1

所以E（X）=2400x0.1+2450x0.2+2500x0.3+3000x0.3+3500x0.1=2730（元）

記當(dāng)”=11時(shí)，在維修上所需費(fèi)用為打元，則X的分布列為

26002650270027503250

p0.10.20.30.30.1

所以E（X）=2600x0.1+2650x0.2+2700x0.3+2750x0.3+3250x0.1=2750（元）

因?yàn)槠撸辏雌撸▉V），所以應(yīng)選擇〃=10.

19.（1）見(jiàn)解析；（2）且

4

詳解：（1）連接CO,在等腰梯形ACFD中，過(guò)。作OG,AC交AC于點(diǎn)G,因?yàn)?/p>

AD=DF=FC=-AC=1,所以AG=,，DG=—,CG=~,所以。。=有，所

2222

以402+。。2=4。2,即CD_LAO,又二面角B-AD-C是直二面角，C￡）u平面

ACFD,所以C￡）_L平面A5E￡）,

又ABu平面ABED,所以A6，C￡）,又因?yàn)锳BLAC,ACoCD^C,AC.CDu

平面ACFD，所以AB_L平面ACFD.

HD

(2)如圖，在平面ACFD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作由(1)可知Ab_LAH,以A為原

點(diǎn)，通，衣，印后的方向?yàn)閄軸，y軸，Z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫Z.

則3(3,0,0),。⑴」,且)，尸(0,3,走)，C(0,2,0),

2222

1向

所以配=(-3,2,0),CF，設(shè)萬(wàn)=(x,y,z)是平面必￡的一個(gè)法向量,

227

n_LBC-3x+2y=0

則《一，所以《

nlCF-y+V3z=0

取x=2,則y=3,z=5/3

即汽=(2,3,6),

由(1)可知CDJ_平面8瓦＞，

所以前=(0,-3,走)是平面BED的一個(gè)法向量,

22

所以迎回=耦“親

又二面角廠一BE—。的平面角為銳角，

所以二面角廠一BE—。的平面角的余弦值為且.

4

20.(1)f=8y；(2)(8,2)

【解析】

分析：⑴設(shè)尸(x,y),則尸到直線y=-l的距離等于|y+l|,又產(chǎn)到圓G上的點(diǎn)的距離

的最小值為(y—2)2—1,將=擊2+(k2)2__],化簡(jiǎn)可得結(jié)果；口)設(shè)點(diǎn)

可得直線MN的方程，直線"Q的方程與直線NQ

的方程，結(jié)合點(diǎn)3（2,2）在直線MQ上，可得直線NQ的方程得

（r1+r2）x-8^-8（r1+r2）+16=0,從而可得結(jié)果.

詳解：（1）由已知得曲線是以G（0,2）為圓心，1為半徑的圓.

設(shè)尸（x,y）,則p到直線y=-l的距離等于僅+1|,又。到圓。2上的點(diǎn)的距離的最小值為

彌卜1=信+（k2）、1，

所以由已知可得僅+1|=次+（—）2-1，化簡(jiǎn)得f=8y,

所以曲線G的方程為f=8y.

（2）設(shè)點(diǎn)易得直線M2,NQ的斜率均存在，

，『一J』

從而直線MN的斜率卜=88?

I、O

所以直線MN的方程是y—［產(chǎn)=：?+幻（X—）,

88

即（/+：）x—8y—tty=0,

同理直線M。的方程為Q+t2）x-8y—%=0,

直線NQ的方程為&+/2）》一8）一征2=0，

點(diǎn)（0,-2）在直線肱V上，所以％=16,即￡=7，

點(diǎn)3（2,2）在直線MQ上，2（r+?2）-16-ff2=0,即2（3+f2-16—回=0,

37人

化簡(jiǎn)得格=84+幻T6,

代入直線NQ的方程得心+弓）x-8）一8&+%）+16=0,

BP（/1+/2）（x-8）-8（y-2）=0.??直線照過(guò)定點(diǎn)（8,2）.

21.(1)見(jiàn)解析；(2)

【解析】

分析：⑴求出尸(x),在定義域內(nèi)，分別令/'(力>0求得x的范圍，可得函數(shù)“X)增

區(qū)間，尸(力<0求得了的范圍，可得函數(shù)/(x)的減區(qū)間；⑵當(dāng)了<0時(shí)，〃x)<0可

化為一0<(22內(nèi),則函數(shù)y(x)<0的負(fù)整數(shù)解有且只有兩個(gè)等價(jià)于滿足直線y=一區(qū)

3x3

在曲線g(x)=(2"+怛下方時(shí)的負(fù)整數(shù)X有且只有兩個(gè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，

由單調(diào)性，可得g(x)有最大值g(-l)=eT,結(jié)合函數(shù)圖像可得到結(jié)果.

詳解：(1)當(dāng)a=0時(shí),/(x)=3(2x+l)e\所以/'(x)=(6x+9)e\

由/'(x)=(6x+9)e"=0可得：x=-^.

aa

所以當(dāng)》<一；時(shí)，/,(x)<0,/(x)是減函數(shù)；當(dāng)X〉—,時(shí)，f(x)>0,/(x)是增

函數(shù).

因?yàn)楫?dāng)x<—]■時(shí)，/(x)<0,當(dāng)xN—萬(wàn)時(shí)，/(x)20.

所以函數(shù)|7(x)|的單調(diào)遞增區(qū)間是(―8,—|),(―g,+8),

31

單調(diào)遞減區(qū)間是(一

⑵當(dāng)x<o時(shí)，/(%)<0可化為一0<(2*+3,則函數(shù)/(x)<0的負(fù)整數(shù)解有且只

3x

有兩個(gè)等價(jià)于滿足直線丁=-三在曲線8(》)=色土也下方時(shí)的負(fù)整數(shù)8有且只有兩個(gè).

DX

g'(x)*(2x—l)(x+l),令得x=T,

當(dāng)xe(-oo,-l)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)xe(T,0)時(shí),g'(x)<0,g(x)單

調(diào)遞減.g(x)有最大值g(-l)=eL

又g卜9)=。，當(dāng)：時(shí)，g(—2)=|e=,g(_3)=Y，

所以叱〈一@<過(guò)二，解得一2e-2<a4—5e-3,

3322

所以滿足題意的〃的取值范圍是(一?|e-2,-5e'.

22.(1)p=2sin(9,9=a；(2)2加

【解析】

分析：(1)消參得到曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式進(jìn)行求

解；(2)利用極坐標(biāo)方程寫出目的表達(dá)式，求和，利用輔助角公式進(jìn)行求解.

詳解：(1)由V[得

y=1+sin(p,

即》2+/一2y=0,所以02—26^6=0,

所以曲線G的極坐標(biāo)方程為P