第一章 數(shù)的整除（壓軸題專練）（解析版）

第一章數(shù)的整除（壓軸題專練）壓軸題1分組問題例題1一筐蘋果，平均分給2個(gè)小朋友或3個(gè)小朋友或4個(gè)小朋友或5個(gè)小朋友，都正好分完，這筐蘋果最少應(yīng)有（

）A．60個(gè) B．120個(gè) C．900個(gè) D．30個(gè)【答案】A【分析】要求這框蘋果最少有多少個(gè)，即要求2，3，4，5的最小公倍數(shù)．【詳解】因?yàn)?，3，4和5的最小公倍數(shù)是：，所以這筐蘋果最少應(yīng)有60個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查最小公倍數(shù)的算法，掌握最小公倍數(shù)的算法是解題關(guān)鍵．變式1教師節(jié)這天，小佳同學(xué)用24朵百合和32朵康乃馨做成花束送給老師，要求每束花中的百合的朵數(shù)相同，康乃馨的朵數(shù)也相同，那么這56朵花最多能做成束花，每束花中百合有朵．【答案】83【分析】求出24、32的最大公約數(shù)即為能夠做成的最大花束數(shù)量，進(jìn)一步可以得到每束花中每種花的數(shù)量．【詳解】解：∵∴這56朵花最多能做成8束花，每束花中百合有3朵．故答案為8；3．【點(diǎn)睛】本題考查因數(shù)分解的應(yīng)用，熟練地對(duì)給定的數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解是解題關(guān)鍵．壓軸題2余數(shù)問題例題2一批玩具要送給偏遠(yuǎn)地區(qū)某個(gè)幼兒園的小朋友，玩具總數(shù)在100~150之間．若按一個(gè)小朋友3個(gè)玩具這樣分，分到玩具的小朋友中就有一個(gè)小朋友少2個(gè)；若按一個(gè)小朋友4個(gè)玩具這樣分，分到玩具的小朋友中就有一個(gè)小朋友少3個(gè)；若按一個(gè)小朋友5個(gè)玩具這樣的分，分到玩具的小朋友中就有一個(gè)小朋友少4個(gè)．求這批玩具有多少個(gè)？【答案】121個(gè)【分析】根據(jù)題意得到每個(gè)人分3、4、5個(gè)玩具，總有一個(gè)小朋友只有1個(gè)，所有玩具的總數(shù)是3、4、5的倍數(shù)再加上1．求出3、4、5的最小公倍數(shù)，再根據(jù)玩具總數(shù)的范圍，即可求解．【詳解】解：由題意得，每個(gè)人分3、4、5個(gè)玩具，總有一個(gè)小朋友只有1個(gè)，所有玩具的總數(shù)是3、4、5的倍數(shù)再加上1．因?yàn)?、4、5的最小公倍數(shù)是3×4×5=60，由于玩具總數(shù)在100~150之間，所以玩具總數(shù)是60×2+1=121（個(gè)）【點(diǎn)睛】本題考查了用最小公倍數(shù)解實(shí)際問題，根據(jù)題意得到玩具總數(shù)是3、4、5的倍數(shù)再加上1是解題關(guān)鍵．變式2某數(shù)被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，滿足以上條件的數(shù)中最小的那個(gè)是多少？【答案】59【分析】這個(gè)數(shù)，加上1，就能同時(shí)被2，3，4，5整除，2，3，4，5的最小公倍數(shù)為60，滿足要求的最小的數(shù)為：60?1＝59，據(jù)此解答即可．【詳解】2，3，4，5的最小公倍數(shù)為60，滿足要求的最小的數(shù)為：60?1＝59，故答案為：59．【點(diǎn)睛】本題考查了孫子定理，這道題如果按孫子定理去解答的話比較麻煩，本題通過(guò)轉(zhuǎn)化表述方法使問題變得簡(jiǎn)單．壓軸題3插旗問題例題3在1.5千米長(zhǎng)的公路一側(cè)等距離種樹（兩端都種），原計(jì)劃每隔10米一棵，并已放好種樹的標(biāo)志，后來(lái)改成每隔12米一棵，那么不用移動(dòng)的標(biāo)志有幾個(gè)？【答案】26個(gè)【分析】根據(jù)題意，首先確定不用移動(dòng)的標(biāo)記是10和12的公倍數(shù)，再求出最小公倍數(shù)，即間隔多少米的標(biāo)記不動(dòng)，然后求出一共有多少個(gè)這樣的長(zhǎng)度即可解答，注意首尾都要種樹，所以要加上一個(gè)標(biāo)記．【詳解】因?yàn)?0=2×5，12=2×2×3，所以10和12的最小公倍數(shù)是2×5×2×3=60，即每隔60米一個(gè)標(biāo)記不動(dòng)，又1.5千米=1500米，所以不用移動(dòng)的標(biāo)志有1500÷60+1=26（個(gè)），故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查了公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的應(yīng)用，理解題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的數(shù)學(xué)問題來(lái)解決是解答的關(guān)鍵．變式3在1.8千米長(zhǎng)的公路一側(cè)有一排電線桿，相鄰兩根之間距離都是60米．由于電纜的增多，負(fù)荷增大，需要把電線桿之間的距離改為45米，起點(diǎn)那根電線桿不動(dòng)，那么從起點(diǎn)開始到第一根不必移動(dòng)的電線桿之間的距離是多少？并計(jì)算不用移動(dòng)的電線桿有多少根？【答案】180米，11根【分析】由題意可知：不必移動(dòng)的電線桿距離起點(diǎn)的米數(shù)既是45的倍數(shù)，又是60的倍數(shù)，是45與60的公倍數(shù)．45與60的最小公倍數(shù)是180，所以至少再隔180米可以有一根電線桿不移動(dòng)．用公路總長(zhǎng)÷180再加1即可求出不用移動(dòng)的電線桿的數(shù)量.【詳解】45＝3×3×5，60＝2×2×3×5，因?yàn)?5和60的最小公倍數(shù)是：2×2×3×3×5＝180，所以至少再隔180米又有一根不必移動(dòng)；1.8千米=1800米，1800÷180+1=11（根）答：從起點(diǎn)開始到第一根不必移動(dòng)的電線桿之間的距離是180米，不用移動(dòng)的電線桿有11根．【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是求出60和45的最小公倍數(shù)，從而問題得解．壓軸題4整除證明問題例題4如果設(shè)為大于3的正偶數(shù)，那么緊鄰它而比它小的偶數(shù)可以表示為，緊鄰它而比它大的偶數(shù)可以表示為．因?yàn)?，所以我們可以說(shuō)三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)之和一定能被3整除．試用上面的方法說(shuō)明“三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)之和能被3整除”．【答案】見解析【分析】我們可設(shè)a為大于1的正整數(shù)，那么和它相鄰的兩個(gè)整數(shù)為a-1和a+1，求出這三個(gè)數(shù)之和，然后再做判斷即可．【詳解】設(shè)a為大于1的正整數(shù)，那么和它相鄰的兩個(gè)整數(shù)為a-1和a+1∴三個(gè)數(shù)之和為a-1+a+a+1=3a∴三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)之和一定能被3整除．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)的整除，需仔細(xì)分析題意，才可解決問題．解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系．變式4我們把形如：，，，的正整數(shù)叫“軸對(duì)稱數(shù)”，例如：22，131，2332，40604……(1)寫出一個(gè)最小的五位“軸對(duì)稱數(shù)”．(2)設(shè)任意一個(gè)位的“軸對(duì)稱數(shù)”為，其中首位和末位數(shù)字為，去掉首尾數(shù)字后的位數(shù)表示為，求證：該“軸對(duì)稱數(shù)”與它個(gè)位數(shù)字的11倍的差能被10整除．(3)若一個(gè)三位“軸對(duì)稱數(shù)”個(gè)位數(shù)字小于或等于4與整數(shù)的和能同時(shí)被5和9整除，求出所有滿足條件的三位“軸對(duì)稱數(shù)”．【答案】(1)最小的五位“軸對(duì)稱數(shù)”是10001；(2)證明見解析；(3)滿足條件的三位“軸對(duì)稱數(shù)”為：131，222，313，404，494【分析】（1）寫出最小的五位“軸對(duì)稱數(shù)”，即首位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字為，其它為的數(shù)；（2）先表示這個(gè)任意的位“軸對(duì)稱數(shù)”：，再表示“軸對(duì)稱數(shù)”與它個(gè)位數(shù)字的11倍的差，合并同類項(xiàng)并提公因式，可得結(jié)論；（3）設(shè)這個(gè)三位“軸對(duì)稱數(shù)”為，根據(jù)與的和能同時(shí)被5和9整除，即能被45整除，設(shè)，化為，所以能同時(shí)被45整除，分情況計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】（1）解：最小的五位“軸對(duì)稱數(shù)”是10001；（2）證明：由題意得：，該“軸對(duì)稱數(shù)”與它個(gè)位數(shù)字的11倍的差能被10整除；（3）解：設(shè)這個(gè)三位“軸對(duì)稱數(shù)”為，與整數(shù)的和能同時(shí)被5和9整除，設(shè)，則，，∵能同時(shí)被5和9整除，∴能同時(shí)被5和9整除，即的值為0或45或90或135，又，當(dāng)時(shí)，這個(gè)三位“軸對(duì)稱數(shù)”是131，當(dāng)時(shí)，這個(gè)三位“軸對(duì)稱數(shù)”是222，當(dāng)時(shí)，這個(gè)三位“軸對(duì)稱數(shù)”是313，當(dāng)時(shí)，這個(gè)三位“軸對(duì)稱數(shù)”是404，當(dāng)時(shí)，這個(gè)三位“軸對(duì)稱數(shù)”是494，所有滿足條件的三位“軸對(duì)稱數(shù)”為：131，222，313，404，494．壓軸題5末位零個(gè)數(shù)問題例題5的積的末尾有幾個(gè)連續(xù)的0？【答案】24【分析】找規(guī)律，本來(lái)個(gè)位數(shù)字就是0的，個(gè)位數(shù)字是5與偶數(shù)相乘，個(gè)位可得到0的，據(jù)此分析解答．【詳解】這100個(gè)數(shù)中，個(gè)位為0的數(shù)有：10，20，30，40，60，70，80，90，100共10；因?yàn)槊總€(gè)5乘以偶數(shù)都是10，所以剩下的每有一個(gè)個(gè)位是5的就再加一個(gè)：5，15，35，45，55，65，85，95共8；25，75，50乘以4的倍數(shù)會(huì)有各2個(gè)0，所以要再加上6個(gè)；10＋8＋6＝24，答：這100個(gè)數(shù)的乘積的末尾會(huì)有24個(gè)連續(xù)的0．【點(diǎn)睛】本題主要考查多個(gè)數(shù)連乘的知識(shí)點(diǎn)，尋找乘積的個(gè)位數(shù)的規(guī)律的知識(shí)，尤其注意5的倍數(shù)特征．變式5.1×2＋3×4＋5×6＋…＋199×200的結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？【答案】偶數(shù)，理由見詳解【分析】計(jì)算時(shí)，第一步先算乘，乘都是奇數(shù)乘偶數(shù)，積都是偶數(shù)；第二步再算加，都是偶數(shù)相加，和還是偶數(shù)，所以最后的結(jié)果一定是偶數(shù)．【詳解】結(jié)果是偶數(shù)，因?yàn)槊恳粋€(gè)乘積都是偶數(shù)，這些偶數(shù)的和一定是偶數(shù)．壓軸題6奇偶性判斷例題6已知是一個(gè)素?cái)?shù)，是一個(gè)偶數(shù)，，求的值，并把它分解素因數(shù)．【答案】【分析】2、3、5、7、11、13、17、19是常見的素?cái)?shù)，利用這些素?cái)?shù)進(jìn)行分析求解．【詳解】，是偶數(shù)，2018是偶數(shù)，因此一定是偶數(shù)，而偶數(shù)中只有2是素?cái)?shù)，因此，，．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)素?cái)?shù)的認(rèn)識(shí)，20以內(nèi)的素?cái)?shù)：2、3、5、7、11、13、17、19，熟練掌握是關(guān)鍵．變式6陽(yáng)光小學(xué)五年級(jí)同學(xué)參加學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有20道題．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是：答對(duì)一道題得5分，答錯(cuò)一道題倒扣1分，不答不扣分也不得分．如果所有題都答，那么參賽的同學(xué)總分?jǐn)?shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？【答案】偶數(shù)【分析】如果答對(duì)了奇數(shù)道，則也答錯(cuò)了奇數(shù)道，又因1和5也是奇數(shù)，奇數(shù)之積為奇數(shù)，而奇數(shù)之差為偶數(shù)；如果答對(duì)了偶數(shù)道，則也答錯(cuò)了偶數(shù)道，又偶數(shù)與奇數(shù)之積為偶數(shù)，偶數(shù)之差為偶數(shù)，據(jù)此解答．【詳解】如果全答對(duì)可得20×5＝100（分）即總分為偶數(shù)；若錯(cuò)一道要從中扣去5＋1＝6（分），根據(jù)偶數(shù)之差為偶數(shù)，所以總分為偶數(shù)；若一題都不答得0分，所以無(wú)論答錯(cuò)或答得分都為偶數(shù)．故答案為：偶數(shù)鞏固訓(xùn)練1.一個(gè)四位數(shù)，千位上是最小的合數(shù)，百位上是最小的奇數(shù)，十位上是最小的素?cái)?shù)，個(gè)位上是最小的自然數(shù)，這個(gè)數(shù)是．【答案】4120【分析】根據(jù)合數(shù)、奇數(shù)、素?cái)?shù)和自然數(shù)的定義，按照要去寫出對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)．【詳解】最小的合數(shù)是4，所以千位上的數(shù)字是4；最小的奇數(shù)是1，所以百位上的數(shù)字是1；最小的素?cái)?shù)是2，所以十位上的數(shù)字是2；最小的自然數(shù)是0，所以個(gè)位上的數(shù)字是0．故答案是：4120．【點(diǎn)睛】本題考查合數(shù)、奇數(shù)、素?cái)?shù)和自然數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些數(shù)的定義，能夠確定最小的是多少．2.一間客廳長(zhǎng)8米，寬4.5米，現(xiàn)要鋪正方形的地磚，市場(chǎng)上地磚有，，，四種規(guī)格．請(qǐng)問選擇哪種規(guī)格的地磚能整塊鋪滿，并計(jì)算出需要這樣的地磚多少塊？【答案】選規(guī)格，需要144塊【分析】要想地磚能整塊鋪滿，那么正方形地磚的邊長(zhǎng)應(yīng)是客廳的地面長(zhǎng)和寬的公因數(shù)，在四種尺寸中，邊長(zhǎng)50是客廳的地面的長(zhǎng)和寬的公因數(shù)，所以該選50×50的正方形地磚；然后求出塊數(shù)即可，據(jù)此解答．【詳解】（1）該選50×50的正方形地磚；（2）地磚需要的塊數(shù)：8m＝800cm，4.5m＝450cm，（800÷50）×（450÷50）＝16×9＝144（塊）答：該選50×50的正方形地磚；需要144塊．【點(diǎn)睛】本題實(shí)際考查了靈活應(yīng)用公因數(shù)問題解決實(shí)際問題，關(guān)鍵要從地磚整塊鋪滿這個(gè)角度，找到符合要求的公因數(shù)．3.將48名參加義務(wù)植樹的學(xué)生平均分成若干組，使每組人數(shù)不少于4人，也不多于30人，應(yīng)該怎樣分組？【答案】每組4人分12組或每組6人分8組或每組8人分6組或每組12人分4組或每組16人分3組或每組24人分2組．【分析】找出48的大于等于4且小于等于30的因數(shù)，有幾個(gè)因數(shù)，就有幾種分組方法．【詳解】解：因?yàn)樗?8的大于等于4、小于等于30的因數(shù)有4、6、8、12，16、24．因此，48人分組使每組人數(shù)不少于4人，也不多于30人，可有6種分組方法．答：每組4人分12組或每組6人分8組或每組8人分6組或每組12人分4組或每組16人分3組或每組24人分2組．4.甲、乙兩個(gè)小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到20粒，如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲剩余的糖粒數(shù)就是乙現(xiàn)有糖粒數(shù)的2倍；如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖粒數(shù)就是乙的糖粒數(shù)的3倍，那么甲、乙兩個(gè)小朋友共有___________粒糖．【答案】24【分析】根據(jù)甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖數(shù)就是乙的糖數(shù)的2倍，所以甲乙共有的糖的總數(shù)是3的倍數(shù)，又如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖數(shù)就是乙的糖數(shù)的3倍，所以甲乙共有的糖的總數(shù)是4的倍數(shù)，同時(shí)是3和4的倍數(shù)且總數(shù)不超過(guò)40的數(shù)有12，24，36，再進(jìn)行分類討論即可．【詳解】如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖數(shù)就是乙的糖數(shù)的2倍，所以甲乙共有的糖的總數(shù)是3的倍數(shù)，又如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖數(shù)就是乙的糖數(shù)的3倍，所以甲乙共有的糖的總數(shù)是4的倍數(shù)，同時(shí)是3和4的倍數(shù)且總數(shù)不超過(guò)40的數(shù)有12，24，36，①甲乙總數(shù)為12：那么甲給乙一定數(shù)量后，乙的糖數(shù)為4顆，乙給甲一定數(shù)量后，乙的糖數(shù)為3顆．顯然矛盾的；②甲乙總數(shù)為24：那么甲給乙一定數(shù)量后，乙的糖數(shù)為8顆，乙給甲一定數(shù)量后，乙的糖數(shù)為6顆，所以甲原先有17顆，乙有7顆．是合理的；③甲乙總數(shù)為36：那么甲給乙一定數(shù)量后，乙的糖數(shù)為12顆，乙給甲一定數(shù)量后，乙的糖數(shù)為9顆，這時(shí)甲的數(shù)量肯定大于24顆與題目矛盾，綜上可得甲乙兩個(gè)小朋友共有24顆糖．答：甲乙兩個(gè)小朋友一共有24顆糖．故答案為：24．5.一本陳年老賬上記著：84只桶共□22.4□元．□處字跡已不清楚，請(qǐng)把□處數(shù)字補(bǔ)上，并求出桶的單價(jià)．【答案】522.48，單價(jià)6.22元；或622.44，單價(jià)7.41元；或722.40，單價(jià)8.60元【分析】，22.4不管它最前面是什么數(shù)都是可以被4除盡，所以最后的數(shù)字必為4或8或0，才能除