第一章 數(shù)的整除（壓軸題專練）（解析版）

第一章數(shù)的整除（壓軸題專練）壓軸題1分組問題例題1一筐蘋果，平均分給2個小朋友或3個小朋友或4個小朋友或5個小朋友，都正好分完，這筐蘋果最少應有（

）A．60個 B．120個 C．900個 D．30個【答案】A【分析】要求這框蘋果最少有多少個，即要求2，3，4，5的最小公倍數(shù)．【詳解】因為2，3，4和5的最小公倍數(shù)是：，所以這筐蘋果最少應有60個．故選：A．【點睛】本題主要考查最小公倍數(shù)的算法，掌握最小公倍數(shù)的算法是解題關鍵．變式1教師節(jié)這天，小佳同學用24朵百合和32朵康乃馨做成花束送給老師，要求每束花中的百合的朵數(shù)相同，康乃馨的朵數(shù)也相同，那么這56朵花最多能做成束花，每束花中百合有朵．【答案】83【分析】求出24、32的最大公約數(shù)即為能夠做成的最大花束數(shù)量，進一步可以得到每束花中每種花的數(shù)量．【詳解】解：∵∴這56朵花最多能做成8束花，每束花中百合有3朵．故答案為8；3．【點睛】本題考查因數(shù)分解的應用，熟練地對給定的數(shù)進行因數(shù)分解是解題關鍵．壓軸題2余數(shù)問題例題2一批玩具要送給偏遠地區(qū)某個幼兒園的小朋友，玩具總數(shù)在100~150之間．若按一個小朋友3個玩具這樣分，分到玩具的小朋友中就有一個小朋友少2個；若按一個小朋友4個玩具這樣分，分到玩具的小朋友中就有一個小朋友少3個；若按一個小朋友5個玩具這樣的分，分到玩具的小朋友中就有一個小朋友少4個．求這批玩具有多少個？【答案】121個【分析】根據(jù)題意得到每個人分3、4、5個玩具，總有一個小朋友只有1個，所有玩具的總數(shù)是3、4、5的倍數(shù)再加上1．求出3、4、5的最小公倍數(shù)，再根據(jù)玩具總數(shù)的范圍，即可求解．【詳解】解：由題意得，每個人分3、4、5個玩具，總有一個小朋友只有1個，所有玩具的總數(shù)是3、4、5的倍數(shù)再加上1．因為3、4、5的最小公倍數(shù)是3×4×5=60，由于玩具總數(shù)在100~150之間，所以玩具總數(shù)是60×2+1=121（個）【點睛】本題考查了用最小公倍數(shù)解實際問題，根據(jù)題意得到玩具總數(shù)是3、4、5的倍數(shù)再加上1是解題關鍵．變式2某數(shù)被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，滿足以上條件的數(shù)中最小的那個是多少？【答案】59【分析】這個數(shù)，加上1，就能同時被2，3，4，5整除，2，3，4，5的最小公倍數(shù)為60，滿足要求的最小的數(shù)為：60?1＝59，據(jù)此解答即可．【詳解】2，3，4，5的最小公倍數(shù)為60，滿足要求的最小的數(shù)為：60?1＝59，故答案為：59．【點睛】本題考查了孫子定理，這道題如果按孫子定理去解答的話比較麻煩，本題通過轉化表述方法使問題變得簡單．壓軸題3插旗問題例題3在1.5千米長的公路一側等距離種樹（兩端都種），原計劃每隔10米一棵，并已放好種樹的標志，后來改成每隔12米一棵，那么不用移動的標志有幾個？【答案】26個【分析】根據(jù)題意，首先確定不用移動的標記是10和12的公倍數(shù)，再求出最小公倍數(shù)，即間隔多少米的標記不動，然后求出一共有多少個這樣的長度即可解答，注意首尾都要種樹，所以要加上一個標記．【詳解】因為10=2×5，12=2×2×3，所以10和12的最小公倍數(shù)是2×5×2×3=60，即每隔60米一個標記不動，又1.5千米=1500米，所以不用移動的標志有1500÷60+1=26（個），故答案為：26．【點睛】本題考查了公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的應用，理解題意，將實際問題轉化為公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的數(shù)學問題來解決是解答的關鍵．變式3在1.8千米長的公路一側有一排電線桿，相鄰兩根之間距離都是60米．由于電纜的增多，負荷增大，需要把電線桿之間的距離改為45米，起點那根電線桿不動，那么從起點開始到第一根不必移動的電線桿之間的距離是多少？并計算不用移動的電線桿有多少根？【答案】180米，11根【分析】由題意可知：不必移動的電線桿距離起點的米數(shù)既是45的倍數(shù)，又是60的倍數(shù)，是45與60的公倍數(shù)．45與60的最小公倍數(shù)是180，所以至少再隔180米可以有一根電線桿不移動．用公路總長÷180再加1即可求出不用移動的電線桿的數(shù)量.【詳解】45＝3×3×5，60＝2×2×3×5，因為45和60的最小公倍數(shù)是：2×2×3×3×5＝180，所以至少再隔180米又有一根不必移動；1.8千米=1800米，1800÷180+1=11（根）答：從起點開始到第一根不必移動的電線桿之間的距離是180米，不用移動的電線桿有11根．【點睛】解決此題的關鍵是求出60和45的最小公倍數(shù)，從而問題得解．壓軸題4整除證明問題例題4如果設為大于3的正偶數(shù)，那么緊鄰它而比它小的偶數(shù)可以表示為，緊鄰它而比它大的偶數(shù)可以表示為．因為，所以我們可以說三個連續(xù)的偶數(shù)之和一定能被3整除．試用上面的方法說明“三個連續(xù)的正整數(shù)之和能被3整除”．【答案】見解析【分析】我們可設a為大于1的正整數(shù)，那么和它相鄰的兩個整數(shù)為a-1和a+1，求出這三個數(shù)之和，然后再做判斷即可．【詳解】設a為大于1的正整數(shù)，那么和它相鄰的兩個整數(shù)為a-1和a+1∴三個數(shù)之和為a-1+a+a+1=3a∴三個連續(xù)的正整數(shù)之和一定能被3整除．【點睛】本題考查了數(shù)的整除，需仔細分析題意，才可解決問題．解決問題的關鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關系．變式4我們把形如：，，，的正整數(shù)叫“軸對稱數(shù)”，例如：22，131，2332，40604……(1)寫出一個最小的五位“軸對稱數(shù)”．(2)設任意一個位的“軸對稱數(shù)”為，其中首位和末位數(shù)字為，去掉首尾數(shù)字后的位數(shù)表示為，求證：該“軸對稱數(shù)”與它個位數(shù)字的11倍的差能被10整除．(3)若一個三位“軸對稱數(shù)”個位數(shù)字小于或等于4與整數(shù)的和能同時被5和9整除，求出所有滿足條件的三位“軸對稱數(shù)”．【答案】(1)最小的五位“軸對稱數(shù)”是10001；(2)證明見解析；(3)滿足條件的三位“軸對稱數(shù)”為：131，222，313，404，494【分析】（1）寫出最小的五位“軸對稱數(shù)”，即首位數(shù)字和個位數(shù)字為，其它為的數(shù)；（2）先表示這個任意的位“軸對稱數(shù)”：，再表示“軸對稱數(shù)”與它個位數(shù)字的11倍的差，合并同類項并提公因式，可得結論；（3）設這個三位“軸對稱數(shù)”為，根據(jù)與的和能同時被5和9整除，即能被45整除，設，化為，所以能同時被45整除，分情況計算可得結論．【詳解】（1）解：最小的五位“軸對稱數(shù)”是10001；（2）證明：由題意得：，該“軸對稱數(shù)”與它個位數(shù)字的11倍的差能被10整除；（3）解：設這個三位“軸對稱數(shù)”為，與整數(shù)的和能同時被5和9整除，設，則，，∵能同時被5和9整除，∴能同時被5和9整除，即的值為0或45或90或135，又，當時，這個三位“軸對稱數(shù)”是131，當時，這個三位“軸對稱數(shù)”是222，當時，這個三位“軸對稱數(shù)”是313，當時，這個三位“軸對稱數(shù)”是404，當時，這個三位“軸對稱數(shù)”是494，所有滿足條件的三位“軸對稱數(shù)”為：131，222，313，404，494．壓軸題5末位零個數(shù)問題例題5的積的末尾有幾個連續(xù)的0？【答案】24【分析】找規(guī)律，本來個位數(shù)字就是0的，個位數(shù)字是5與偶數(shù)相乘，個位可得到0的，據(jù)此分析解答．【詳解】這100個數(shù)中，個位為0的數(shù)有：10，20，30，40，60，70，80，90，100共10；因為每個5乘以偶數(shù)都是10，所以剩下的每有一個個位是5的就再加一個：5，15，35，45，55，65，85，95共8；25，75，50乘以4的倍數(shù)會有各2個0，所以要再加上6個；10＋8＋6＝24，答：這100個數(shù)的乘積的末尾會有24個連續(xù)的0．【點睛】本題主要考查多個數(shù)連乘的知識點，尋找乘積的個位數(shù)的規(guī)律的知識，尤其注意5的倍數(shù)特征．變式5.1×2＋3×4＋5×6＋…＋199×200的結果是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？【答案】偶數(shù)，理由見詳解【分析】計算時，第一步先算乘，乘都是奇數(shù)乘偶數(shù)，積都是偶數(shù)；第二步再算加，都是偶數(shù)相加，和還是偶數(shù)，所以最后的結果一定是偶數(shù)．【詳解】結果是偶數(shù)，因為每一個乘積都是偶數(shù)，這些偶數(shù)的和一定是偶數(shù)．壓軸題6奇偶性判斷例題6已知是一個素數(shù)，是一個偶數(shù)，，求的值，并把它分解素因數(shù)．【答案】【分析】2、3、5、7、11、13、17、19是常見的素數(shù)，利用這些素數(shù)進行分析求解．【詳解】，是偶數(shù)，2018是偶數(shù)，因此一定是偶數(shù)，而偶數(shù)中只有2是素數(shù)，因此，，．【點睛】本題考查對素數(shù)的認識，20以內(nèi)的素數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19，熟練掌握是關鍵．變式6陽光小學五年級同學參加學校舉辦的數(shù)學競賽，共有20道題．評分標準是：答對一道題得5分，答錯一道題倒扣1分，不答不扣分也不得分．如果所有題都答，那么參賽的同學總分數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？【答案】偶數(shù)【分析】如果答對了奇數(shù)道，則也答錯了奇數(shù)道，又因1和5也是奇數(shù)，奇數(shù)之積為奇數(shù)，而奇數(shù)之差為偶數(shù)；如果答對了偶數(shù)道，則也答錯了偶數(shù)道，又偶數(shù)與奇數(shù)之積為偶數(shù)，偶數(shù)之差為偶數(shù)，據(jù)此解答．【詳解】如果全答對可得20×5＝100（分）即總分為偶數(shù)；若錯一道要從中扣去5＋1＝6（分），根據(jù)偶數(shù)之差為偶數(shù)，所以總分為偶數(shù)；若一題都不答得0分，所以無論答錯或答得分都為偶數(shù)．故答案為：偶數(shù)鞏固訓練1.一個四位數(shù)，千位上是最小的合數(shù)，百位上是最小的奇數(shù)，十位上是最小的素數(shù)，個位上是最小的自然數(shù)，這個數(shù)是．【答案】4120【分析】根據(jù)合數(shù)、奇數(shù)、素數(shù)和自然數(shù)的定義，按照要去寫出對應數(shù)位上的數(shù)．【詳解】最小的合數(shù)是4，所以千位上的數(shù)字是4；最小的奇數(shù)是1，所以百位上的數(shù)字是1；最小的素數(shù)是2，所以十位上的數(shù)字是2；最小的自然數(shù)是0，所以個位上的數(shù)字是0．故答案是：4120．【點睛】本題考查合數(shù)、奇數(shù)、素數(shù)和自然數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練掌握這些數(shù)的定義，能夠確定最小的是多少．2.一間客廳長8米，寬4.5米，現(xiàn)要鋪正方形的地磚，市場上地磚有，，，四種規(guī)格．請問選擇哪種規(guī)格的地磚能整塊鋪滿，并計算出需要這樣的地磚多少塊？【答案】選規(guī)格，需要144塊【分析】要想地磚能整塊鋪滿，那么正方形地磚的邊長應是客廳的地面長和寬的公因數(shù)，在四種尺寸中，邊長50是客廳的地面的長和寬的公因數(shù)，所以該選50×50的正方形地磚；然后求出塊數(shù)即可，據(jù)此解答．【詳解】（1）該選50×50的正方形地磚；（2）地磚需要的塊數(shù)：8m＝800cm，4.5m＝450cm，（800÷50）×（450÷50）＝16×9＝144（塊）答：該選50×50的正方形地磚；需要144塊．【點睛】本題實際考查了靈活應用公因數(shù)問題解決實際問題，關鍵要從地磚整塊鋪滿這個角度，找到符合要求的公因數(shù)．3.將48名參加義務植樹的學生平均分成若干組，使每組人數(shù)不少于4人，也不多于30人，應該怎樣分組？【答案】每組4人分12組或每組6人分8組或每組8人分6組或每組12人分4組或每組16人分3組或每組24人分2組．【分析】找出48的大于等于4且小于等于30的因數(shù)，有幾個因數(shù)，就有幾種分組方法．【詳解】解：因為所以48的大于等于4、小于等于30的因數(shù)有4、6、8、12，16、24．因此，48人分組使每組人數(shù)不少于4人，也不多于30人，可有6種分組方法．答：每組4人分12組或每組6人分8組或每組8人分6組或每組12人分4組或每組16人分3組或每組24人分2組．4.甲、乙兩個小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到20粒，如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲剩余的糖粒數(shù)就是乙現(xiàn)有糖粒數(shù)的2倍；如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖粒數(shù)就是乙的糖粒數(shù)的3倍，那么甲、乙兩個小朋友共有___________粒糖．【答案】24【分析】根據(jù)甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖數(shù)就是乙的糖數(shù)的2倍，所以甲乙共有的糖的總數(shù)是3的倍數(shù)，又如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖數(shù)就是乙的糖數(shù)的3倍，所以甲乙共有的糖的總數(shù)是4的倍數(shù)，同時是3和4的倍數(shù)且總數(shù)不超過40的數(shù)有12，24，36，再進行分類討論即可．【詳解】如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖數(shù)就是乙的糖數(shù)的2倍，所以甲乙共有的糖的總數(shù)是3的倍數(shù)，又如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖數(shù)就是乙的糖數(shù)的3倍，所以甲乙共有的糖的總數(shù)是4的倍數(shù)，同時是3和4的倍數(shù)且總數(shù)不超過40的數(shù)有12，24，36，①甲乙總數(shù)為12：那么甲給乙一定數(shù)量后，乙的糖數(shù)為4顆，乙給甲一定數(shù)量后，乙的糖數(shù)為3顆．顯然矛盾的；②甲乙總數(shù)為24：那么甲給乙一定數(shù)量后，乙的糖數(shù)為8顆，乙給甲一定數(shù)量后，乙的糖數(shù)為6顆，所以甲原先有17顆，乙有7顆．是合理的；③甲乙總數(shù)為36：那么甲給乙一定數(shù)量后，乙的糖數(shù)為12顆，乙給甲一定數(shù)量后，乙的糖數(shù)為9顆，這時甲的數(shù)量肯定大于24顆與題目矛盾，綜上可得甲乙兩個小朋友共有24顆糖．答：甲乙兩個小朋友一共有24顆糖．故答案為：24．5.一本陳年老賬上記著：84只桶共□22.4□元．□處字跡已不清楚，請把□處數(shù)字補上，并求出桶的單價．【答案】522.48，單價6.22元；或622.44，單價7.41元；或722.40，單價8.60元【分析】，22.4不管它最前面是什么數(shù)都是可以被4除盡，所以最后的數(shù)字必為4或8或0，才能除