第02講 5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（解析版）

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①能根據(jù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。②能熟練應(yīng)用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。③理解并熟練掌握函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則。④了解復(fù)合函數(shù)的概念，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。1.掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)；2.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式；3.能準(zhǔn)確應(yīng)用公式計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；4.會(huì)求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；5.能解決與切線、切點(diǎn)、斜率、待定參數(shù)相關(guān)的問題..知識(shí)點(diǎn)01：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(為常數(shù))知識(shí)點(diǎn)02：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則1、兩個(gè)函數(shù)和的和（或差）的導(dǎo)數(shù)法則：.2、對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和的乘積（或商）的導(dǎo)數(shù)，有如下法則：；.3、由函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)法則可以得出，也就是說，常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積，即【即學(xué)即練1】（2023下·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）知識(shí)點(diǎn)03：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對(duì)的導(dǎo)數(shù)等于對(duì)的導(dǎo)數(shù)與對(duì)的導(dǎo)數(shù)的乘積．【即學(xué)即練2】（2023上·山東濱州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則=.【答案】3【詳解】由題意知，，所以.故答案為：3.知識(shí)點(diǎn)04：切線問題1、在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點(diǎn).第二步：計(jì)算切線斜率.，切線斜率。根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.【即學(xué)即練3】（2023上·貴州黔西·高三貴州省興義市第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）曲線在處的切線方程為．【答案】【詳解】，則當(dāng)時(shí)，，所以曲線在處的切線方程為，即.故答案為：.2、過型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計(jì)算：過點(diǎn)（無論該點(diǎn)是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設(shè)切點(diǎn)第二步：計(jì)算切線斜率；計(jì)算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：計(jì)算切線方程.根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：.【即學(xué)即練4】（2023下·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則函數(shù)的圖像過點(diǎn)的切線方程為.【答案】或【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由可得，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，切線的斜率，因?yàn)?，所以切線方程為，將點(diǎn)代入，得，即，得，解得或，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，相應(yīng)的切線方程為；當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，相應(yīng)的切線方程為，即，所以切線方程為或.故答案為：或題型01導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則的簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例1】（2023上·河北邯鄲·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)運(yùn)算中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選：D【典例2】（2023下·新疆阿克蘇·高二?？茧A段練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）整理可得，.（2）.【變式1】（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選:D.題型02利用導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【典例1】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）寫出下列函數(shù)的中間變量，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，【詳解】（1）令，因?yàn)?，所?（2）令，因?yàn)椋?（3）令，因?yàn)椋?（4）令，因?yàn)椋?（5）令，因?yàn)椋?（6）令，因?yàn)椋?【典例2】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）可由及復(fù)合而成，所以．（2）可由及復(fù)合而成，所以．【變式1】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）寫出下列函數(shù)的中間變量，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)中間變量為，(2)中間變量為，(3)中間變量為，(4)中間變量為，【詳解】（1）對(duì)于，中間變量為，則，所以.（2）對(duì)于，中間變量為，則，所以.（3）對(duì)于，中間變量為，則，所以.（4）對(duì)于，中間變量為，則，.題型03解析式中含的導(dǎo)數(shù)問題【典例1】（2022下·吉林長(zhǎng)春·高二統(tǒng)考期中）若，則等于（

）A．2 B．0 C．2 D．4【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以所以，得所以，所以故選：D【典例2】（2022下·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則．【答案】24【詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，，，故．故答案為：【變?】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（

）A． B． C．6 D．14【答案】C【詳解】，則，則，故選：C【變式2】（2022下·河北滄州·高二滄縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則的值為．【答案】【詳解】∵，∴，∴∴．故答案為：.題型04求切線斜率【典例1】（2023下·北京海淀·高二首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）若直線過原點(diǎn)，且與函數(shù)的圖像相切，則該直線的斜率為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，設(shè)切點(diǎn)為，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程的斜率為.故選：B【典例2】（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考一模）函數(shù)（b＞0，a∈R）在點(diǎn)處的切線斜率的最小值是（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【詳解】，所以在點(diǎn)處的切線斜率是，因?yàn)閎＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故選：C．【變式1】（2022上·河南·高三河南省淮陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，過作曲線的切線，切點(diǎn)在第一象限，則切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由，得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，把點(diǎn)代入并整理，得，解得或（舍去），故切線斜率為．故選：C．【變式2】（2022下·安徽·高三巢湖市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對(duì)，求導(dǎo)可得，，得到，所以，，所以，，故選D題型05求切線方程（在型）【典例1】（2023上·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）設(shè)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若是偶函數(shù)，則曲線在原點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題設(shè)是偶函數(shù)，∴，解得，∴，∴曲線在原點(diǎn)處的切線方程為.故選：A【典例2】（2023上·云南昆明·高三統(tǒng)考期中）曲線在點(diǎn)處的切線方程是【答案】【詳解】由可得，所以，所以由點(diǎn)斜式可得切線方程為，即，故答案為：【變式1】（2023上·浙江·高三浙江省富陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程是．【答案】【詳解】，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即.故答案為：【變式2】（2023上·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為【答案】【詳解】由題意，所以且，所以，因此的圖象在處的切線斜率為，所以的圖象在處的切線方程為，化簡(jiǎn)得.故答案為：.題型06求切線方程（過型）【典例1】（2023下·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）寫出曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條切線方程.【答案】或（任寫一個(gè)即可）【詳解】，設(shè)切點(diǎn)為，故切線方程為，由于切線過原點(diǎn)，故，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，切線方程為，即.當(dāng)時(shí)，切線方程為，即.故答案為：或（任寫一個(gè)即可）【典例2】（2023下·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．(1)若曲線在其上一點(diǎn)Q處的切線與直線平行，求Q的坐標(biāo)；(2)求曲線的過坐標(biāo)原點(diǎn)O的切線的方程．【答案】(1)或（2，0）(2)或．【詳解】（1），設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為4，所以，解得或2．，．所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或（2，0）．（2）設(shè)切點(diǎn)為，則，，所以在該點(diǎn)處的切線方程為．因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以，解得或1．又因?yàn)?，，所以切線方程為或．【變式1】（2022上·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過點(diǎn)與曲線相切的切線方程為．【答案】【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，得，則切點(diǎn)為，切線方程為，即．故答案為：.【變式2】（2023下·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)；(2)過點(diǎn)作的切線，求切線方程．【答案】(1)12(2)或【詳解】（1）因?yàn)椋?，則．（2），設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率為，故切線方程為，將點(diǎn)代入得，即，得，解得或，所以切線方程為或．題型07利用相切關(guān)系求最小距離【典例1】（2024上·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)Q在函數(shù)的圖象上，則的最小值為.【答案】【詳解】

由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，在處的切線方程為，整理可得：；由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，在處的切線方程為，整理可得；由直線的斜率，易知：直線分別與兩條切線垂直..故答案為：.【典例2】（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，則的最小距離為.【答案】/【詳解】令，則，即曲線在處的切線方程為：，即,如下圖所示，當(dāng)時(shí)的最小值為點(diǎn)到直線的距離（為垂足）.故.故答案為：【變式1】（2023下·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）設(shè)點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，則的最小值為.【答案】【詳解】設(shè)函數(shù)與直線平行的切線為，則的斜率為，由，得，所以切點(diǎn)為，則點(diǎn)到直線的距離就是的最小值，即.故答案為：.【變式2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）在函數(shù)的圖象上求一點(diǎn)P，使P到直線的距離最短，并求這個(gè)最短的距離．【答案】/【詳解】設(shè)，又，則過點(diǎn)的切線斜率，當(dāng)過點(diǎn)的切線平行于直線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最短，即，解得：，此時(shí)，它到直線的距離，故答案為：.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023上·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確．故選：D．3．（2023上·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，所求切線斜率，所求切線方程為：，即.故選：A.4．（2023上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【詳解】直線的斜率為，由題設(shè)知：在處的切線的斜率為，而，∴，可得.故選：C.5．（2023上·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象在處切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：B.6．（2023下·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．【答案】C【詳解】由已知可得，，所以，，所以，.故選：C.7．（2023上·廣東揭陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】，由題意可知，切線的斜率，則，解得：，，所以.故選：A8．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若曲線與直線相切，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【詳解】直線，即，對(duì)于，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，則切線方程為，即，由題意可得，解得.故選：B.二、多選題9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）下列導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中正確的是（

）A． B．C．＝ D．【答案】ABD【詳解】,正確；，正確；，正確；因?yàn)?，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤，其余都正確.故選：ABD10．（2023下·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程可以為（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】由，得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則過切點(diǎn)的切線方程為，把點(diǎn)代入，可得，整理得：，即或.當(dāng)時(shí)，切線方程為;當(dāng)時(shí)，切線方程為.故選：BC.三、填空題11．（2023上·廣東惠州·高三博師高中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則.【答案】【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：12．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知曲線與曲線（）相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，則.【答案】【詳解】易知：必有.設(shè)兩曲線的交點(diǎn)為，，，由題意：，兩式相除得：，∵，∴.代入得：解得.故答案為：四、解答題13．（2023下·新疆和田·高二校考期中）已知函數(shù)，點(diǎn)在曲線上.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求曲線過點(diǎn)的切線方程.【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）由題意，故，所以，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）令所求切線在曲線上的切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，又在切線上，故或，所以切線方程為或.14．（2023上·黑龍江·高三黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與軸，軸分別交于點(diǎn)，，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；(2)求與曲線相切，并過點(diǎn)的直線方程.【答案】(1)6(2