2009年全國初中數(shù)學(xué)江西賽區(qū)預(yù)賽試題

PAGE12009年全國初中數(shù)學(xué)江西賽區(qū)預(yù)賽試題（九年級）（2009年3月22日上午9：30~11：30）一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）以下每道小題均給出代號為A、B、C、D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填，多填或錯填都的0分）1、已知非零實數(shù)a、b滿足|2a-4|+|b+2|+EQ\r(,(a-3)b2)+4=2a，則a+b等于（）A、-1B、0C、1D、2解有題設(shè)知a≥3，題設(shè)等式化為|b+2|+EQ\r(,(a-3)b2)=0，于是a=3，b=-2，從而a+b=1，選C2、如圖所示，菱形ABCD邊長為a，點O在對角線AC上一點，且OA=a，OB=OC=OD=1,則a等于（）A、EQ\F(\r(,5)+1,2)B、EQ\F(\r(,5)-1,2)C、1D、2解：∵△BOC∽△ABC，∴EQ\F(B0,AB)=EQ\F(BC,AC)即EQ\F(1,a)=EQ\F(a,a+1)∴a2-a-1=0由于a＞0，解得a=EQ\F(\r(,5)+1,2)，選A3、將一枚六個面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方形骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點數(shù)為a，第二次擲出的點數(shù)為b，則關(guān)于x、y的方程組只有正數(shù)解的概率為（）A、EQ\F(1,12)B、EQ\F(2,9)C、EQ\F(5,18)D、EQ\F(13,36)解當(dāng)2a-b=0時，方程組無解當(dāng)2a-b≠0時，方程組的解為由a、b的實際意義為1，2，3，4，5，6可得又擲兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6×6=36種情況，故所求概率為EQ\F(13,36)選D4、如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，動點P從點B出發(fā)，沿梯形的邊由B→C→D→A運動，設(shè)點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，把y看作x的函數(shù)，函數(shù)圖象如圖2所示，則△ABC的面積為（）A、10B、16C、18D、32解根據(jù)圖象可得BC=4,CD=5,DA=5,進而求的AB=8，故S△ABC=EQ\F(1,2)×8×4=16選B5、關(guān)于x、y的方程x2+xy+y2=29的整數(shù)解（x、y）的組數(shù)為（）A、2組B、3組C、4組D、無窮多組解可將原方程視為關(guān)于x的二次方程，將其變形為x2+yx+（2y2-29）=0由于該方程有整數(shù)根，根據(jù)判別式△≥0，且是完全平方數(shù)由△=y2-4(2y2-29)=-7y2+116≥0解得y2≤EQ\F(116,7)≈16.57y2014916△11610988534顯然只有y2=16時，△=4是完全平方數(shù)，符合要求當(dāng)y=4時，原方程為x2+4x+3=0，此時x1=-1，x2=-3當(dāng)y=-4時，原方程為x2-4x+3=0，此時x3=1，x4=3所以，原方程的整數(shù)解為選C二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6、一自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000km后報廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛3000km后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎。如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛自行車將能行駛；解設(shè)每個輪胎報廢時總磨損量為k，則安裝在前輪的輪胎每行駛1km磨損量為EQ\F(k,5000)，安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為EQ\F(k,3000)，又設(shè)一對新輪胎交換位置前走了xkm，交換位置后走了ykm，分別以一個輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程，有則x+y=3750∴填37507、已知線段AB的中點為C，以點C為圓心，AB長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點D，使得BD=AC；再以點D為圓心，DA的長位半徑作圓，與⊙A分別相交于點F、G兩點，連接FG交AB于點H，則EQ\F(AH,AB)的值為；解如圖，延長AD與⊙D相交于點E，連接AF，EF。由題設(shè)知AC=EQ\F(1,3)AD，AB=EQ\F(1,3)AE,在△FHA和△EFA中，∠EFA=∠FHA=90°，∠FAH=∠EAF∴Rt△FHA∽Rt△EFA，EQ\F(AH,AF)=EQ\F(AF,AE),而AF=AB,∴EQ\F(AH,AB)=EQ\F(1,3)，填EQ\F(1,3)8、已知a1，a2、a3、a4、a5滿足條件a1+a2+a3+a4+a5=9的五個不同的整數(shù)，若b是關(guān)于x的方程（x-a1）（x-a2）（x-a3）（x-a4）（x-a5）=2009的整數(shù)根，則b的值為；解∵（b-a1）（b-a2）（b-a3）（b-a4）（b-a5）=2009,且a1，a2、a3、a4、a5是五個不同的整數(shù)，∴（b-a1），（b-a2），（b-a3），（b-a4），（b-a5），也是五個不同的整數(shù)，又∵2009=1×（-1）×7×（-7）×41，∴（b-a1）+（b-a2）+（b-a3）+（b-a4）+（b-a5）=41，又∵a1+a2+a3+a4+a5=9∴可得b=10填109、如圖所示，在△ABC中，CD是高，CE為∠ACB的平分線，若AC=14,BC=20，CD=12，則CE的長等于解如圖，有勾股定理知AD=9,BD=16，所以AB=AD+BD=25故由勾股定理知△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°作EF⊥BC，垂足為F，設(shè)EF=x，由∠ECF=EQ\F(1,2)∠ACB=45°，得CF=x，于是BF=20-x，由于EF∥AC，所以EQ\F(EF,AC)=EQ\F(BF,BC),即EQ\F(x,15)=EQ\F(20-x,20)，解得x=EQ\F(60,7)∴CE=EQ\r(,2)x=EQ\F(60,7)EQ\r(,2)填EQ\F(60,7)EQ\r(,2)10、10個人圍成一個圓圈做游戲，游戲的規(guī)則是：每個人心里都想好一個數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實告訴兩旁的兩個人，然后每個人將他兩旁的兩個人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報出來，若抱出來的數(shù)如圖所示，則報3的人心里想的數(shù)是；解設(shè)報3的人心里想的數(shù)是x，則報5的人心里想的數(shù)應(yīng)該是8-x，于是報7的人心里想的數(shù)是12-（8-x）=4+x，報9的人心里想的數(shù)是16-（4+x）=12-x，報1的人心里想的數(shù)是20-（12-x）=8+x，報3的人心里想的數(shù)是4-（8+x）=-4-x∴x=-4-x，解得x=-2填-2三、解答題（共4小題，每題20分，共80分）11、函數(shù)y=x2+（2k-1）x+k2的圖像與x軸的兩個交點是否都在直線x=1的右側(cè)？若是，請說明理由；若不一定是，請求出兩個交點都在直線x=1的右側(cè)時k的取值范圍？解不一定，例如，當(dāng)k=0時，函數(shù)的圖像與x軸的交點為（0，0）和（1，0），不都在直線x=1的右側(cè)設(shè)函數(shù)與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)為x1，x2，則x1+x2=-（2k-1），x1·x2=k2當(dāng)且僅當(dāng)滿足如下條件……10分時，拋物線與x軸的兩交點都在直線x=1的右側(cè)，由……15分∴當(dāng)k＜-2時，拋物線與x軸的兩個交點在直線x=1的右側(cè)……20分12、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，我們把橫坐標(biāo)為整數(shù)，縱坐標(biāo)為完成平方數(shù)的點稱為“好點”，求二次函數(shù)y=（x-90）2-4907的圖像上的所有“好點”的坐標(biāo)解設(shè)y=m2，（x-90）2=k2，m、k都是非負整數(shù)，則K2-m2=7×701=1×4907即（k-m）（k+m）=7×701=1×4907……10分則有故“好點”共有4個，它們的坐標(biāo)是：（444，120409）（-264，120409）（2544，6017209）（-2364，6017209）……20分13、如圖，給定銳角△ABC，BC＜CA，AD，BE是它的兩條高，過點C作△ABC的外接圓的切線l，過電D、E分別作l的垂線，垂足分別為F、G，試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結(jié)論？解法1結(jié)論是DF=EG，下面給出的證明。∵∠FCD=∠EAB，∴Rt△FCD∽Rt△EAB，于是可得……5分DF=BE·EQ\F(CD,AB)同理可得EG=AD·EQ\F(CE,AB)……10分又∵tan∠ACB=EQ\F(AD,CD)=EQ\F(BE,CE),∴BE·CD=AD·CE，于是可得DF=EG……20分解法2結(jié)論是DF=EG，下面給出證明……5分連接DE，∵∠ADB=∠AEB=90°，∴A、B、D、E四點共圓，故∠CED=∠ABC……10分又l是⊙O的過點C的切線，∴∠ACG=∠ABC……15分∴∠CED=∠ACG，于是DE∥FG，故DF=EG……20分14、n個正整數(shù)a1，a2，……an滿足如下條件：1=a1＜a2＜a3＜……＜an=2009，且a1，a2，……an中任意n-1個不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)，求n的最大值解設(shè)a1，a2，……an中去掉ai后剩下的n-1個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù)bi（i=1，2，……n，即bi=于是，對于任意的1≤i＜j≤n，都有bi-bj=EQ\F(aj-ai,n-1)從而，n-1∣（aj-ai）……5分由于b1-bn=EQ\F(an-a1,n-1)=EQ\F(2008,n-1)是正整