北師大版必修二 球的表面積和體積課件

球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積柱體、錐體、臺(tái)體的表面積各面面積之和知識(shí)回顧展開圖

圓臺(tái)圓柱圓錐北師大版必修二球的表面積和體積柱體、錐體、臺(tái)體的體積錐體臺(tái)體柱體知識(shí)回顧北師大版必修二球的表面積和體積一、創(chuàng)設(shè)情境1、在太空中存在著多顆星球，科學(xué)家為了比較各個(gè)星球的大小，需要計(jì)算它們的表面積和體積，但是星球的形狀不同于柱體、椎體、臺(tái)體，而是近似于球體，那么如何進(jìn)行計(jì)算呢？2、球隊(duì)大小是與球的半徑有關(guān)，如何用球半徑來表示球的體積和表面積？北師大版必修二球的表面積和體積思考：如何求球的體積？排液法：hHh二、探究新知北師大版必修二球的表面積和體積球的體積球的表面積都是以R為自變量的函數(shù)OR北師大版必修二球的表面積和體積例1.鋼球直徑是5cm,求它的體積.例題講解北師大版必修二球的表面積和體積(變式1)把鋼球（直徑是5cm）放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中,至少要用多少紙?用料最省時(shí),球與正方體有什么位置關(guān)系?側(cè)棱長(zhǎng)為5cm例題講解球內(nèi)切于正方體北師大版必修二球的表面積和體積例題講解北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積例4.如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證:(1)球的體積等于圓柱體積的三分之二；(2)球的表面積與圓柱的側(cè)面積相等.

例題O北師大版必修二球的表面積和體積(2)圓圓柱證明:(1)設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R.RO北師大版必修二球的表面積和體積討論

長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)分別為3、4、5，若它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是——

分析：長(zhǎng)方體內(nèi)接于球，則由球和長(zhǎng)方體都是中心對(duì)稱圖形可知，它們中心重合，則長(zhǎng)方體對(duì)角線與球的直徑相等。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O22221150442+5)2(:RS2R=3RDDBRtppD==\+=中略解：北師大版必修二球的表面積和體積用一個(gè)平面α去截一個(gè)球O，截面是圓面O?球的截面的性質(zhì)：球心和截面圓心的連線垂直于截面球心到截面的距離為d，球的半徑為R，則截面問題補(bǔ)充知識(shí)：北師大版必修二球的表面積和體積課堂練習(xí)北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積1、了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割→求近似和→化為標(biāo)準(zhǔn)和的方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法—極限思想，它是今后要學(xué)習(xí)的微積分部分“定積分”內(nèi)容的一個(gè)應(yīng)用；2、熟練掌握球的體積、表面積公式：五、課堂小結(jié)北師大版必修二球的表面積和體積基本計(jì)算問題2.(1)把球的半徑擴(kuò)大為原來的3倍，則體積擴(kuò)大為原來的________倍.(2)把球的半徑擴(kuò)大到原來的2倍，則表面積擴(kuò)大為原來的_______倍.(3)三個(gè)球的半徑之比為1:2:3，則它們的表面積之比為_________.(4)三個(gè)球的體積之比為1:8:27，則它們的半徑之比為________.北師大版必修二球的表面積和體積四、鞏固深化1、正方體的內(nèi)切球和外接球體積比為______

，表面積之比為1：3。2、在球心同側(cè)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49和400，求球的表面積。答案：2500北師大版必修二球的表面積和體積4、若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳_4_倍.5、若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是______6、若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是______.3、若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼腳__倍.北師大版必修二球的表面積和體積球與正方體的“接切”問題典型：有三個(gè)球,一球切于正方體的各面,一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比.畫出正確的截面：(1)中截面；(2)對(duì)角面找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系北師大版必修二球的表面積和體積球與正方體的“接切”問題北師大版必修二球的表面積和體積[答案]

D北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積[答案]

C北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積[答案]

D北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積探索延拓創(chuàng)新北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積北師大版必修二球的表面積和體積

例2已知正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且正方體的表面積為a2，求球O的表面積和體積.

例3有一種空心鋼球，質(zhì)量為142g（鋼的密度為7.9g/cm3），測(cè)得其外徑為5cm，求它的內(nèi)徑（精確到0.1cm）.oAC′北師大版必修二球的表面積和體積練習(xí)

有一種空心鋼球，質(zhì)量為142g,測(cè)得外徑等于5.0cm，求它的內(nèi)徑（鋼的密度為7.9g/cm3,精確到0.1cm).北師大版必修二球的表面積和體積解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是答:空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.由計(jì)算器算得:北師大版必修二球的表面積和體積

一個(gè)球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，面積別為49πcm2和400πcm2，試求球的表面積．[思路分析]

求球的表面積或體積只需要求出球的半徑，要求球的半徑只需解球的半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離組成的直角三角形．球的表面積

北師大版必修二球的表面積和體積[規(guī)范解答]

(1)當(dāng)球心在兩個(gè)截面同側(cè)時(shí)，如右圖，設(shè)OD＝x，由題意知π·CA2＝49π，∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20(cm)．設(shè)球半徑為R，則依題意，得(CD＋OD)2＋CA2＝R2＝OD2＋BD2，即(9＋x)2＋72＝x2＋202，解之得x＝15.∴R＝25，故S球＝4πR2＝2500π(cm2)．北師大版必修二球的表面積和體積(2)當(dāng)球心在兩個(gè)截面之間時(shí)，如右圖．設(shè)OD＝xcm，則OC＝(9－x)cm，由題意得π·CA2＝49π，∴CA＝7(cm)．同理可得BD＝20cm.設(shè)球半徑為R，則依題意，知x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，北師大版必修二球的表面積和體積即x2＋400＝(9－x)2＋49，此方程無正數(shù)解，故此情況不可能．綜上可知，所求球的表面積為2500π(cm2)．[規(guī)律總結(jié)]

常常借助于球的軸截面性質(zhì)列方程(組)求球半徑，進(jìn)而求出球的表面積．軸截面為空間問題轉(zhuǎn)化到平面幾何問題創(chuàng)造了條件．北師大版必修二球的表面積和體積4.若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是______.練習(xí)一1.若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼腳__倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳__倍.3.若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是______.北師大版必修二球的表面積和體積6.將半徑為1和2的兩個(gè)鉛球，熔成一個(gè)大鉛球，那么這個(gè)大鉛球的表面積是______.5.若兩球表面積之差為48π,它們大圓周長(zhǎng)之和為12π,

則兩球的直徑之差為______.練習(xí)二北師大版必修二球的表面積和體積二、探究新知1、球的體積如果用一組等距離的平面去切割球，當(dāng)距離很小時(shí)會(huì)得到很多“小圓片”，“小圓片”的體積之和正好是球的體積，由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于相應(yīng)的圓柱的體積，因此求球的體積可以按“分割——求和——化為準(zhǔn)確和”的方法來進(jìn)行。步驟：第一步：分割如圖：把半球垂直于底面的半徑OA作n等分，過這些等分點(diǎn)，用一組平行于底面的平面把半球切割成n個(gè)“小圓片”，“小圓片”厚度近似為，底面是“小圓片”的底面。AO北師大版必修二球的表面積和體積OR北師大版必修二球的表面積和體積第二步：求和北師大版必修二球的表面積和體積第三步：化為準(zhǔn)確和北師大版必修二球的表面積和體積

球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢?

回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法,得到啟發(fā)，可以借助極限思想方法來推導(dǎo)球的表面積公式．球的表面積北師大版必修二球的表面積和體積第一步：分割球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：則球的表面積：則球的體積為：OO北師大版必修二球的表面積和體積第二步：求近似和由第一步得：OO北師大版必修二球的表面積和體積第三步：化為準(zhǔn)確和

如果網(wǎng)格分的越細(xì),則:“小錐體”就越接近小棱錐O北師大版必修二球的表面積和體積截面問題1.一球的球面面積為256πcm2，過此球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于這條半徑的截面，求截面圓的面積.變式：在球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，截面面積分別為49πcm2和400πcm2，求